Сетевой журнал "Интернет и образование"

Методические рекомендации по использованию цифровых образовательных ресурсов (ЦОР)  в преподавании геометрии

Особенности преподавания геометрии в школьном курсе.

В современном мире происходит переоценка целей и задач образования, обусловленная формированием нового типа общественного устройства – информационного общества. В течение многих столетий математика является неотъемлемым элементом системы общего образования всех стран мира. Объясняется это уникальностью роли учебного предмета «Математика» в формировании личности. Образовательный, развивающий потенциал математики огромен. Математика всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности.

В условиях информационного общества математическое образование становится важным фактором адаптации личности к существующим реалиям, что, соответственно инициирует необходимость постановки таких целей математической подготовки школьников, которые будут адекватны новым требованиям.

Основными целями школьного математического образования становятся интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе; овладение конкретными математическими знаниями, умениями и навыками, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин и для продолжения образования; воспитание личности в процессе освоения математики, формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности. Реализация названных целей вызывает необходимость в обновлении системы школьного математического образования, которая призвана обеспечить гармоничное сочетание интересов личности и общества.

Особую роль в этом процессе играют мультимедийные технологии, так как их применение способствует повышению мотивации обучения учащихся, экономии учебного времени; интерактивность и мультимедийная наглядность способствует лучшему представлению материала.

В современных условиях основными педагогическими идеями являются идеи гуманизации, гуманитаризации и демократизации, которые закладываются в основу новых приоритетов образования.
В русле этих идей лабораторией математического образования Института общеобразовательной школы Российской Академии образования разработана концепция школьного математического образования. В качестве основной задачи она выдвигает «переориентацию методической системы обучения на приоритет развивающей функции обучения по отношению к его образовательной, информационной функции.
Основными задачами преподавания геометрии в школе являются:

• изучение пространственных форм;
• развитие пространственного воображения;
• воспитания правильного логического мышления;
• привитие  практических  навыков,  включая  сюда  и  умение  решать различные геометрические задачи теоретического характера, так и умение применять свои знания к решению вопросов практики.

Академик А.Д.Александров говорил: «Особенность геометрии, выделяющая её не только среди остальных частей математики, но и среди других наук вообще, состоит в том, что в ней самая строгая логика соединена с наглядным представлением. Геометрия в своей сущности и есть такое соединение живого воображения и строгой логики,  в котором они взаимно организуют и направляют друг друга.

Сущность геометрии противоречива: «…в ней непосредственно изучаются идеальные геометрические фигуры, которых нет в действительности, но ее выводы применимы к реальным вещам, к практическим задачам». Задача любого учителя -  приблизить учеников к их пониманию.

а) изучение пространственных форм

Учащиеся, имевшие дело в 7-9 классах с геометрией на плоскости, испытывают серьезные затруднения при переходе из плоскости в пространство. Геометрическое, пространственное воображение присуще некоторым школьникам, но таких детей не так уж много. Большинству школьников требуется помощь в развитии умения представлять и изображать стандартные стереометрические конфигурации; их приходится как-то обучать геометрическому видению. Широкий спектр цифровых образовательных объектов в виде наглядных анимационных моделей позволяет учителю представить на уроке пространственные фигуры в трехмерном измерении, рассмотреть их сечения и т.д., выполнить развертку тела, или по развертке построить фигуру.

ИУМК «Компетентность. Инициатива. Творчество» Наглядная геометрия
Задание: Составьте из фигур – «кусочков» развертку поверхности геометрического тела.

б) развитие пространственного воображения;
Информационные объекты различаются по интерактивности. Интерактивным называется такой способ взаимодействия, при котором с помощью инструментов управления пользователь получает возможность двусторонней связи с объектом изучения, при этом обеспечивается возможность выбора вариантов содержания учебного материала, изменения положения объекта в пространстве, выделение отдельных элементов сложного объекта. Трехмерная модель – тип информационного объекта, представляющий собой трехмерное изображение объекта и набор инструментов управления, позволяющих пользователю изменять положение данного объекта в пространстве.

Наиболее эффективными средствами развития пространственных представлений учащихся, как известно, являются: демонстрирование фигур, сравнение положений геометрических фигур относительно друг друга, моделирование, грамотное изображение фигур, чтение чертежа. Эти средства приводят к наилучшим результатам, если они используются систематически и в комплексе.

Для формирования пространственного воображения учащихся при изучении геометрии интерактивные задания и трехмерные модели играют особую роль. Используя данные объекты на любом этапе урока, учащиеся могут не только изучить пространственную структуру объемного (трехмерного) объекта, но и, меняя режим отображения объекта, выбрать, например, оптимальное изображение для решения задачи или оптимальное размещение данного трехмерного объекта для изображения его на плоскости.

Решение геометрической задачи на первом этапе – это её представление в пространстве, на втором – оптимальное изображение плоскостной или пространственной фигуры на плоскости. И насколько верно будут выполнены задачи первых двух этапов, настолько быстро и правильно будет решена вся задача. Показать правильный чертеж к задаче - почти все равно, что сразу объяснить ее решение, при этом формируется пространственное воображение, а так же умение, вообще, «видеть» чертеж.

Важнейшей отличительной чертой трехмерных моделей является то, что при работе с ними можно в любой момент произвольно изменить ракурс изображения. Очевидно, что работа в такой среде отлично развивает пространственное воображение. Появляется возможность по-новому ставить и решать задачи на построение в пространстве, причем проверить правильность решения можно, взглянув на конструкцию с разных сторон.

