Монотонность тригонометрических функций

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

    Вводное слово учителя.

«Тригонометрия» - слово древнегреческое. В переводе означает «решение треугольников». Зарождение тригонометрии  как науки о «решении треугольников» относится ко 2 веку до н. э. И только к 18 веку она стала развиваться как наука о тригонометрических функциях.

А мы, ребята, живущие в 21 веке, продолжаем  с вами изучать тригонометрические функции. И это может быть показателем  развития нашей математической культуры.

Слушают учителя.

      Организация фронтальной работы с классом.

1.  Какие преобразования графиков тригонометрических функций мы изучили?

 (на слайдах демонстрируются все преобразования).

2.  Графики каких функций изображены на рисунке (на слайдах)?

     Мы изучили различные свойства тригонометрических функций. Сегодня на уроке мы рассмотрим применение преобразований графиков к исследованию функций на монотонность.

Тема урока:          

Исследование тригонометрических функций на монотонность.

Отвечают на вопросы.

Работают со слайдами.

1.Сжатие, растяжение, параллельный перенос.

2.На слайде находят соответствующие графики.

Записывают тему урока в тетрадь.

        Учитель предлагает проверить построение графиков из домашнего задания  (графики – на доске, №16.35(в,г); №18.3(а)).

   Дополнительные вопросы:

1.Определить монотонность

 а)  функции  y  =  - cos(x + π/3) +1,5

на промежутке  [0; π/2); проанализировать монотонность всех  функций, используемых при построении графика;

в)  функции у = 3sin х/2

 на промежутке       [-π/2; π/2] .

Анализ результатов – на слайдах.

2.Какие преобразования графиков изменяют монотонность функции на промежутке?

Проверяют построение. Дают ответы на вопросы.

Анализируют результаты и  делают выводы.

Монотонность

функции на промежутке изменяется  при:

·        сжатии  или растяжении по оси х (изменяется период);

·        параллельном переносе по оси х;

·        симметричном отображении графика относительно оси х.

Определение.

Исследовать функцию на монотонность – найти промежутки возрастания и убывания функции.

Записывают определение.

Заполняют  таблицу

 в тетрадях.

Задача.

 Найти наибольшее значение функции 

 у = 4 sin(х-5π/12),

если  х из отрезка [5π/4;17π/12].

Учитель объясняет решение на доске (письменно).

Решение.

у наиб .=  у(5π/4) = 4sin(5π/4-5π/12) =

 = 4sin5π/6 = 4sinπ/6 = 2.

Ответ: 2.

Записывают решение в тетрадь.

Задача  из  учебника  №19.13(б).

При  каких  положительных  значениях параметра а функция  у = -3 cos(3х-π/2)  убывает  на

 [ а;а+π/3]?

Учитель контролирует работу учащихся.

Выполняют  решение у доски.

у = -3 cos(3х-π/2) 

у = -3 sin3х

Так  как  функция  у=sinх возрастает  на  [ –π/2+2πn; π/2+2πn], то решим систему:

    3а≥–π/2+2πn;

    3а+π≤ π/2+2πn;

    а≥–π/6+2πn/3;

    а≤ -π/6+2πn/3;

а = - π/6+2πn/3, n- целое число.

Если  n=0, то а = - π/6<0.

Если  n=1, то а = π/2>0

 ( n>1, а>0).

Если  n=-1, то а = -π/6-2π/3<0

(n<0, а<0).

Ответ:  а = - π/6+2πn/3,

n-натуральное число.

Выучить таблицу (монотонность функций), №№ 18.12(г), 19.13(а).

Заключительное слово учителя.

      Все течет, все изменяется в окружающем нас мире, как заметили еще древние. Вращается вокруг своей оси земной шар, и день сменяет ночь, Земля вершит свой вечный бег вокруг Солнца, Солнце вместе со всеми своими планетами вечно летит в космические дали… Кажется, причем здесь математика,  а тем  более функции  и  графики.

       Но, как образно заметил великий Г.Галилей, книга природы написана на математическом языке и ее буквы — математические знаки и геометрические фигуры, без них невозможно понять ее слова, без них тщетно блуждание в бесконечном лабиринте.

      А   именно   функция   является

тем средством математического языка, которое позволяет описывать   процессы   движения,   изменения,

присущие природе.

Урок закончен. Спасибо за работу.