Тема урока: «Решение квадратных уравнений»

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         Сл.

 «Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями.

Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что

политика существует только до данного момента,

 а уравнения будут существовать вечно».

А. Эйнштейн

Сл.

В течение урока используется слайдовая презентация.

Ход урока:

 Организационный момент.

Приветствие учителя. Проверка готовности к уроку.

Обращение внимания детей на эпиграф к уроку. Объявление темы и постановка  задач урока.

Сл.

  Актуализация знаний

На экране - уравнение: 15х²+12х+2012=0.

Сл.

Определите вид данного уравнения. Назовите его коэффициенты.
О каком событии говорят коэффициенты уравнения? (Дата проведения урока).

Откройте тетради и запишите сегодняшнее число, классная работа.

Фронтальная работа с классом.

Сл.

·         Какие уравнения называются квадратными?

·         Как вы считаете, на какой из коэффициентов накладывается ограничение и почему?(а=/=0)

·         Всегда ли имеет корни квадратное уравнение? (Нет, не всегда)

·         От чего зависит количество корней? (От дискриминанта)

·         Как найти дискриминант квадратного уравнения? (D= b²– 4ас)

·         Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D > 0 ?

·         Сколько коней имеет квадратное уравнение если D=0 ?

·         Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D < 0 ?

·         Как найти корни квадратного уравнения?₍)

Итак, ребята, мы повторили основные понятия и формулы для решения квадратных уравнений.

На экране  записаны уравнения:

Сл.

1.     x²+ 9x– 12 = 0;

2.     4x²+ 1 = 0;

3.     x²–2x+ 5 = 0;

4.     2z²  – 5z+ 2 = 0;

5.     4y² = 1;

6.     –2x²– x+ 1 = 0;

7.     x²+ 8x= 0;

8.     2x²=0;

9.     –x² – 8x=1

10.           2x + x² – 1=0

   Сл.

Сегодня на уроке мы должны научиться выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений.

Девизом нашего урока станут слова Рене Декарта: «Для разыскания истины вещей - необходим метод».

                                                                                                                                                         Сл.

Перед вами уравнения.

1.     3x²-2x-5=0

2.     X²=5

3.     7x²+14x=0

4.     X²+5x+4=0

5.     X²+4x+4=0

6.     X²-4=0

7.     2x²-11x+5=0

8.     X²+2x=x²+6

                                                                                                                                                      Сл.

Ваша задача -  указать, какое из них рациональнее решить указанным мной способом. Если ответ верный, то откроется буква, соответствующая номеру этого уравнения и мы узнаем имя математика, который занимался изучением уравнений.

1)Какое уравнение решается вынесением общего множителя за скобки?             

                           №3                                                        (Д)

2)Какое уравнение можно решить, методом выделения полного квадрата?    

                          №5                                                        (И)

3) Какое уравнение решается по формуле, используя  четный второй коэффициент?

                           №1                                                        (О)

4)Какое уравнение удобно решить по теореме Виета?

                          №4                                                       (Ф)

5)Какое уравнение можно решить разложением разности квадратов на множители? 

                       №6                                                        (А)

6)В каком уравнении надо применять общую формулу  корней квадратного уравнения?

                       №7                                                       (Н)

7)Какое уравнение можно решить извлечением квадратных корней?     

                     №2                                                       (Т)

           Имя математика, который занимался изучением уравнений, их классификацией, способами решения – Диофант.

                                                                                                                                                                     Сл.

           Как, не решая уравнения, узнать, имеет ли уравнение корни?

(Ученики отвечают: «Если а и с с противоположными знаками, то квадратное уравнение всегда имеет действительные корни».)

Решим квадратное уравнение  3х² +2х-1=0.

Вспомним все способы, которые уже знаем.

1 способ. «По  общей формуле, через дискриминант».

Используя общую формулу корней квадратного уравнения, решите его.

Ученики решают в тетради:

Сл

Все решили квадратное уравнение. Получили ответ.

Сл.

Перед вами лежат карточки (цифры 1, 2, 3, 4).Поднимите карточку с номером правильного ответа.

Кто поднял цифру 3 , то в лист учета знаний поставьте в 1 колонке знак «+». Молодцы!

Назовите коэффициенты квадратного уравнения.

(Ученики отвечают:      а=3,в=2,с= -1.)

По какой формуле можно быстрее решить это квадратное уравнение?

(Ученики отвечают:      «… по формуле с четным коэффициентом при х»)

Способ №2.«С помощью формулы корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом».

Решите квадратное уравнение 3х²+2х-1=0 с помощью формулы корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом.

Ученики  решают в тетрадях:  3х²+2х-1=0,    к=1,

Проверка.

                                                                                                                                                             Сл.

Поменяйтесь тетрадями. Если решение правильное, в тетради поставьте знак «+» и в лист учета знаний в колонке № 2 знак «+».

Молодцы!

(Ученики проверяют и оценивают работу друг друга.)

Работа в группах.

На листочках написан способ, которым вы должны решить квадратное уравнение и затем защитить своё решение.

Ученики вытягивают листы, с указанным способом. Группой работают в тетрадях. Объясняют, проговаривают друг другу. Выбирают выступающего, который разъясняет, как решать квадратное уравнение этим способом.