Конструктор тела вращения в ИИСС «Геометрическое конструирование на плоскости и в пространстве»

Для развития пространственного воображения на этапе закрепления немаловажную роль играют и иллюстрации. Например, для закрепления понятий объемов сложных пространственных объектов, определений многогранников (выпуклых, невыпуклых), видов сечений (по готовым чертежам).

Словарная статья «Эпициклоида»        Задача по геометрии из коллекции задач Р.К. Гордина

в) привитие  практических навыков

В ходе изучения курса стереометрии решение конкретных задач - это не самоцель. Главной целью должно являться формирование умений анализировать предлагаемый объект, видеть в нем детали, их свойства, позволяющими обосновывать шаги решения и проводить вычисления. Умение решать задачи на базовом уровне – непременное условие для усвоения геометрии на любом уровне.

Открытая образовательная модульная мультимедийная система (ОМС)

Перечисленные выше (в п.2) цифровые образовательные ресурсы содержат множество типов информационных объектов по геометрии и стереометрии, использование которых в обучении позволяют выработать у учащихся определенные практические навыки при решении как базовых, так и нестандартных плоскостных и пространственных задач. Это и  тренажеры по отработке навыков построения, и иллюстрации к задачам с готовыми чертежами и условиями, и анимации, позволяющие сформировать наглядность представления, моделирование ситуации и т.д. Особую роль эти объекты приобретают при индивидуализации обучения.

г) воспитания логического мышления
Развитие логики и развитие интуиции (геометрической в том числе) – две важнейшие функции геометрического образования. Геометрия, как пожалуй никакой другой предмет, способствует развитию обоих качеств, поскольку логический и интуитивный аспекты в этом предмете переплетаются наиболее тесно.

Сущность геометрии противоречива: «…в ней непосредственно изучаются идеальные геометрические фигуры, которых нет в действительности, но ее выводы применимы к реальным вещам, к практическим задачам». Задача любого учителя -  приблизить учеников к их пониманию, не заслонив при этом от школьников самой геометрии.
Появление цифровых образовательных ресурсов открывает новые возможности при изучении курса геометрии. Основные из них:

1. Формулировки теорем и определения можно сделать интерактивными. Таким образом, учащиеся, меняя чертеж, могут убедиться, что соответствующие свойства остаются неизменными, что позволяет им лучше понять сущность соответствующего утверждения и даже, в некотором смысле, убедиться в его правильности.
2. Анимированные доказательства, становятся более наглядными, кроме того, в них акцентируется внимание, на важнейшие моменты. Это позволяет  экономить время на уроках, и делает уроки более яркими.
3. Многие ключевые задачи выполнены в качестве интерактивных модулей, включающих в себя автоматическую проверку. Это позволяет использовать их как для решения на уроках, так и при составлении контрольных и самостоятельных работ.

 Обзор цифровых образовательных ресурсов (ЦОР) по геометрии, доступных для педагогов

В современном обществе изменяются взгляды на деятельность педагога, роль которого меняется от роли простого транслятора знаний к достаточно сложной роли организатора деятельности обучаемых по приобретению новых знаний, умений и навыков. Одним из основных направлений информатизации всех форм и уровней образования в России стало создание цифровых образовательных ресурсов (ЦОР).
Комплексное использование возможностей средств информационных и телекоммуникационных технологий в образовании  приводит к реальному повышению эффективности обучения, в частности, это может быть достигнуто за счет использования многофункциональных цифровых образовательных ресурсов, соответствующих насущным потребностям учебного процесса, особенностям содержания, методов и форм обучения.
Рассмотрим типы цифровых образовательных ресурсов, представляющих интерес учителей математики для преподавания геометрии школьного курса:

Коллекция предлагает различные типы цифровых образовательных ресурсов, представляющих интерес учителей математики для преподавания геометрии школьного курса от отдельно представленных в цифровой форме фотографий, видеофрагментов, статических и динамических моделей, объектов виртуальной реальности и интерактивного моделирования,  до ИИСС и  ИУМК - полного набора средств обучения, необходимых для организации и проведения учебного процесса.

Гипертекст/Гипертекст с иллюстрациями и Текст/Текст с иллюстрациями (всего -  более 3200) является важной составляющей  организации учебного процесса. Гипертекстовые системы имеют две основные особенности: во-первых, они являются средством информационного обеспечения, а во-вторых, они способствуют развитию искусственного и естественного интеллекта: средство формирования базы знаний. Набор словарных статей позволяет  учителю наполнять материалы уроков дополнительными сведениями, кроме того, эти ресурсы можно использовать при организации проектной и исследовательской деятельности учащихся. Коллекция содержит богатейший набор задач, представленных в виде текста, которые значительно расширяют базу задач школьного курса и могут служить материалом для организации кружковой и факультативной деятельности по геометрии. Среди этих задач много на­столько нестандартных и интересных, что поиск их реше­ния и само решение запомнится учащимся и без записи в тетрадях.

Словарная статья «Аксиома параллельности»			Словарная статья «Эпициклоида»
"Что видим? - Нечто странное!" Изображенные на плоскости объемные фигуры при ближайшем рассмотрении оказываются невозможными в реальном мире. "Наука и жизнь", 1989, N11			«Векторный и координатный методы решения задач» Эффективные приемы использования указанных методов и примеры решения задач. Основные определения и формулы.
Задача по геометрии N 102263. Задача по геометрии из коллекции задач Р.К. Гордина по темам: Правильный (равносторонний) треугольник, Площадь круга, сектора и сегмента.			Задача по геометрии N. 52451. Задача по геометрии из коллекции задач Р.К. Гордина по темам: Теорема Пифагора (прямая и обратная), Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих.

