Министерство образования и науки Российской Федерации

Муниципальное  общеобразовательное учреждение

«CОШ р. п.Духовницкое» Духовницкого р-на, Саратовской обл.

Методическая разработка урока

по алгебре и началам анализа

«Общие методы решения тригонометрических уравнений»

для учащихся 10 класса

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Выполнила  учитель математики

МОУ « СОШ  р. п. Духовницкое» Духовницкого р-на Саратовской обл.

Оситко Валентина Викторовна.

2011 год

Оглавление

1.     Аннотация…………………………………………………….  стр.  3

2.     Пояснительная записка………………………………………. стр. 4

3.     Сценарий учебного занятия………………………………….. стр.5

4.     Ход урока …………………………………………………….. стр.6-11

5.     Самоанализ…………………………………………………… стр.12

6.     Список литературы………………………………………….. стр.13

Аннотация

Методическая разработка посвящена проблеме систематизации методов решения тригонометрических уравнений. Урок разработан  для учащихся 10 класса общеобразовательной школы, но  может использоваться и  в 11 классе при подготовке учащихся  к ЕГЭ. 

На уроке используется презентация «Общие методы решения тригонометрических уравнений».

Предложенная работа может быть полезна для учителей математики при объяснении этой темы в 10 классе.

Пояснительная записка

Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Общие методы решения тригонометрических уравнений»   разработан для учащихся 10 класса, изучающих предмет «Алгебра и начала анализа» по учебнику А.Н. Колмогорова. В разработке урока представлены различные способы решения тригонометрических уравнений: по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения,  уравнения вида Asinx+В cosx= С,    симметричных тригонометрических уравнений,   путем разложения на множители и методом оценки левой и правой частей. Задания разбиты на блоки. После каждого блока заданий проводятся  разноуровневые проверочные упражнения, задания которых учащиеся  выбирают самостоятельно, учитывая свои знания,  умения и навыки.  Затем проводится проверка решений, и учащиеся сами выставляют себе оценку за каждый вид заданий. Использование на уроке информационно-коммуникационных технологий (презентация к уроку) способствует увеличению количества заданий рассматриваемых на уроке, позволяет сделать урок более насыщенным.

Сценарий учебного занятия:

Структура урока:

1. Вводно-мотивационная часть.

1.1. Организационный момент.

1.2. Устная работа.

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

3.2. Информация о домашнем задании.

3.3. Подведение итогов урока.

Цели урока:

Образовательные:  

- актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;

- рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;

- закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

- познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Развивающие:

- содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

- формировать и  развивать  общеучебные  умения и навыки:  обобщение, поиск способов решения;

- отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора  задания, соответствующего их уровню развития.

Воспитательные:

-     вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

- способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Продолжительность урока: 2 часа

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование:  компьютер и мультимедийный проектор.

Ход урока.

1. Вводно-мотивационная часть

 1.1.Организационный момент.

Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.

Содержание этапа:

1. Приветствие.

Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме  «Общие методы решения тригонометрических уравнений». Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ.

2. Проверка готовности учащихся к уроку.

Учитель: Ребята, кто сегодня отсутствует? Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем!

3. Озвучивание целей урока и  плана его проведения.

Учитель: Тема нашегоурока – решение тригонометрических уравнений. Я думаю, вам будет интересно на уроке.

Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того,  познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

В начале урока мы вспомним решение линейных и квадратных уравнений, основные формулы тригонометрии.

Далее работа будет чередоваться: мы повторим числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений.  Решим тригонометрические уравнения по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения,  уравнения вида

Asinx+ В cosx = С. После каждого блока заданий проводим  разноуровневые проверочные работы, задания которых вы будете выбирать самостоятельно, учитывая свои знания,  умения и навыки. Проверяем решения, и вы выставляете себе оценку за каждый вид заданий. 

После чего познакомимся  с решением симметричных тригонометрических уравнений, решением тригонометрических уравнений путем разложения на множители и методом оценки левой и правой частей. Обсудим полученные результаты работы на уроке,  оценим  индивидуальную работу. Затем  получите инструктаж по выполнению домашнего задания и подведем итоги урока. Согласны с таким планом работы? Хорошо!  Итак, приступаем.

1.2. Устная работа.

Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.

Содержание этапа:

Учитель:  Первое задание для устной работы -  решите уравнения:

(Слайд 2)

Учитель: Второе задание – используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:

(Слайд 3)

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Задачи этапа:обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения,отрабатыватьнавыки самооценивания знаний и умений, выбора разноуровневого задания.

