“Средняя линия треугольника”

<p> <span style="display: none">&nbsp;</span><span style="display: none">&nbsp;</span></p> <p> <strong><u>Структура урока: </u></strong></p> <ul> <li> Организационный момент.</li> <li> Актуализация опорных знаний.</li> <li> Постановка учебной задачи.</li> <li> Выполнение лабораторной работы и фиксация результатов.</li> <li> Обсуждение и доказательство результатов деятельности учащихся.</li> <li> Первичное закрепление.</li> <li> Включение в систему знаний и повторение.</li> <li> Рефлексия деятельности (итог урока), задание дом. задания</li> </ul> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <p> <strong><u>Организационный момент:</u></strong></p> <p> Здравствуйте, ребята! Сегодня наш урок геометрии проходит в кабинете информатики. Садитесь за парты и проверьте, всё ли у вас готово к уроку. Давайте вспомним правила поведения в кабинете информатики (фронтальный опрос).</p> <p> <strong><u>Актуализация опорных знаний:</u> </strong></p> <p> Давайте вспомним с вами признаки подобия треугольников. Которые мы с вами изучили совсем недавно.</p> <p> (На доске чертёж. Выходят по желанию к доске по одному человеку и формулируют по одному признаку подобия треугольников, отмечая соответственные углы и стороны в треугольниках АВС и А₁В₁С₁)</p> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> А</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> В</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> С</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> А₁ 11₁₁ ₁₁₁₁₁</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> В₁</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> С₁ 11₁₁ ₁₁₁₁₁</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <p> Теперь вы с своих тетрадях, а я на доске построим произвольный треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника отметим точки М и Nсоответственно так, чтобы АМ=ВМ, ВN=СN.</p> <p> Как в этом случае можно назвать точки М и N для отрезков АВ и ВС?</p> <p> (Дети ответят СЕРЕДИНЫ)</p> <p> Теперь соединим точки М и N. Какую фигуру получим?</p> <p> (Ответ детей ОТРЕЗОК)</p> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> А</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> В</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> С</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> М</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> N</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <p> Значит, мы получили отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника.</p> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <p> Ребята, такой отрезок имеет особое название &ndash; средняя линия треугольника.</p> <p> Может кто-то из вас, ребята, сам попробует дать теперь точное определение средней линии треугольника?</p> <p> <u>Опр.</u> Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.</p> <p> Теперь выполним следующую работу по вариантам:</p> <p> С помощью циркуля, угольника и линейки</p> <p> <u>1 вариант</u> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <u>2 вариант</u></p> <p> Проверьте расположение МNи АС&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; сравните длины МN и АС.</p> <p> Затем совместное обсуждение получившихся результатов и выдвижение двух гипотез:</p> <p> МNIIАС&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; и&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; МN= 1/2АС</p> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <p> <strong><u>Постановка учебной задачи:</u></strong></p> <p> Сегодня на уроке мы с вами попробуем сформулировать и доказать теорему о средней линии треугольника, которую затем будем использовать при решении задач.</p> <p> Дети сами пытаются сформулировать теорему о средней линии треугольника, записать дано и построить чертёж.</p> <p> Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон и равна её половине.</p> <p> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Дано:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; АВС, МN &ndash; cр.линия</p> <p> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;Док-ть: МNII АС и МN=1/2 АС&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> А</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> В</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> С</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> М</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> N</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> 1</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> 2</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <p> доказательство:</p> <ol> <li> Рассмотрим треугольники ВМN и ВАС. Они подобны (по 2-ому признаку подобия треугольников), т.к. угол В &ndash; общий, ВМ=АМ, ВN=СN и, значит, ВМ/ВА=ВN/ВС=1/2.</li> <li> Из этого следует, что углы 1 и 2 равны. А это значит, что МNII АС (соответственные углы при прямых МN. АС и секущей АВ), МN/АС=1/2. Отсюда следует, что МN=1/2АС.</li> </ol> <p> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Ч.т.д.</p> <p> Затем учащиеся ещё раз читают доказательство. Отмечают факты и утверждения, которые им не понятны. Задают вопросы учителю.</p> <p> <strong><u>Физкультминутка</u></strong></p> <p> Выполнение заданий на смену динамической позы. Все встаём у своих рабочих мест.</p> <p> Ребята, я буду говорить вам утверждения.</p> <p> Если ответ ДА, то вы приседаете, а если ответ НЕТ, то вы встаёте.