Презентация (всего - 48)
В коллекции представлены презентации (содержащие от одного до нескольких слайдов), использование которых позволит значительно повысить информативность и эффективность урока, дина­мизм и выразительность излагаемого материала. Информационно-справочное пособие может быть рекомендовано как для визуального сопровождения рассказа учителя, так и для организации самостоятельной работы учащихся по изучению материала. Например, презентация «Градусная мера угла» - слайд, на котором представлены определения и  чертежи по теме с использованием анимации.  Графические (анимационные) возможности презентации, яркость и красочность фотографий несет тот эстетический заряд, который помогает лучшему усвоению материала.

Презентация «Длина окружности»	Презентация «Виды треугольника»

Тесты (всего - 229)
Одним из наиболее ответственных и трудоемких процессов при организации компьютерного тестирования, как метода контроля знаний, является разработка теста, который должен обладать определенными свойствами, характеристиками и соответствовать целям тестирования. Коллекция цифровых образовательных ресурсов содержит широкий выбор готовых тестов к урокам геометрии  (более 220, от простейших до более сложных). Тесты позволяют в кратчайший срок проверить знания больших групп учащихся, выявить пробелы при изложении учебного материала, применить методы математической статистики для оценки степени его усвоения всеми испытуемыми и т.д. Например: тест, представленный в виде интерактивного модуля «Вид треугольника», где ученик по величине углов определяет вид треугольника. Использование тестов учениками в самостоятельном обучении  дает им возможность самостоятельно найти пробелы в своих знаний, развивает способность творчески использовать полученные знания, умения и навыки в новых, нетипичных ситуациях.

Интерактивное задание (всего – 2593)

Набор из 5 интерактивных заданий для самостоятельного решения по теме "Векторы в стереометрических задачах".	Интерактивный модуль «Вид  треугольника»

Интерактивные модели – очень важное средство наглядности, позволяющее решать многие проблемы обучения. Особенно четко это прослеживается при решении стереометрических задач. Иллюзия трехмерности, создаваемая на экране, позволяет сразу ввести учащихся в курс стереометрии. Например, интерактивный модуль  «Векторы в стереометрических задачах», содержащий  5 интерактивных заданий, для решения которых предлагается  использовать конструктор фигур и сечений - информационный инструмент, используемый для визуализации и решения заданий.

При этом учащиеся могут видеть не только сами стереометрические тела, но и следить за ходом рассуждений, проникая, в частности, в идейный смысл курса. В курсе планиметрии содержательные геометрические задачи, как правило, оказываются более сложными, чем алгебраические, т.к. их решение в меньшей степени алгоритмизировано, они требуют более высокого уровня самостоятельного мышления, навыка работы в ситуации многовариантного выбора и т.д. Для того чтобы начать их успешно решать, нужно преодолеть определенный психологический барьер. Помочь в этом могут задачи с подсказками. В коллекции содержится большое число моделей с визуальными подсказками.

Анимация (всего – 289)
Использование анимации на уроках геометрии способствует развитию пространственного воображения, образного мышления. Как часто мы просим детей «Представьте себе», а если ребенок не может представить? Вот и придет на помощь этому ученику ЦОР.
В коллекции цифровых образовательных ресурсов в разделе «Анимации» можно увидеть и презентации с анимационными эффектами на слайдах,  и анимационные (озвученные) решения задач и теорем (например, Анимационный ролик "О сумме противолежащих углов вписанного в окружность четырехугольника") и последовательные действия по построению различных конструкций ("Теорема Наполеона"). 

Анимационные материалы к теме "Теорема Наполеона"	Анимационный ролик "О сумме противолежащих углов вписанного в окружность четырехугольника"

В коллекции также представлены несколько аудиофрагментов с текстовым определением, мультимедиаобъекты. Методическую ценность представляют Поурочные планирования к учебникам геометрии, к учебно-методическим комплексам, а также наборы цифровых ресурсов к каждому уроку. Например:

• Планирование к комплексу «Компетентность. Инициатива. Творчество» (наглядная геометрия 5-6 классы)
• Поурочное планирование к учебнику «Геометрия», 7 класс, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. 15-е изд., М.:"Просвещение", 2005.
• И др.

Учителям геометрии будет интересно  познакомиться с  Методическими рекомендациями по использованию наборов ЦОР  к учебникам «Геометрия» 7-9 класс авторов Шарыгин И.Ф и Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф.

Для преподавания геометрии в школе эти типы ресурсов представлены ещё не очень широко, так как они имеют более сложную структуру, чем наборы цифровых образовательных ресурсов (ЦОР), расширяющие учебники.

«Геометрическое конструирование на плоскости и в пространстве»

Коллекция интерактивных заданий на конструирование различных геометрических моделей на плоскости и в пространстве. Может быть использована на уроках математики в 3-4 и 5-6 классах, а также для самостоятельной работы учащихся. Так как материал охватывает все начальные сведения по планиметрии и тригонометрии школьного курса, то данный комплекс ИИСС можно использовать и на уроках геометрии в 7-8 классах. 
Все задания выполняются с помощью специально разработанных интерактивных модулей-конструкторов, создающего перед учеником ряд наглядных зрительных образов геометрических объектов и погружающего его в проблемную ситуацию. В процессе ее разрешения, как результат самостоятельной деятельности ученика, возникает плоская или пространственная геометрическая конструкция и сопутствующие ей геометрические понятия (фигуры, тела, величины, геометрические преобразования и т.д.).

Главное окно ИИСС

Задание на построение конструкции

Задание с вводом ответа

ИИСС «Геометрическое конструирование на плоскости и в пространстве» может  использоваться не только на уроках математики и геометрии, но и  на факультативных и кружковых занятиях. Все преподаватели геометрии прекрасно понимают важность изучения пространственных фигур при изучении планиметрии; развитие пространственного мышления необходимо начинать уже в 3-4, и продолжать в 5-6 классах, а не в 10 классе, когда начинаются уроки стереометрии.