Содержание этапа:

Учитель:  Ребята, давайте вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций, значения тригонометрических функций для различных углов поворота, применение формул приведения

Учащиеся формулируют свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, называют значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

Учитель: А теперь выполним самостоятельную работу. Работа предлагается в 2 вариантах, после чего проверим правильность ее выполнения.

Найдите значения тригонометрических выражений:.

(Слайд 4)

Учитель:  Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:  

(Слайд 5)

Учитель:  А теперь вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Учащиеся дают определения обратных тригонометрических функций, обращая внимание на область определения и множество значений.

Учитель:  Выполняем следующую работу также самостоятельно.

  (Слайд 6)

Учитель:  Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:                                                                                      

(Слайд 7)

Учитель:  Ребята, а теперь перейдем к решению простейших тригонометрических уравнений. Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx =а,  cosx = а,

tg х=а.

 (Слайд 8)

Учитель: Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.

 А) Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

 а) тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

Asin² х + В sin х + С =0 или

Asin² х + В cos х + С =0

Решим уравнение:

sin² х + 5 sin х - 6 =0.

Учащиеся решают уравнение,  вводят замену sin х = z, решая квадратное уравнение

 z² + 5 z - 6 = 0, находят z₁  = 1; z₂  = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х =  π/2  +2 πk, k Z.

Уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как  -6 не принадлежит  Е ( sin х ),

                                                                         т.е.   -6  не принадлежит  [-1;1]

Учитель: При решении  уравнения вида Asin² х + В cos х + С =0 вводим замену sin² х  = 1 - cos² х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Решите уравнение    2 sin² х + 3 cos х -3 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin² х  = 1 - cos² х, получили        

   2 (1 - cos² х) +3 cos х -3 =0.

 - 2 cos² х + 3 cos х - 1 = 0   | (-1)

    2 cos² х  - 3 cos х  + 1 = 0 

 Замена cos х= t

Решая квадратное уравнение 2 t² - 3t+1 = 0,

 находят t₁  = 1; t₂  = 0,5

Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 πk, k  Z.

Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида  х =  ± arccos0,5+ 2πn,  n  Z.

Учитель:  А теперь  выберите одно из предложенных уравнений и самостоятельно решите его.

(Слайд 9)

Учитель:   Ребята, проверьте свое решение с  ответами

Учитель:   Продолжим вспоминать основные методы решения тригонометрических уравнений.

б) однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени:                               Asinx+ Bcosx = 0. Разделив обе части уравнения на  cosx≠ 0, имеем уравнение вида  tgx = С.

Решите уравнение  2 sinx+ 3 cosx = 0.

Учащиеся решают уравнение.

2 sinx+ 3 cosx = 0 | : cosx≠ 0

2 tgx + 3 =0

tgx = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk,  kZ  или  х = - arctg 1,5 + πk,  k  Z

Учитель:   Теперь рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: А sin² х + В sinх cos х + С cos²х = 0. Разделив обе части уравнения на  cos² x ≠ 0, получим уравнение вида  А tg²x + В tgx + С = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.

Решите  уравнение 2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0 

Учащиеся решают уравнение  2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0

                           2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0  | : cos²х ≠ 0

                           2 tg²x - 3 tgx - 5 = 0

      замена    tgx = t

                             2 t² – 3 t – 5 =0

                              t₁  = -1;  t₂  = 2,5

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k  Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида  х = arctg 2,5+ πn,  n Z.

Учитель: К  однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin² х  + В sinх  cos х + С  cos²х = D, преобразуем данное уравнение А sin² х  + В sinх  cos х + С  cos²х =D (sin² х  +   cos²х)

или           (А –D) sin² х  + В sinх cos х + (С-D)  cos²х =0.

Уравнение Asinx+ Bcosx = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

       A sin x+ B cos x = С

       A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2)  = С

       2 A sin(x/2)  cos(x/2)   + В(cos²(x/2)  - sin²(x/2)  )= С(sin²(x/2)   +   cos²(x/2)).  А теперь  выберите два уравнения и   самостоятельно решите их.

 (Слайд 10)

Учитель:   Ребята, проверьте свое решение с  ответами.

(Слайд 11)

Учитель:  Продолжим рассмотрение  основных методов решения тригонометрических уравнений.

 Б) различные  алгоритмы решения уравнений вида Asinx+ Bcosx = С

(Слайд 12)

  1) переход к половинному аргументу мы рассмотрели ранее.

  2) использование универсальной подстановки

                       2 tgx/2                                     1 - tg² x/2

          sinх= -------------------      ,  cos х=  -----------------------

                     1 + tg² x/2                                 1 + tg² x/2

 3) введение вспомогательного угла

         Asinx+ Bcosx = С | :    √A² + B² ≠ 0

             A      sin x  +            В         cos x  =       С      .

