Урок обобщения и систематизации   знаний  и  умений  по теме « Решение задач на теорию вероятности и комбинаторику»

 Цели урока :

Образовательная – систематизировать знания и умения по теории вероятностей и комбинаторике,  отработать навыки решения основных типов задания В 10 КИМов  ЕГЭ по математике,

Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к  подготовке к ЕГЭ, повышение интереса к математике, умения  работать в группе, навыки  самооценки  и    умения оценивать деятельность других , навыки взаимопроверки,

Развивающая – развивать логическое мышление, математическую речь,  умения сравнивать и делать выводы, развивать у учащихся  умения контролировать и оценивать свои достижения;

Методы и приемы : словесный, наглядный.

Форма работы : индивидуальная, групповая.

Тип урока – урок  обобщения и систематизации знаний  и умений  , построенный  с использованием системно- деятельностного подхода.

Наглядность к  уроку :

1. Презентация
2. Карточки – вопросы  по теории
3. Карточки на д/задание.
4. Карточки заданий по разделам.

Ход урока .

1. Оргмомент.

Здравствуйте, ребята, сегодняшний урок мы проведем в формеработы группами . До началаработы я вас просила определиться с лидером группы, который будет назначать отвечающего на поставленный вопрос или задачу. На столах у каждой группыкарточки и коробочка . За каждое правильно выполненное группой задание вы кладете в коробочку 1 карточку. Готовность отвечать на вопрос – поднимаем руку.Отвечает первой та группа , которая вперед выполнила задание. Если отвечают неправильно, то у соперников есть шанс ответить.

1. Проверка д/задания. Актуализация знаний. Вы должны были дома поработать с опорой  и выучить теорию.  Проверим, как вы готовы.  На столах у вас  карточки-полоски, переверните их. 8 вопросов   по теории ,лидер в группе , распределите каждому по 2 вопроса .  У вас 3 минуты, чтобы ответить на все вопросы.  Ответ готов – лидер поднимает  руку. 

1. Вероятностью  р  события  А  называется …
2. Формула для вычисления числа сочетаний 
3. Перестановки из  n – элементов 
4. Для несовместных событий А и В  вероятность суммы  р( А+В) =
5. Для независимых событий А и В вероятность произведения р( АВ) =
6. Вероятность противоположного события  р( ‾А)=
7. Вероятность противоположного события  р( ‾А)=
8. Равновозможные события – это…

Первая команда отвечает на 1-4 вопросы, 2 –я – на 5-8 вопросы.

Соперники, сколько баллов за ответы дадите.

Постановка цели и задач урока.

Чтобы определиться с темой нашего урока, я предлагаю вам 2 задачи

Прочтите их и определите, к какому разделу математикиони относятся :

Задача А. У вас в классе 8 человек .  Какова вероятность того, что  двое  из вас завтра   уедут  на соревнования   ?

Задача Б.

Сколькими способами можно выбрать2 дежурных в классе из 8 человек ?

К какому разделу математики относится 1 задача ?(вероятность события )2 задача ?( комбинаторика, сочетание).

Озвучьте, пожалуйста, тему урока .

« Решение задач на теорию вероятности и комбинаторику»

Вы встречали такого плана задания ? – В10 в КИМах.

Цель урока : мы сегоднядолжны с вами вместе систематизироватьзадачи по теории вероятностей и комбинаторике по типам, выделить основные типызаданий В10.

1. Обобщение и систематизация знаний.

Вернемся к задаче 1.Какова вероятность того, чтодвоеиз вас завтрауедутна соревнования?

Решим устно.

( 2/8=1/4 = 0,25) .

Ко второй задаче  мы вернемся позже.

Задача 2( другая).  

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Команда решает , представитель от команды записывает ответ на доске и объясняет решение.

Решение: Обозначим орел – О, решку –Р. Возможны следующие элементарные исходы:

                                                           ОО, ОР, РО, РР.

Значит, n=4.

Событию А=(выпал ровно один орел) благоприятствуют элементарные события ОР и РО, поэтому m=2.

Тогда

Ответ: 0,5.

Правильно ответили – не забываем класть в коробочку карточки.

 Задача 3.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что произведение  будет 6 очков. Результат округлите до сотых.

Решение: Элементарный исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Первое число выпадает на первом кубике, второе – на втором. Множество всех возможных исходов можно представить в таблице:

Всего элементарных событий – 36, благоприятных – 4.

Таким образом,  получим: .

Ответ: 0,11.

Задача 4

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Македонии, 9 спортсменов из Сербии, 7 спортсменов из Хорватии и 5 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Македонии.

Решение: Элементарное событие спортсмен, выступающий последним. Поэтому n=25.

Число благоприятных событий А= (последним выступает спортсмен из Македонии) – m=4.

Таким образом получим:

Ответ: 0,16.

Как Вы думаете, когда бросаем монету , равные возможностиисходоввыпадения решки и орла ? – да.

Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием.

Равные возможности у всех спортсменов быть первым или последним по жеребьевке ?

Назовите 1 тип заданий -с равновозможными исходами.

Рассмотрим следующий тип заданий .