Тема «Многогранники и развертки», Задача: Дана окружность и прямая. Постройте все касательные к данной окружности,  параллельные данной прямой.	Тема «Многогранники и развертки», Задача: Сверните данную развертку в правильную треугольную призму. Помните, что при сворачивании необходимо правильно задать угол.

Основными целями данной разработки являются создание условий для более глубокого и качественного усвоения учащимися геометрического материала из курса математики начальной и основной школы; получение навыков конструкторско-практической деятельности с использованием современных средств вычислительной техники; развитие элементов конструкторского мышления, графической грамотности, пространственного воображения, логического мышления, эстетического вкуса и других составляющих интеллектуальной деятельности, необходимых как в математике, так и в других учебных дисциплинах.

«Конструктивные геометрические задания» 
ИИСС «Конструктивные геометрические задания» содержит банк из более чем 300 компьютерных моделей-заданий конструктивного типа по геометрии, теоретические, методические и справочные материалы.
Конструктивная деятельность учащихся всегда была важной составной частью изучения математики. Информационно-компьютерные технологии позволяют расширить сферу этой деятельности, разнообразить ее, сделать более интересной и поучительной.

Задания, включенные в ИИСС, могут использоваться на всех ступенях учебного процесса, где геометрия выступает как относительно самостоятельный предмет, т.е. в 5-11 классах как основной, так и профильной школы. Комплект заданий состоит из трех блоков:

1) Наглядная геометрия. Это задания, знакомящие учеников через конструктивную деятельность с основными понятиями геометрии и базирующиеся на специально для них разработанном инструментальном модуле.

2) Классические задачи на построение циркулем и линейкой. Задания этого блока ориентированы на 7-9 классы; можно использовать их и при повторении планиметрии в старших классах, в том числе, в профильной школе. Среди них есть и простейшие стандартные построения, и почти все задачи на построение из наиболее популярных школьных учебников, и весьма сложные задачи, в том числе на темы, лишь слегка затрагиваемые в обычном курсе, но дающие богатый материал для факультатива.

3) Задания по стереометрии ориентированы на программный материал 10 класса и представляют собой разнообразные задачи на построение на изображении. Их основной особенностью является то, что в большей своей части они построены на основе шаблона, позволяющего изменять ракурс изображаемой фигуры.

«Вписанная и описанная окружности», 7-9 класс
ИИСС представляет собой электронный учебный модуль, состоящий из листаемых страниц, каждая из которых содержит порцию предметной информации и необходимые активные элементы для освоения материала и новых учебных навыков.

Материалы предлагаемого ИИСС могут использоваться фрагментарно в различных учебных эпизодах, с различной целевой учебной нагрузкой. Кроме того, остается возможность комплексного применения последовательности из нескольких страниц ИИСС при изучении того или иного материала на уроке или дома. Очевидно, что наличие разнотипных информационных учебных элементов в ИИСС расширяют возможности его использования до сферы проектных и исследовательских работ учащихся.

 ИУМК - полный набор средств обучения, необходимых для организации и проведения учебного процесса.

«Геометрия. Динамическая геометрия. 9 класс»

ИУМК «Геометрия 9. (Динамическая геометрия)» предоставляет учителю и ученику возможность дифференцированного подхода к изучению геометрии: от опытной, наглядной геометрии до углубленного уровня путем рассмотрения более серьезных вопросов, касающихся тонкостей теории. Он рассчитан как на изучение при 2 часах в неделю в обычном классе, так и при 3 часах в неделю в классе с углубленным изучением геометрии.

ИУМК содержит три уровня изучения:
- общеобразовательный, в который входят определения понятий, сопровождаемые большим количеством иллюстраций, формулировки теорем, объяснение их смысла на чертежах, простейшие логические выводы.
– расширенный, на данном уровне общеобразовательный минимум расширяется за счет дополнительных фактов в теории, не относящихся к минимальному содержанию.
- углубленный, который включает более трудные доказательства теорем, теоретические задачи, большинство задач рубрики Доказываем, Исследуем. Третий уровень обращен к ученикам, профессия которых в дальнейшем существенно связана с математикой.

Геометрия возникла из практики и применяется на практике. Поэтому в данном ИУМК геометрия постоянно связывается с реальными вещами: векторы идут от физики, координаты – от географии, движения в геометрии – от реальных механических движений, симметрии – от архитектуры и искусства и т.д., и т.п. Мы стремимся преодолеть оторванность традиционного изложения геометрии от практики. ИУМК воспитывает также у учеников и информационную культуру.

«Компетентность. Инициатива. Творчество»

Использование данного ресурса ИУМК «Компетентность. Инициатива. Творчество» в учебном процессе предполагает: формирование компетенций, получение знаний, осваивание умений и навыков в соответствии с требованиями к уровню подготовки выпускника современной школы; формирование не только заданных индивидуальных траекторий обучения, но и произвольных траекторий, определяемых обучаемым. Сосотит из двух частей: «КИТ- математика 5-6» и  "КИТ - наглядная геометрия 5-6".
"КИТ - наглядная геометрия 5-6" предназначен для проектирования предметно-ориентированной среды с помощью семи интерактивных обучающих программ, имеющих модульную структуру: "Геометрические конструкции на плоскости и в пространстве", "Геометрия и моделирование", "Математическое вышивание", "Измерение геометрических величин", "Конструкции из кубиков и шашек", Программа "Орнаменты",  Программа "Графические диктанты и Танграм".