Способ № 3.«Разложение левой части уравнения на множители  способом группировки».

Способ № 4.« По сумме коэффициентов квадратного уравнения».

Способ № 5.« Решение уравнения, используя теорему, обратную теореме Виета».

Способ № 6.« Метод выделения полного квадрата».

Способ № 7.« Разложение квадратного трехчлена на множители».

Закончили решение.

Если вы владеете методом, над которым работала ваша группа, то в лист  учета знаний  поставьте знак «+», в колонке № 3.

Разбираем способы решения, остальные группы пишут в тетрадях.

Идет защита, остальные учащиеся пишут с доски в тетрадь.

Представитель каждой группы рассказывает о своем методе решения данного уравнения.

1 группа.

Способ № 3. «Разложение левой части уравнения на множители  способом группировки».

Защита: 3х²+2х-1=0.

Представим слагаемое 2х в виде разности 3х-х. Разложим левую часть на множители: 

3х²+2х-1= 3х²+3х-х-1= 3х(х+1)+(-х-1)= 3х(х+1)-1(х+1)=(х+1)(3х-1)

Следовательно, уравнение можно записать так: (х+1)(3х-1)=0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом определен.

   х+1=0  или  3х-1=0,

   х=-1.             3х=1,

                         х=1/3.

Левая часть уравнения обращается в нуль при х=-1;х= 1 / 3.

Значит число – 1 и 1 / 3 - корни уравнения 3х²+2х-1=0.

                                                                                                                                         Сл.

Молодцы! Кто защищал этот способ, в лист учета знаний поставьте «!».

Способ № 4.« По сумме коэффициентов квадратного уравнения».

Если в квадратном уравнении ах²+вх+с=0, сумма коэффициентов а-в+с=0, то х₁=-1, х₂= - с / а.

3х²+2х-1=0, а=3,в=2,с= -1, а-в+с =3-2+(-1)=0, значит х₁=-1,

 х₂= - с / а, х₂= -( - 1) / 3 = 1 / 3.

Ответ: – 1 ; 1 / 3

Молодцы!

                                                                                                                               Сл.

Физминутка.

Способ № 5.« Решение уравнения с применением теоремы, обратной теореме Виета».

Защита.

3х²+2х-1=0.

Разделим каждое слагаемое  на 3. Приведенное квадратное уравнение будет иметь вид: х²+2/3х-1/3=0..

По теореме, обратной теореме Виета: если сумма двух чисел равна второму коэффициенту приведенного квадратного уравнения, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения.

 х₁₊х_{2 = -2/3}

 .х_1*х_{2 = - 1/ 3}

Если свободный член g- приведенного квадратного уравнения отрицателен, g= -- 1/ 3, то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет, отрицателен, так как

р = 2/3

х₁=-1,  х₂= 1/3.

                                                                                                                                             Сл.

Способ № 6.«Метод выделения полного квадрата».

Защита.

3х²+2х-1=0,

Способ № 7. « Разложение квадратного трехчлена на множители».

Защита.

Разложим квадратный трехчлен на множители. Для этого 3х²+2х-1=0 разделим на х+1.

3(х+1)(3х-1)=0,

(х+1)(3х-1)=0,

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом определен.

   х+1=0  или  3х-1=0,

   х= -1.             3х=1,

                         Х = 1 / 3.

                                                                                                                                                    Сл.

Физминутка.

Способ №8. «Графическое решение     квадратного уравнения».

Защита.

3х²+2х-1=0.

В уравнении второй и третий член перенесем в правую часть, то получим  3х² =-2х+1.

Построим графики зависимостей у=3х² и у=-2х+1. График первой зависимости -парабола, проходящая через начало координат. Так как коэффициент равен 3, то ветви параболы направлены вверх.

Учащиеся смотрят на слайд.

                                                                                                                                           Сл.

График второй зависимости - прямая.

Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х₁=-1 и х₂= 1/3.

Учащиеся работают в листах учета знаний.

Сегодня на уроке мы с Вами разобрали 8 способов решения одного квадратного уравнения. Возьмите лист учета знаний, в колонке №5 поставьте цифру -  сколько способов решения уравнения вам понятны, вы бы могли ими решить уравнения самостоятельно.

                                                                                                              Сл.

Одно и то же уравнение может быть решено разными способами.

Домашнее задание.

                                                                                                                 Сл.

Учащиеся пишут в дневник.

Итог урока. Выставление оценок.

Подведем итоги урока.

Работая в группах. Составьте  синквейн на тему: урок, уравнение, работа в группе, способы, восьмиклассники.

 Учащиеся составляют, а потом зачитывают:

Урок

Необычный, увлекательный

Думаем, решаем, общаемся

Я умею решать уравнения

Интересно

Работа в группе

Весело, увлекательно

Решать, обсуждать, помогать

Мне нравиться так учиться

Мы вместе

Рисуют в листах учета свои эмоции: ☺.

Сл.

Сдают листы учета знаний учителю.

Вашим девизом должны стать слова: « Научился сам, научи другого!»

Сл.

Лист учета знаний.

8Б класс