Задача 1

 Вероятность того, что купленный в магазине насос для поливки  подтекает (или не работает) равна 0,11. Найдите вероятность того, что покупатель купит исправный насос для своего огорода .

Решение: событие А=(насос исправен). Вероятность противоположного события известна: .

Используя формулу вероятности противоположного события, получим:  

Ответ: 0,89.

         Задача 2 ( лидер – у доски)

Члены сборной команды по биатлону Смирнов и Петров независимо друг от друга попадают в мишень с позиции «лежа» с вероятностями 0, 87 и 0,92 соответственно. Каждый из них стреляет один раз. Найдите вероятность того, что оба спортсмена попадут в мишень.

Решение: событие А=(в мишень попал Смирнов), событие В=(в мишень попал Петров). Т. к. оба должны попасть в мишень, то используем формулу вероятности произведения (события независимые):

Ответ: 0,8004.

Команда , проверьте, правильно ли ваш лидер решил.

Подумайте и назовите 2-ой тип заданий В10  -  на применение правил и формул вычисления вероятности.

 Тему сегодняшнего урока мне напомните , пожалуйста.

Какой 3 тип заданий В10, как Вы думаете ? – на комбинаторику.

 ФИЗМИНУТКА !

Задача 1.

Вас 8, вы решили отпраздновать в кафе окончание школы. Заспорили о том, каксесть вокруг стола ( в алфавитном порядке, по возрасту,…)

Официант сказал: сегодня сядьте,как сядете, запишите, в каком порядке сели и приходите обедать каждый день, только рассаживайтесь по-другому. Когда придетчеред сесть так, как вы сидите сегодня, я обещаю, что буду угощать вас бесплатно. Сколько дней вампридется ждать бесплатного обеда ? На что задача ? Что будете искать ? ( перестановка Р_п )

Решение:

8 ! = 1*2*3*4*5*6*7*8=40320 дней  Подсчитайте, сколько лет вам  придется ждать  бесплатного обеда ?

40320 : 365 = 110,46… лет.

Задача 2. ( была в начале урока)

Ваш классный руководитель решилапредложить вам все возможные варианты , кто с кем может дежурить .

Сколькими способами можно   выбрать  2 дежурных в классе из 8 человек ?

Решение: мы должны выбрать2 дежурных из 8 учеников, что можно посчитать с помощью формулы определения числа сочетаний из n элементов по k:

                                             .

 В нашей задаче:

Ответ: 28.

Задача 3: ( дополнительно )

Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 8 дней . Сколькими способами можно это сделать ?

Решение.

А₈⁴   = 8! / 4! = 1680

Практическая задача .

Допустим , что вы избрали профессию, которая, казалось бы, ни каким образом не связана с математикой, например, дизайнер интерьеров. Представьте себе, что заказчик высказал вам просьбу:

Расставьте  книги( бордовая, синяя, желтая, оранжевая) на полке так, чтобы бордовый и синий тома не стояли рядом. Покажите мне все варианты расстановки. Я выберу наиболее предпочтительный."

Что вы станете делать? Вероятнее всего, начнете расставлять и показывать. Однако, чтобы не запутаться, не пропустить ни одного из возможных вариантов и не повторяться, нужно делать это по какой-нибудь системе. Сколько будет вариантов  всего ?  ( Р₃ = 3 != 1*2*3= 6)

• БСЖ, БЖС,СЖБ,СБЖ, ЖБС,ЖСБ.
• Вычеркнем те варианты, где стоят Б и С КНИГИ ВМЕСТЕ.

6-4 =2 ВАРИАНТА . А если 4 типа книг ?

( Р₄ = 4 != 1*2*3*4= 24)

БСЖО, БСОЖ,БЖСО,БЖОС, БОСЖ, БОЖС, СБЖО, СБОЖ, СЖБО,СЖОБ, СОЖБ,СОБЖ, ЖБОС, ЖБСО, ЖСОБ, ЖСБО, ЖОБС, ЖОСБ, ОБСЖ, ОБЖС,  ОСБЖ, ОСЖБ, ОЖБС, ОЖСБ.

Вычеркнем те варианты, где стоят Б и С КНИГИ ВМЕСТЕ. -

24-12 =12 ВАРИАНТОВ .

Реально такие задачи возникают в библиотеках, где нужно расставить книги для удобства посетителей, в больших книжных магазинах, где нужно расставить книги так, чтобы обеспечить увеличение спроса, и т.п.

Размещения. Подсчет числа размещений.

Теперь предположим, что у заказчика много книг и невозможно разместить их все на открытых полках. Его просьба состоит в том,  выбрать определенное количество каких-либо книг и разместить их красиво. Он опять хочет посмотреть все варианты и принять решение сам. Наша задача состоит в том, чтобы посчитать количество всех возможных вариантов размещения книг, обоснованно переубедить его и ввести разумные ограничения.

Чтобы разобраться в ситуации, давайте сначала считать, что "много" - это 5 книг, что у нас всего одна полка, и что на ней вмещается лишь 3 тома. На рисунке представлены только 4 варианта размещения из 60 возможных. Сравните картинки. Обратите внимание, что размещения могут отличаться друг от друга либо только порядком следования элементов, как первые две группы, либо составом элементов, как следующие.