Методы, считающиеся специфически геометрическими, основываются на наглядности геометрических образов,  а потому они доступны учащимся с различной математической подготовкой.  Изуче­ние  и  применение этих методов в конкретной задачной и житейской ситуации способствует развитию мышления учащихся, умению видеть и применять геометрию в повседневной жизни. Причем материалы этого ИУМК «Компетентность. Инициатива. Творчество» представляют интерес также и для применения в 7 – 9 классах, как на кружковых занятиях, так и на факультативах.

Использование «Наглядной геометрии» способствует осуществлениюразвивающих функций обучения (развитие образного и логического мышления, формирование гармонического склада ума, элементов творческого мышления), способно вооружить учащихся геометрическим методом познания действительности, основанным на наглядности, а также определенным объемом геометрических знаний и умений, необходимых ребенку для нормального функционирования человека в современном обществе. И. что тоже немаловажно,  сформировать у учащихся положительное эмоционально-ценностное отношение к предмету и окружающему миру.

Все представленные в федеральной коллекции:

• наборы ЦОР нацелены на наилучшую встраиваемость в существующую систему образования и минимальные требования к инновационности,
• ИИСС ориентированы на частные решения, основанные на использовании ИКТ и нацеленные на внесение локальных изменений в образовательный процесс,
• в ИУМК заявлены инновационные решения на уровне учебных курсов, претендующие на кардинальные изменения в содержании и организации учебного процесса.

На портале ФЦИОР размещены электронные учебные модули открытых мультимедиасистем. Тематика ресурсов по геометрии школьного курса многообразна. Кроме того, на портале можно найти и собственные методические рекомендации, направленные на ознакомление педагогов с особенностями применения тематических электронных учебных модулей и комплектов модулей методической поддержки, доступ к которым реализуется с использованием портала ФЦИОР.

Например:
Вычисление угла между двумя прямыми.
Задание повышенной сложности состоит из трех уровней и направлено на отработку навыков применения метода координат для решения задач на нахождение величины угла между прямыми. При прохождении уровней учащемуся предоставляется возможность использовать подсказки. 10_й класс

Параллельность плоскостей. Признак параллельных плоскостей.
Теорема о существовании плоскости, параллельной данной плоскости. Модуль содержит информацию для изучения параллельных плоскостей, знакомства с признаком параллельности двух плоскостей и свойствами параллельных плоскостей; содержит задания для самоконтроля, способствующие овладению методами прямого и косвенногодоказательства утверждений. 10_й класс.

Параллельность плоскостей. Признак параллельных плоскостей.
Теорема о существовании плоскости, параллельной данной плоскости. Модуль состоит из 5 заданий, предназначенных для отработки умений учащихся пользоваться определением параллельных плоскостей, применять признак параллельности плоскостей и свойства параллельных плоскостей, а также умения доказывать утверждения, основанные на знании данной темы

Электронные ресурсы на CD и  DVD, предлагаемые на рынке различными издательствами можно условно разделить на несколько типов: Уроки, Практикумы, Репетиторы.

Содержание на дисках виртуальных геометрические инструментов, интерактивных заданий, автоматической проверки результатов решения, богатого теоретического материала позволят научиться уверенно решать задачи по геометрии.

Так, например, в состав электронного издания «Геометрия. 7 класс. CD. Мультимедийное приложение к учебнику» (издательство Дрофа) включена лаборатория "Планиметрия",  представляющая собой графический планшет, содержащий инструменты для построения, модификации и измерения различных геометрических конструкций и фигур. Содержание диска соответствует структуре учебника, включает озвученный и анимированный теоретический материал, что дает возможность не только использовать его на уроке, но и (что очень ценно), позволит учащимся самостоятельно повторять и систематизировать материал. Кроме того,  имеются задачи с автоматической проверкой и журнал успеваемости.

1. Электронное издание «Математика, 5-11 класс. Практикум» 
2. Электронное издание «Математика, 5-11 класс»
3. Открытая Математика 2.5. Стереометрия
4. Открытая Математика 2.5. Планиметрия
5. Уроки геометрии Кирилла и Мефодия 10-11 класс
6. Репетитор по геометрии 10 класс
7. Уроки геометрии Кирилла и Мефодия. 7–9 классы

И это только несколько примеров из множества цифровых образовательных ресурсов, предлагаемых разными издательствами («Кирилл и Мефодий», Akella, 1С и другие) для педагогов школ на CD- и  DVD-дисках.
Изучение геометрии с использованием материалов, представленных на диске, создаст дополнительную мотивацию к изучению предмета.

• Методические рекомендации по использованию цифровых образовательных ресурсов в преподавании геометрии.

В современных условиях основными педагогическими идеями являются идеи гуманизации, гуманитаризации и демократизации, которые закладываются в основу новых приоритетов образования.
В русле этих идей лабораторией математического образования Института общеобразовательной школы Российской Академии образования разработана концепция школьного математического образования. В качестве основной задачи она выдвигает «переориентацию методической системы обучения на приоритет развивающей функции обучения по отношению к его образовательной, информационной функции.
Основными задачами преподавания геометрии в школе являются:

• изучение пространственных форм;
• развитие пространственного воображения;
• воспитания правильного логического мышления;
• привитие  практических  навыков,  включая  сюда  и  умение  решать различные геометрические задачи теоретического характера, так и умение применять свои знания к решению вопросов практики.

Академик А.Д.Александров говорил: «Особенность геометрии, выделяющая её не только среди остальных частей математики, но и среди других наук вообще, состоит в том, что в ней самая строгая логика соединена с наглядным представлением. Геометрия в своей сущности и есть такое соединение живого воображения и строгой логики,  в котором они взаимно организуют и направляют друг друга.