      √A² + B²                     √A² + B²                          √A² + B²

 Если         A     = cos β, то          A     = sin β, получим

           √A² + B²                          √A² + B²                     

cos β · sin x  + sin β · cos x  =      С    , откуда sin (x + β) =        С        или

                                                 √A² + B²                                          √A² + B²                        

 x = (-1)^k arcsin     С         - β + πk,   k   Z.

                        √A² + B²                                         

 А теперь попробуйте решить  уравнение  √3  sinx +  cosx = 1 одним из предложенных способов.

Учащиеся решают уравнение, консультируются у учителя в случае возникновения затруднений.

Учитель:  А теперь сверьте свои ответы с  ответами соседа. Сверили. Молодцы! А сейчас выполним самостоятельную работу следующего характера. Решите  тригонометрическое уравнение вида Asinx+ Bcosx = С рассмотренными способами.

(Слайд 13)

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Задачи этапа: организовать деятельность учащихся по применению знаний, умений и навыков при решении тригонометрических уравнений незнакомыми способами.

Содержание этапа:

Учитель: А сейчас познакомимся  с решением тригонометрических уравнений новыми способами:

А) введением нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений

Введем понятие симметричного уравнения

Пусть R (х; у) – выражение, которое рационально зависит от х и у. Такое выражение называют симметричным, если R (х; у) =  R (у; х).

Рассмотрим уравнение  4 sinх  - 6 sinх  cos х + 4  cosх + 1 = 0 ,

т.к. (sin x + cos x)² = 1 + 2 sin x  cos x, то  sinx ·cos x =  (sin x + cos x)² - 1   , получим

                                                                                                        2

4 sinх  + 4  cosх-  6   (sin x + cos x)² - 1   + 1 = 0 ,

                                               2

4 sinх  + 4  cosх  -  3  ( (sin x + cos x)² – 1) + 1  = 0 ,

Введем обозначение  t = sinx + cosx, получим

4 t – 3 (t² -1) + 1  = 0

– 3 t²  + 4 t + 4 = 0

3 t²  - 4 t - 4 = 0 .

Решая квадратное уравнение, найдем t₁   =  2, t₂  = -2/3, после чего переходим к решению уравнений sinх  +  cosх    = 2   и   sinх  +   cosх  = -2/3

Б) методом разложения на множители.

Вспомним использование данного метода при решении известного вида уравнений:

sinх  +  sin3 х  + sin5 х = 0

 сгруппируем слагаемые:

  (sinх  +  sin5 х)  + sin3 х   = 0

2 sin  3х  cos 2х  +  sin  3х  = 0

sin  3х   ( 2 cos 2х + 1 ) = 0

переходим к решению простейших тригонометрических уравнений:

sin  3х  = 0     или      2 cos 2х + 1 = 0

                                   cos 2х  = - 1/2

Рассмотрим более сложное уравнение, решаемое методом разложения на множители:

4 sin³ х  + 3 sin  х  - 7 = 0.

Легко можно заметить, что 4 + 3 = 7 или   4 ·1³   + 3 · 1  - 7 = 0.

Выполним преобразование

4 sin³ х  + 3 sin  х   - 7 – (4 · 1³   + 3 · 1   - 7 ) = 0

или  4 ( sin³ х  - 1 )  + 3 ( sin  х  - 1 )  = 0 .

Разложим на множители:   4 ( sin  х  - 1 )  ( sin² х   + sin  х  +1 ) + 3 ( sin  х  - 1 ) =0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4 ( sin² х   + sin  х  + 1) + 3 ) = 0

                                                ( sin х  - 1 )   ( 4  sin² х   + 4  sin  х  + 4 + 3 ) = 0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4  sin² х   + 4  sin  х  + 7 ) = 0, откуда

                                                   sin  х  - 1  = 0            или           4  sin² х   +4  sin  х  + 7  = 0

                                                 х = π/2 + 2пk,  k Z                           решений нет

В) методом оценки левой и правой частей.

Рассмотрим уравнение sinx/4   + 2 cos (x- 2 π)/3   = 3

Вспомним, что            – 1 ≤ sin     ≤ 1

                                – 2 ≤  2 cos  (x-2 π)/3  ≤ 2

                           -----------------------------------

                          – 3 ≤  sinx/4  +  2 cos(x-2 π)/3  ≤ 3.

 Исходное уравнение будет иметь решение тогда  и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:

sin x/4    = 1  и   2 cos (x-2 π)/3 = 2  или

sin  x/4    = 1 

cos (x-2 π)/3 = 1  .   

Решая уравнение sinx/4    = 1 , получим х = 2 π+ 8πn,   n  Z.

