Определение. Процентом числа а называется сотая его часть.
Если данное число принять за 1, то1% составляет 0,01 этого числа,25 % составляют 0,25 числа (или ¼) и т.д.
Таким образом, чтобы число процентов выразить в виде дроби, достаточно число процентов разделить на 100.
Например, 125 %=1,25; 2,3 %=0,023.

Типы задач на проценты:

1.    Нахождение процентов данного числа.
Чтобы найти а % от числа в, надо в умножить на а/100.
Например, 30 % от 60 составляют (60·30)/100=18.

Пример 1.
Число 200 увеличили на 30 %, полученное число увеличили еще на 20 %. Какое число получится в итоге?
Решение:
30 % числа 200 составляют 200  0,3 = 60. Новое число будет 200 + 60 = 260.
20 % числа 260 составляют 260  0,2 = 52. после второго увеличения получим 260 + 52 = 312.
Ответ: 312.

Пример 2.
Сколько процентов числа 7 составляет разность между ним и 4% числа 28?
Решение:
Найдем 4% от числа 28. Это будет: 28  0,04 = 1,12.
Определим разность 7 – 1,12 = 5, 88. Найдем, сколько процентов числа 7 составляет 5,88, для этого составим пропорцию:
Число 7 – 100%
      5,88 – х%.
Отсюда х =  = 84 %.
Ответ: 84%.




2. Нахождение числа по его процентам.
Если известно, что а % числа х равно в, то число х можно найти по формуле х=(в/а)·100.
Например, если 3 % вклада в сберкассу составляют 150 р., то этот вклад равен (150/3)·100=5000 р.

Пример 3.
Некоторое число уменьшили на 12 % и получили 85. Чему равна величина этого числа (с округлением до 0,01)?
Решение:
Пусть искомое число х; 12% от х равны х  0,12. после уменьшения получим х - х  0,12 = 0,88 х= 85 (по условию). Отсюда х= =96,590(90). Округлим найденное число до двух знаков после запятой. Так как третья цифра после запятой 0 (меньше 5), то значение второй цифры после запятой сохраняется (в противном случае, эту цифру увеличиваем на 1) х=96,59.
Ответ: 96,59.

Пример 4.
Если 90 % числа равны (9  - 2   :  ), то это число равно
Варианты ответов
1) 8 ; 2) 8 ; 3) 8 ; 4) 8 ; 5) 9.
Решение:
Упростим данное выражение (9  - 2   : =(  - 2 ):  =
= (9  2  - 2  5 ): =  =8.
90% - 8
100% - х

х = .
Ответ: четвертый -  .

3. Нахождение процентного отношения чисел.
Чтобы найти процентное отношение двух чисел а и в, надо отношение этих чисел умножить на 100 %, т.е. вычислить (а/в)  100%.
Например, при плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей, тогда он выполнил план на (66/60)  100 %, т.е. на 110 %.



4. Задачи на сложные проценты.
Например, вкладчик сначала снял со своего счета в сберкассе 1/5 своих денег, потом 5/16 оставшихся и еще 999 рублей. После этого у него осталось на счете ¼ всех денег. Каким был первоначальный вклад?

Решение: Пусть первоначальный вклад был х рублей, тогда в первый раз вкладчик снял х/5 рублей, после чего осталось х - 1/5 х =4/5 х р., во второй раз он снял 5/16 4/5 х+999 = х/4+999 рублей. После чего у него осталось х/4 рублей. Составим и решим уравнение:
х - х/5- (х/4+999) = х/4;
(1-1/5-1/4-1/4)  х = 999;
3х/10 = 999;
х = 3330.       
Ответ: 3330.

При решении задач на банковские проценты удобно пользоваться следующими формулами.
Простой процентный рост:  Sn= (1+  )S, где S - начальная сумма вклада, p % – месячный процент, n – число месяцев
Сложный процентный рост Sn= (1+  )nS.
Пример 6.
Сумма в 1 тыс. рублей уменьшается ежемесячно на 5 %. Через сколько месяцев эта сумма сократиться до 1) 750 рублей 2) 500 рублей 3) 250 рублей 4) 50 рублей?
Решение: Данный пример на простой процентный рост.
Sn= (1+  )S; Sn= S +  ; Sn - S =   ;
 =Sn – S  pnS= (Sn – S)100; n =  
1). 5 месяцев
2). 10 месяцев
3). 15 месяцев
4). 19 месяцев
Ответ: через 5 месяцев, через10 месяцев, через 15 месяцев, через19 месяцев.

Пример 7.
Какая сумма будет на счете через 4 года, если на него положены 2000 рублей по 30 % годовых?
Решение: Данный пример на сложный процентный рост.
    2000 = 5712, 2 (рублей).
Ответ: 5712,2 рублей.
Пример 8.
Фирма решила повышать с 1 января цену на один и тот же товар в 2-х магазинах разными способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 2%, в другом – через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и тоже число процентов, причем такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо повышать цену товара через каждые два месяца во втором магазине?
Решение:
Пусть исходная цена товара равна х рублей. Тогла через 1 месяц в 1 магазине после повышения она станет равна х + 0,02х = 1,02х, а через 6 месяцев – (1,02)6 х.
Во 2 магазине после трех повышений на у % цена товара будет равна х (1+у/100)3.
Получим уравнение:
х 1,026 = х  (1+у/100)3;
1,022 = 1 + у/100;
у = 4,04.
Ответ: 4,04

Пример 9.
По пенсионному вкладу банк выплачивает 10 % годовых. По истечению каждого года эти проценты капитализируются, то есть начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет в 50000 рублей, который не пополняли и с которого не снимали деньги в течение 3-х лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?
Решение:
Задача на сложный процентный рост.
S3 = (1 + 10/100)3   50;
S3 = (113/103)   5000 = 1331  50;
S3 = 66550.
Ответ: 66550.

Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.
Например, из 40 т железной руды выплавляют 20 т стали, содержащей 6% примесей. Каков процент примесей в руде?

Решение:
1) Определим количество примеси в стали:
20 6%:100% = 1,2 (т)
2) (40-20) + 1,2 = 21,2( т) - примеси в руде
3) (21,2:40)  100% = 212 : 4 = 53% - примеси в руде.
Ответ: 53%.

Пример 10.
Сплавили 40 г золота одной пробы и 60 г золота другой пробы, и получили золото 62 пробы. Какой пробы было золото первого и второго слитков, если при сплаве их поровну получается золото 61 пробы?
Решение:
Проба золота – это концентрация золота в слитке.
1.
    1 слиток    2 слиток    сплав
масса    40 г    60 г    ?
проба    х %    у %    62 %
 
Получим уравнение (х/100)  40 + (у/100)   60 = 62.

2. Масса сплава 40 + 60 = 100 (г), поровну по 50 г.

50 г    50 г    100 г
х %    у %    61 %

Уравнение (х/100)  50 + (у/100)   50 + 61.
Решим систему уравнений:
х + у = 122
4х + 6у + 620

х = 56
у = 66

Ответ: 56 %; 66 %.