Сущность геометрии противоречива: «…в ней непосредственно изучаются идеальные геометрические фигуры, которых нет в действительности, но ее выводы применимы к реальным вещам, к практическим задачам». Задача любого учителя -  приблизить учеников к их пониманию.

а) изучение пространственных форм
Учащиеся, имевшие дело в 7-9 классах с геометрией на плоскости, испытывают серьезные затруднения при переходе из плоскости в пространство. Дело в том, что хотя геометрическое, пространственное воображение присуще некоторым школьникам, но таких детей не так уж много. Большинству школьников требуется помощь в развитии умения представлять и изображать стандартные стереометрические конфигурации; их приходится как-то обучать геометрическому видению. Широкий спектр цифровых образовательных объектов в виде наглядных анимационных моделей позволяет учителю представить на уроке пространственные фигуры в трехмерном измерении, рассмотреть их сечения и т.д., выполнить развертку тела, или по развертке построить фигуру.

ИУМК «Компетентность. Инициатива. Творчество» Наглядная геометрия
Задание: Составьте из фигур – «кусочков» развертку поверхности геометрического тела.

 Но, если модели параллелепипеда, пирамиды, простейших правильных многогранников можно найти в большинстве кабинетов математики, то например пространственную фигуру звездчатого додекаэдра вряд ли.

Таким образом, использование цифровых образовательных ресурсов способно активизировать мышление учащихся, заинтересовать процессом самостоятельного добывания знаний, создать на занятиях творческую атмосферу.

д) визуализация обучения
Особое место при проектировании уроков геометрии занимают вопросы восприятии информации. Ведущим видом восприятия информации при работе с компьютерными средствами обучения сегодня и в обозримом будущем является визуальное. Поэтому важнейшим вопросом в организации процесса обучения геометрии с помощью компьютера является анализ свойств визуальной информации и особенностей её восприятия с экрана.  Вообще говоря, стоит говорить о диалектическом единстве визуального восприятия и мышления: «восприятие без мышления было бы бесполезно, мышлению без восприятия  не над чем было бы размышлять».

Для того, чтобы медиаресурсы по геометрии отвечали основным параметрам визуализации учебной теории необходимо, чтобы в них была лаконично представлена информация, точность воспроизведены элементы, сделаны акценты на главные, существенные детали образов, учтены возможности обучаемого в восприятии визуальной информации. 
При конструировании уроков геометрии с использованием цифровых образовательных ресурсов можно реализовать условия дифференцированного обучения различными способами: свободный выбор как темпа изучения материала, так и глубины и разнообразия его. Педагог, используя ресурсы, может организовать на уроке индивидуальную, парную или групповую работу учащихся.  
Самые широкие возможности для дифференциации предоставляет этап закрепления и применения знаний.

Типы ресурсов, применяемых на данном этапе: тесты, дополнительные задачи к уроку (энциклопедические статьи), иллюстрации к задачам, практические задания, тренажёры.

На этом этапе урока необходимы, прежде всего, групповые занятия учащихся, в ходе которых они бы выполняли конкретные задания, соответствующие их учебным возможностям. Задания в зависимости от уровня группы различны по трудности и по количеству. Работа в группах происходит следующим образом: ученики знакомятся с заданием, все приступают к его выполнению. Если результат у всех одинаковый, то выполняют другое задание. Если кто-то получил другой результат, чем другие, он должен объяснить, как его нашел и по возможности найти ошибку. При необходимости ему помогают. Если получено несколько разных ответов, то все члены группы еще раз анализируют процесс решения, а за этим следует общий анализ. Если какая-либо группа испытывает трудности, учитель включается в ее работу и руководит обсуждением. Таким образом, учитель больше внимания может уделить ученикам, чем в рамках фронтальной работы.

Много возможностей для дифференциации на этапе закрепления и применения знаний имеется и у индивидуализированной самостоятельной или контрольной работы.

 Эффективным средством для учета интересов и способностей школьников являются и дифференцированные домашние задания, которые могут быть направлены на дальнейшее изучение нового материала, на закрепление и проверку знаний, умений и навыков учащихся. Многолетние педагогические эксперименты показывают, что в развитии творческих способностей учащихся достигается тем большая эффективность, чем больше используются возможности и средства самоуправления учащихся. Все то, что учащиеся в учебной деятельности способны выполнить без помощи извне, они должны выполнить самостоятельно. Эту возможность предоставляет мультимедийные ресурсы, представленные на федеральных ресурсах.  Ученики могут не только использовать для изучения, повторения и закрепления материалы готовых материалов, но и создавать  свои собственные материалы к уроку. Тем самым, формируя не только  определенный уровень знаний, но и умение применять знания на практике, ориентироваться в нестандартных  ситуациях, развитии компетентности обучающихся, в частности, информационной компетентности. Электронные образовательные ресурсы позволяют выполнить дома значительно более полноценные практические занятия – от виртуального моделирования до лабораторного эксперимента, и тут же провести аттестацию собственных знаний, умений, навыков. Домашнее задание становится полноценным, трёхмерным, оно отличается от традиционного так же, как фотография невысокого качества от объёмного голографического изображения.