</p> <ol> <li> у луча есть концы (нет)</li> <li> у луча есть начало и нет&nbsp; конца (да)</li> <li> отрезок бесконечен в обе стороны (нет)</li> <li> у отрезка есть два конца (да)</li> <li> у прямой есть начало и конец (нет)</li> <li> прямая бесконечна в обе стороны (да)</li> <li> у параллелограмма противоположные стороны параллельны (да)</li> <li> у прямоугольника все стороны равны (нет)</li> <li> ромб &ndash; это всегда квадрат (нет)</li> <li> квадрат всегда можно рассматривать как ромб (да)</li> </ol> <p> &nbsp;</p> <p> <strong><u>Первичное закрепление (по&nbsp; готовым чертежам на доске):</u></strong></p> <p> <u>Задача №1.(фронтальная работа)</u></p> <p> АВ=5см, ВС=8 см, АС= 7 см. &nbsp;Найти периметр треугольника МNР.</p> <p> &nbsp;</p> <p style="margin-left: 18pt"> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> А</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> В</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> С</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> М</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> N</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"> <tbody> <tr> <td> <div> <p> Р</p> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <p> Решение:</p> <p style="margin-left: 18pt"> Р _М_NР= МN+NР+МР.</p> <p style="margin-left: 18pt"> NР = АВ/2 = 5:2=2,5 (см),</p> <p style="margin-left: 18pt"> МN = АС/2 = 7:2=3,5 (см),</p> <p style="margin-left: 18pt"> МР = ВС/2 = 8:2=4 (см)</p> <p style="margin-left: 18pt"> Значит, Р _М_NР= 2,5+3,5+4 = 10 (см).</p> <p style="margin-left: 18pt"> Ответ: 10 см.</p> <p style="margin-left: 18pt"> <u>Задача №2.(фронтальная работа)</u></p> <p style="margin-left: 18pt"> Доказать, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.</p> <p style="margin-left: 18pt"> (Для решения необходимо сделать дополнительное построение &ndash; провести диагонали этого четырёхугольника).</p> <p style="margin-left: 18pt"> Далее ребятам предлагается выбрать задание по интересам.</p> <p style="margin-left: 18pt"> Тем ребятам, которые, как им кажется не совсем усвоили определение средней линии треугольника и её свойства, предлагается решить задачу из учебника №568 для варианта 1 под буквой а), а варианту 2 под буквой б)</p> <p style="margin-left: 18pt"> Далее они проверяют решение друг у друга, помогают и консультируются у учителя.</p> <p style="margin-left: 18pt"> А тем ребятам, которые разобрались в новом материале, предлагается выполнить лабораторную работу за ПК.</p> <p> Откройте, пожалуйста, программу &ldquo;Живая геометрия&rdquo;, в папке &ldquo;<img src="http://festival.1september.ru/articles/516480/img7.gif" />&rdquo; выберите инструмент &ldquo;Треугольник&rdquo; и откройте его на новом чертеже.(в папке сохранён рисунок треугольника ABD, в котором проведены медианы AE и DC)</p> <p align="center"> <img src="http://festival.1september.ru/articles/516480/img1.gif" /></p> <p align="center"> Рисунок 1 (на экране)</p> <p> Найдите и сравните длины отрезков AC и BC, DE и EB.</p> <p> Как называются отрезки DC и AE?</p> <p> Сформулируйте определение медианы треугольника.</p> <p> Сколько медиан в треугольнике можно провести?</p> <p> Что ещё нам известно о медианах треугольника?</p> <p> Не выполняя измерений, сравните длины отрезков AO и OE, DO и OC.</p> <p> Без измерений на данный момент это задание невыполнимо.</p> <p> &nbsp;</p> <p> <strong><u>Постановка учебной задачи.</u></strong></p> <p> Сегодня на уроке мы сформулируем и докажем свойство медиан треугольника, которое поможет нам сравнивать данные отрезки без дополнительных измерений. В дальнейшем это свойство мы будем применять при решении задач.</p> <p> <strong><u>Выполнение лабораторной работы и фиксация результатов деятельности.</u></strong></p> <p> Работа выполняется за компьютерами в группах по 1-2 человека.</p> <p> План проведения лабораторной работы:</p> <p> 1. Проведите третью медиану в данном треугольнике. Обозначьте её ВК.</p> <p> 2. Опишите взаимное расположение медиан треугольника.</p> <p> 3. Изменяя форму треугольника, наблюдайте за взаимным расположением медиан треугольника.</p> <p align="center"> <img src="http://festival.1september.ru/articles/516480/img2.gif" /></p> <p align="center"> Рисунок 2</p> <p> 4. Сделайте вывод и запишите его в тетради.</p> <p> 5. Измерьте длины отрезков DO и OC, AO и OE, BO и OK.</p> <p> 6. Вычислите отношения DО / OC, AO / OE, BO / OK. Что вы заметили?</p> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <p align="center"> <img src="http://festival.1september.ru/articles/516480/img3.gif" /></p> <p> Рисунок 3</p> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <p> 6. Изменяя форму треугольника, понаблюдайте за этими отношениями.</p> <p align="center"> <img src="http://festival.1september.ru/articles/516480/img4.gif" /></p> <p> Рисунок 4</p> <p> &nbsp;</p> <p> 7. Сформулируйте гипотезу о свойстве медиан треугольника и запишите её.</p> <p> <u>Обсуждение и доказательство результатов деятельности учащихся.</u></p> <p> Все закончили выполнение работы? Пересаживаемся за парты.</p> <p> Представители групп зачитывают свои гипотезы:</p> <ol> <li> Медианы треугольника пересекаются в одной точке.</li> <li> Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.</li> </ol> <p> Эти результаты мы получили в ходе выполнения лабораторной работы в программе &ldquo;Живая Геометрия&rdquo;, а теперь доказать их справедливость я предлагаю вам дома самостоятельно.</p> <p> <u>Рефлексия деятельности:</u></p> <p> Учащиеся отвечают на вопросы:</p> <p> Что нового я узнал, чему научился на уроке? Благодаря чему я этому научился?</p> <p> Что заинтересовало меня на уроке?</p> <p> Какие трудности встретились, как я их преодолевал?</p> <p> <u>Домашнее задание:</u> п.62,</p> <p> &nbsp;&nbsp;№571 и задачу соседнего варианта.</p> <p> Для тех, кто выполнил л/р за ПК, самостоятельно доказать свойство медиан треугольника+№624</p> <p> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> <p align="center"> &nbsp;</p>