Решая уравнение cos (x-2 π)/3 = 1 , имеем  (x-2 π)/3 = (2 π+ 8πn - 2 π)/3. Или (x-2 π)/3 = 8πn /3. Итак, cos 8πn /3 = 1.

Это возможно только в тех случаях, когда, n  делится нацело на 3, т.е.  n = 3 k, k  Z.

Значит,  решением исходного уравнения являются числа вида  х = 2 п + 24 п k, k  Z.

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

Задачи этапа: дать качественную оценку работы каждого ученика по выполнению самостоятельной работы.

Содержание этапа:

Учитель: А теперьвы оцените свою работу на уроке.  Вы  самостоятельно выполнили 5  упражнений:

1 – находили значения тригонометрических функций;

2 – находили значения обратных тригонометрических функций;

3 – решение уравнений по известным алгоритмам;

4 – решение однородных тригонометрических уравнений;

5 – решение уравнений вида asinx+bcosx = c

Найдите среднее арифметическое всех выставленных оценок, округлите результат,  и эти оценки я вам выставляю в журнал.  

3.2. Информация о домашнем задании.

Задачи этапа: сообщить  учащимся о домашнем задании, обеспечить понимание цели, содержания и способов решения.

Содержание этапа:

Учитель: Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений новыми способами я предлагаю вам выполнить домашнее задание следующего содержания:

1. Введением нетрадиционной замены решите  симметричное тригонометрическое уравнение   cos⁶х  + sin⁶ х   = 16 sin² х  cos²х ;

2. Выражение sin³ х  + 3 sin х  - 4 разложить на множители различными способами;

3. Методом разложения на множители решите тригонометрическое уравнение

sin³ х  + 3 sin х  - 4 = 0

4.  Методом оценки левой и правой частей решите тригонометрическое уравнение

2 (  сosх  + sin х )  + sin 2 х  + 1 = 0

3.3. Подведение итогов урока.

Задачи этапа: вспомнить основные моменты урока, проанализировать усвоение предложенного материала и умение применить полученные знания  в дальнейшем

Содержание этапа:

Учитель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

- Что нового узнали на уроке?

- Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

- Испытывали ли вы затруднения при выборе самостоятельной работы?

- Какие из способов решения тригонометрических уравнений  из рассмотренных оказались наиболее трудными?

- Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

- Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Учитель: Дорогое ребята! Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен. До свидания

  Самоанализ

В ходе урока по теме «Общие методы решения тригонометрических уравнений» достигнуты все поставленные цели.  Класс, в котором проводился данный  урок  был  «средним» по алгебре. Учащиеся активно работали на уроке, старались   четко отвечать на поставленные вопросы.

Предложенные уровневые задания способствовали выработке навыков самооценивания,  а так же выбора  задания, соответствующего их уровню развития.

 Повторение решения линейных и квадратных уравнений, а также уравнений, сводимых к квадратным, формулы решения простейших тригонометрических уравнений и значения тригонометрических и обратных тригонометрических функций  способствовало  развитию у учащихся мыслительных операций: умению анализировать, сравнивать.

Устные задания способствовали развитию математической речи учащихся, развитию логики.

Использование презентации помогло до минимума сократить время на переход от одной формы работы к другой, способствовало выработке внимания, максимальной работоспособности.

За обозначенное  время (2 урока)  были рассмотрены все предложенные задания.

Список литература:

1.              Ананьев Ю.А., Дворянинов С.В., Неценко Ю. Н. «Экзаменационные задачи по алгебре и началам анализа за курс средней школы». Самара, СОИПКПРО, 1993

2.              Блошкин Б.Ф. «Самостоятельные и контрольные работы по математике 9-10 классы».  М., Просвещение 1969

3.              Богомолов И.В., Сергиенко Л.Ю. «Сборник дидактических заданий по математике. М., Высшая школа, 1986

4.              Зильберберг Н.И. «Алгебра и начала анализа в 10 классе» (для углубленного изучения математики) Псков, ПОИПКРО, 1994

5.              Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. «Контрольные и проверочные работы по алгебре 10-11 классы» М., Дрофа, 2001

6.               Ивлев Б.М. «Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа». М., Просвещение, 1990

7.              Ивлев Б.М., Саакян  С.М., Шварцбурд С.И. «Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. 10 класс». М., Просвещение, 1997

8.              Кононов А.Я. «Устные занятия по математике в старших классах» М., Столетие, 1997

9.              Мордкович А.Г. «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» М., Мнемозина, 2009 г.

10.          С.М.Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. Просвещение,2009г

11.           Колмогоров А.Н. , Абрамов А. М., Дудницын Ю.П. «Алгебра и начала анализа 10-11» М., «Просвещение», 2009г.