1. Способы организации деятельности с Интернет-ресурсами в процессе преподавания геометрии

Среди ЦОРов особое место занимают Интернет-ресурсы. Интернет-среда становится важнейшим в современном обществе источником информации, в том числе, образовательной. Учителя математики не могут не учитывать этого в своей повседневной педагогической практике. Освоение Интернет-технологий в самое ближайшее время станет одной из базовых компетенций учителя. Интернет-ресурсы, во-первых, должны стать значимым источником новой информации и предоставлять эксклюзивный материал для моделирования уроков; во-вторых, стать источником и организатором самообразования учителя; в-третьих, способствовать профессиональной рефлексии собственного и чужого опыта, в-четвертых, позволяет развить у учащихся основные компетентности, необходимые  ему на современном этапе развития общества (фундаментальность общеобразовательной подготовки; способность учиться; коммуникабельность, умение работать в коллективе; способность самостоятельно мыслить и действовать; способность решать нетрадиционные задачи, используя приобретенные предметные, интеллектуальные и общие знания, умения и навыки). 
Интернет-ресурсы на уроке (структура ресурсов)

1. Использование образовательных ресурсов, созданных на базе университетов, компьютерных фирм с целью изучения определенных тем, курсов (например, учителя биологии, химии, физики, астрономии могут обращаться на занятиях к образовательным ресурсам, которые на современном научном уровне представляют интегрированные знания: данные космических обсерваторий, спутников, анимация физических, химических процессов, динамических компьютерных моделей и мн.др.).
2. Интернет-ресурсы электронных библиотек, различных энциклопедий, текстов, а также самые различные ресурсы, созданные энтузиастами, (например, при использовании групповой формы работы, охватывается большой по объему материал, идет оценивание, анализ, выделение главного, защита своей точки зрения перед одноклассниками).

Несколько Интернет-ресурсов, которые будут интересны учителям при подготовке уроков геометрии, при организации проектной деятельности школьников, так как содержат интересный интерактивный, иллюстративный и информационный материал.

http://www.etudes.ru/ru/mov/ . Сайт «Математические этюды» .
На сайте представлены этюды, выполненные с использованием современной компьютерной  3D-графики,  увлекательно и интересно рассказывающие о математике и ее приложениях.

http://allmatematika.ru/page.php?18   «Математический сайт allmatematika.ru»
На сайте представлены интересные модели стереометрии, для которых можно менять размеры, тип фигуры. Модели будут  интересны для исследования учащимися при организации кружковых и факультативных занятий.

Это только пример такого рода Интернет-ресурсов, которые можно использовать на уроках геометрии.

3. Интернет-ресурсы (ЦОРы - цифровые образовательные ресурсы), созданные по результатам проведенных телекоммуникационных проектов (например, используются сайты, сделанные педагогами и их учащимися – по краеведению, окружающей природе, архитектуре города, знаменитым людям, по результатам их исследований, поисков, творческих работ в проектной деятельности)

Примером такого рода Интернет-ресурсов может служить сайт Дистанционной Обучающей Олимпиады по математике (ДООМ), которая уже 4 год проводится на страницах ТолВики. В олимпиаде участвуют не только команды учащихся России, но и стран Ближнего Зарубежья. Методической ценностью данного ресурса является богатейший материал, собранный на его страницах  участниками проекта (учителями и учениками). Вот уже четвертый год олимпиада объявляет новую тему и ребята, участвующие хотя бы раз в ДООМ, ждут с нетерпением нала нового этапа проекта.
http://itc.tgl.ru/wiki/index.php/Категория:Проект_ДООМ_-_2008-2009

Однако появились образовательные ресурсы, выстраивающие целенаправленный диалог с пользователем, предполагающие его активность. Имеются в виду ресурсы, материалы которых требуют от учителя активности в перестройке предоставляемой ими информации с целью переноса этой информации из виртуального пространства Интернета в реальное познавательное пространство урока.  А также организацию деятельности учащихся в данном виртуальном пространстве.

Характер использования Интернет-ресурсов при изучении геометрии определяется составом материалов, размещенных на различных сайтах. Некоторые из них могут быть использованы непосредственно в учебное время: на уроках и факультативных занятиях; некоторые же предоставляют материал для самостоятельной работы учащихся при выполнении домашних заданий и разного рода исследовательских работ.

Как источником хранения учебных материалов можно пользоваться сервисами для хранения закладок. Например, учитель предлагает ребятам на уроке (по группам) создать коллекцию закладок по теме «Векторы в пространстве». При этом ребята не только самостоятельно ведут поиск Интернет-ресурсов, но и пользуются всем массивом закладок, которые разместили пользователи данного сервиса. Задания подобного рода создают благоприятную среду для вовлечения учащихся в поисковую и исследовательскую деятельность при обучении геометрии, а также позволяют вырабатывать у них способность и даже, наверное, привычку к классификации и систематизации всей информации, таким образом, формируя у ребят способность учиться.
       
Сервис для хранения закладок  (http://bobrdobr.ru)    Закладки с метками  «математика» и    «образование»  

ВикиВики – сетевой ресурс, который дае возможность при представлении материала проследить взаимосвязи с помощью гипертекста. На этот ресурс педагогам можно обратить пристальное внимание, как на площадку для проведения проектов, создание простейших математических энциклопедий, созданных руками ребят,  а также использование уже готовых материалов многочисленных энциклопедий, организованных в среде ВикиВики.

Эта среда играют важную роль в развитии коммуникативных навыков у ребят, так как взаимодействие между людьми устанавливается через взаимодействие между статьями. С помощью ВикиВики возможно организовать проведение тренинга, семинара, интерактивной лекции, дистанционного курса. В этом случае ведущий тренинга заранее размещает тексты заданий и ссылки на дополнительный материалы. Обучающиеся выполняют задания, читают тексты, фиксируют свою деятельность. Ведущий занятие полностью контролирует деятельность учащихся (это одна из стандартных функций среды ВикиВики), имеет возможность исправить ошибки, оставить комментарии, которые немедленно будут видны обучающимся.

Большое разнообразие социальных сервисов позволяет каждому учителю выбирать и использовать их с учетом особенностей участников проекта. Предлагаем вам познакомиться с предложенными социальными сервисами и составить собственное мнение о каждом из них.