Решение.

А₅³ = 5!/2! = 60.

Сочетания. Подсчет числа сочетаний.

И последний случай - все книги( 30 шт)  заказчика одного цвета и одного размера, но на полке помещается лишь часть из них.  Эти книги разные по содержанию. И заказчику, возможно, не всё равно, где находятся трагедии Шекспира, а где детективы , на открытой полке или в шкафу. Таким образом, у нас возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.      

Считать варианты перестановок приходится не только для книг. Это может потребоваться для большого числа любых объектов практически в любой сфере деятельности. Значит, как дизайнерам, так и людям других профессий может понадобиться помощник, а еще лучше инструмент для облегчения подготовительного этапа, анализа возможных результатов и сокращения объема непроизводительного труда. Такие инструменты создавали и создают ученые-математики, а затем отдают их обществу в виде готовых формул.

1.  Рефлексия. Итог урока.

Какая цель у нас была на уроке ? – мы сегодня  должны были с вами вместе систематизировать  задачи по теории вероятностей и комбинаторике по типам, выделить   основные типы заданий  В10.

Справились ?

Сколько типов задания В10 Вы уяснили ?

Какие ? – задачи на вероятность с равновозможными исходами ,

 на применение правил и формул вычисления вероятности,

на комбинаторику.

В чему вас былизатруднения ? Причинызатруднений, как вы думаете, какие ? Над чем нам с вами надо будет еще поработать ?

У вас на столе лежат карточки с цифрами3,4,5.Оцените свою готовность к решению заданийВ10КИМовпосле сегодняшнего урока. Поднимите карточку с самооценкой.

Тот, кто оценил себя на «3»и ниже, мы с вамипоработаем индивидуально.Мне понравилась работа____________ - «4», «5» .

1. Домашнее задание.

Вам предлагается  составить 4 задания   на перестановку, размещения, сочетания и вероятность - из  повседневной жизни  ( класс, село, школа- оценка  «5»).

1. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих 5 языков?
2. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 22 из Великобритании, 19 из Франции, остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии.
3. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 198 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
4.  Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов (А), Григорьев (Г), Сергеев (С) и Федоров (Ф), тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора  такой пары?

Мы с вами создавали сегодняшний урок вместе, спасибо всем

Самоанализ урока:

Вы посмотрели урок алгебры в 11 классе.

Класс со средними способностями, при проведении пробногоЕГЭ ребята решали задания части В , часть С затронули 2 учащихся ( заданияС1 и С2).

После проведения данного урока у нас еще есть ---- урок перед к/работой накорректировку знаний .

Тема урока : « Решение задач на теорию вероятности и комбинаторику»

Тема урока выбрана в соответствии с рабочей программой. Данная тема присутствует и в ГИА , и в ЕГЭ.

Тип урока – урок  обобщения и систематизации знаний  и умений  , построенный  с использованием системно- деятельностного подхода.

 Цели урока :

Образовательная – систематизировать знания и умения по теории вероятностей и комбинаторике,  отработать навыки решения основных типов задания В 10 КИМов  ЕГЭ по математике,

Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к  подготовке к ЕГЭ, повышение интереса к математике, умения  работать в группе, навыки  самооценки  и    умения оценивать деятельность других , навыки взаимопроверки,

Развивающая – развивать логическое мышление, математическую речь,  умения сравнивать и делать выводы, развивать у  учащихся  умения контролировать и оценивать свои достижения.

(Методы  : словесный, наглядный.)

Форма работы : индивидуальная, групповая.

Наглядность к  уроку :

1. Презентация
2. Карточки – вопросы  по теории
3. Карточки заданий по разделам.

На этапе проверки д/з ставилась задача – устранить в ходе проверки пробелы в знаниях, скорректировать их.

Тема урока была сформулирована вместе с учащимися.

В процессе решения заданий выделили 3 типаосновных заданий на теорию вероятности и комбинаторику, взятых из банка заданий ЕГЭ 2012 года.

Применили знания в практической ситуации. На уроке были рассмотрены задания разного уровня сложности : задания, способствующие осмыслению учебного материала ( 3 задачи в конце урока) и задачи, способствующие закреплению учебного материала .На уроке обучающимся были переданы функции учителя в оценкеикоррекции знаний. Присутствовала на уроке самопроверка и взаимопроверка.

Большая часть заданий была практической направленности, учащиеся выполняли все заданиясамостоятельно, сравнивая с эталоном.

Итогом занятия была рефлексия. Цель урока вместе с учащимися соотнесли с результатом, выявили,насколько учащиеся готовы к решению заданий В10 ЕГЭ,над чем еще надо поработать.

Весь урок был построенна формированииу учащихся компетенций на уровнебольше «знаю как», умею применить . Задания соответствовали уровню учебной подготовкиучащихся.

Большинство ребят работали активно ? Этап рефлексии показал, что _______

_____________________________( учащимися хорошо отработано решение заданий В10 КИМов ?) ________поработать нужно над ___________________