А что если подставить в данное предложение, например, слово машина: Лучше нашей машины нигде не сыщешь.  Разберем по членам: 1) не сыщешь - сказуемое, 2) не сыщешь (где?) нигде - обстоятельство, 3) не сыщешь (чего?) машины - дополнение, 4) машины (какой?) лучше нашей - определение. Логично?

Здравствуйте, Татьяна! Я прочитала найденные Вами "каверзные", иногда и ошибочные, задания в учебниках и ничуть не удивилась. Их, к сожалению, очень много. А что касается предложения "Лучше нашей нигде не сыщешь", в которой нужно найти грамматическу основу, то здесь ответ однозначный: это односоставное бесподлежащное предложение. Стало быть, основа - не сыщешь. Хотела бы знать, какой ответ предлагают сами разработчики КИМа?

    Спасибо, Ирина, за ссылку  на "Слово" . Хороший, добротный сайт.

     В решении этой задачи я также отталкивалась от  понятия двувидовой глагол. (Я сталкивалась с двумя: ранить, казнить. Но, по-моему, есть еще). Если слово образовано от совершенного вида , то это причастие - раненный; если слово образовано от несовершенного вида , то это отглагольное прилагательное - раненый.  Но определить вид можно только в контексте. Все очень хорошо вписывается общий алгоритм.

     P.S. Я рада, что появился еще один человек, которому интересно решение задач по русскому языку.