Интернет — наиболее динамично развивающаяся сегодня информационная среда. Характер, целеполагание и качество профессиональных Интернет-ресурсов весьма различны, как и состав представленных в них материалов. Поэтому педагогическая наука, с одной стороны, находиться в постоянном поиске способов адаптации новых мультимедиа технологий к уже имеющимся в арсенале учителя методикам, а с другой, осуществляет поиск новых оригинальных способов вовлечения компьютерных технологий в урок.

Проектируя учебное занятие, важно, чтобы каждый преподаватель помнил простую мысль: компьютер в учебном процессе – не механический педагог, не заместитель или аналог преподавателя, а средство при обучении детей, усиливающее и расширяющее возможности его обучающей деятельности.

1. Развитие  ключевых  и предметных компетентностей  учащихся через различные формы и методы использования ЦОР 

XX век вошел в историю как век «информационного взрыва», как век формирования мировой информационной структуры. Появление новых средств массовой информации позволило соединить между собой разные виды человеческой деятельности, разделенные пространством и временем.
В связи с этим необходим анализ  требований к современному уроку с позиции содержательного наполнения, вариативности его структуры, композиционного построения и технологической реализации. Конструирование уроков  с использованием информационных технологий связано не только  с анализом дидактических возможностей средств  новых информационных технологий, но и требует достижения ключевых  и предметных компетентностей  учащихся через различные формы и методы использования ЦОР.
Идея фундаментализации в средней школе понимается двояко, с одной стороны, это обоснованный и выверенный процесс построения целостного информационного фундамента для непрерывно функционирующей системы образования,  с другой, целенаправленное усиление фундаментальности построения и использования информационно-компьютерных систем, изучение которых целесообразно для средней школы. Если говорить о фундаментальности     общеобразовательной подготовки, то именно создание и использование на уроках инновационных учебно-методических комплексов позволит развивать у учащихся ключевые компетентности.

Например, при проведении уроков  «Симметрия многогранников» (10 класс) использование ЦОРов дает возможность не только знакомиться с материалами, отвечающим стандартам образования, но и работать с материалами, углубляющими знания по теме, задачи не только на закрепление основного материала, но и задачи, требующие нестандартного подхода к решению. Таким образом, в зависимости от профиля класса, задач и целей урока, учитель может спроектировать занятие, по ходу реализации которое можно будет изменить, перестроить, усложнить  или упростить. 

Использование средств НИТ в учебном процессе принципиально изменило подход к оценке информационных умений педагога, в связи с этим понятна актуальность принципа информативности, практическая реализация которого связана с использованием средств информационных и коммуникационных технологий (ИКТ) в плане развития личности обучаемого, формирования у учащихся информационно-коммуникационных компетенций. Широкое применение в научном изучении явлений, в том числе и геометрических, получает информационный подход. Он заключается в расширении информационного пространства, совершенствования навыков самостоятельной работы, подготовки к поступлению в ВУЗ. Учитель, используя ресурсы «КМ-Школы» может создать условия для интересной, увлекательной, разумной познавательной деятельности каждого ученика на уроках геометрии, что

Например, тема «Равенство и подобие» в 10 классе. При изучении свойств фигур на плоскости особое место занимают равенство и подобие фигур. Теоретический материал по подобию и равенству стереометрических тел можно дать учащимся крупным блоком, но при этом необходимо повторение этих свойств для плоскостных фигур. Структурирование учебного материала с целью укрупнения дидактической единицы обеспечивает целостное восприятие информации. Информация фиксируется в виде обобщенных представлений об основных компонентах, подлежащих изучению. Причем эти компоненты рассматриваются во взаимосвязи. Это реализуется через рациональный отбор учебного материала (выделение базового, второстепенного, дополнительного), продуманность логической преемственности нового и известного материала в соответствии с профилем класса. Знакомство учащихся с теоретическим содержанием учебного блока сопровождается применением полученных знаний на практике (вопросы для повторения, тренажеры, тестовые задания).

Условием самореализации подростков в учебном процессе выступает уровневая дифференциация, которая реализуется с помощью комплекса следующих педагогических средств: вариативность организации учебной деятельности, набор уровневых заданий, создание ситуации выбора, разработка учебных инструкций. Использование этих средств позволяет развивать позицию школьника от объектной к авторской через субъектную. В результате осуществляется процесс группового и личностного информационного обмена, при котором повышается степень осознанности овладения знаниями, способами учебной работы, формируется умение проектировать свои действия и получать положительные результаты труда, расширяется сфера интересов и их трансформация с узкоучебных на более широкие социальные.

Сегодня современные информационные технологии становятся важнейшим инструментом модернизации школы в целом – от управления до воспитания и обеспечения доступности образования. Таким образом, можно говорить, что интеграция информационных технологий в образовании позволяет осуществить личностно – ориентированный подход в обучении ученика. Использование информационных технологий в обучении геометрии позволяет создать условия для самостоятельного приобретения учащимся знаний за счет

1.         прекрасной наглядности, создаваемой компьютером,
2.         реализации методики проблемного обучения с использованием ученических программ,
3.         автоматизации контроля обученности, что позволяет индивидуально каждому ученику иметь полную и объективную информацию о ходе процесса обучения в реальном временном масштабе (т.е. о его достижениях в ходе занятия)
4.         технических возможностей компьютера как дидактического средства обучения, позволяющего обеспечить эффективную реализацию развивающего обучения,
5.         развития способностей к творчеству и формирования психологической готовности к самореализации.

Итак, цифровые образовательные ресурсы (ЦОР) для учителя геометрии на современном этапе являются необходимым инструментом, применение которого  способствуют формированию у учащихся ключевых и предметных компетенций.