Ц и л и н д р.

Цилиндр определяется, как фигура, которую можно получить, вращая прямоугольник вокруг одной из его сторон.

Цилиндром ( круговым ) называетсятело,      которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, не лежащих в одной плоскости, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Элементы  цилиндра.

1.Круги с центрами  О  и О   -  основания

( нижнее и верхнее ).

2.R– радиус цилиндра – радиус основания.

3.Отрезок  АА₁  - образующая ( АА₁ = ℓ = L) .

    АА₁, ВВ₁  - отрезки, соединяющие соответствующие точки     окружностей кругов – образующие цилиндра.

4. Если АА₁ ^( β )  -  цилиндр называется прямым.

5. Н – высота цилиндра ( Н = L) – перпендикуляр, опущенный из любой точки одного  основания цилиндра на плоскость другого его основания.

6. Ось цилиндра ( ОО₁ ) – прямая, которая проходит через центры оснований, параллельно  образующим, ОО₁ - ось вращения, точка  F( середина отрезка ОО₁  ) – центр симметрии.

7. Осевое сечение – сечение  цилиндра, - прямоугольник АВСД.  АС – диагональ осевого сечения.

8. Касательная плоскость: перпендикулярна осевому  сечению,  проведена через данную образующую  АВ.

9. Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра,  пересекает     его боковую поверхность по окружности, равной  окружности основания  ( рис. 437 учебника ).

10. Площадь боковой поверхности цилиндра :

Sбок. =  2ПRH= 2ПRL;   площадь  развёртки  - прямоугольник.

Площадь полной поверхности цилиндра: 

Sполн.   =   Sбок.   + 2Sосн.                               

Sполн   =  2ПR   + Sбок   = 2ПR+  2ПRL= 2ПR( L+ R);  площадь его развёртки    -прямоугольник и два круга.

   Призма, вписанная в цилиндр.                                 Призма, описанная около цилиндра.

Призмой,   вписанной   в     цилиндр,                       Призмой, описанной около цилиндра,

называется такая призма, у которой                        называется    призма,    у      которой    

плоскостями   оснований   являются                        плоскостями    оснований   являются

плоскости   оснований  цилиндра,  а                        плоскости   оснований    цилиндра, а

боковыми   рёбрами  –  образующие                        боковые   грани   касаются цилиндра

цилиндра ( рис. 438 учебника ).                                            ( рис. 441 учебника ).                      

К о н у с.

Конусможет  быть получен при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Конусом( прямым, круговым ) называется тело,

которое состоит  из круга, точки, не лежащей в плоскости этого круга, и всех отрезков соединяющих вершину конуса с точками основания.

ЭЛЕМЕНТЫ  КОНУСА.

1.Круг с центром О – основание конуса. S_осн.=  ПR².

2. Отрезок  ОА = R– Радиус основания,  радиус           конуса;   диаметр      BC= 2R.  

3. Отрезок  SO= H– высота  конуса. SO^a;  SO– ось.

     4. Отрезок   SA=  SB= L-  образующая. Все образующие равны и пересекаются в точке S.  S– вершина конуса.

     5. Конус прямой, если Н, т.е. SO^a.

1. <SBO– угол наклона образующей к плоскости основания.

                                  7. Площадь боковой поверхности конуса 

                                        S_бок. =  ПRL.

                          Площадь полной поверхности конуса

                    S_полн.  =  S_осн. + S_бок.  =  ПR²  + ПRL= ПR( R+ L) -                                                площадь развёртки

                                    Развёртка конуса – сектор круга и круг.                                                 

8.   Осевое сечение – SAB^осн. (  через ось, перпендикулярно основанию ).

9.Касательное сечение (проходящее через образующую, перпендикулярно осевому   сечению.)

10. Теорема: Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по

кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.

             Доказательство:

               1. Пусть β^SO.

               2. S– центр гомотетии.

               3. Гомотетия  сохраняет

                   форму            сечение           круг.                                                                                                

УСЕЧЁННЫЙ  КОНУС.

Усечённым конусом называется часть конуса, заключённая между основанием и параллельным основанию сечением конуса.

a^SO.отсекает  от большего  конуса  меньший. 

Оставшаяся часть -  усечённый конус.

                                              Основания:

                верхнее                       нижнее

                           ( меньшее )                     ( большее )

АВ = L– образующая.

R  и  r– радиусы  оснований.

О₁О – высота ( расстояние между плоскостями оснований).

Н = Lsina.                    Н² + ( R– r)² = L².

Площадь боковой поверхности  усечённого конуса  S_бок.= ПL( r+ R).

Площадь полной поверхности усечённого конуса

S_полн. = S₁  + S₂ + S_бок.  = ПL ( r + R ) +  ПR²  + Пr².

В П И С А Н Н А Я   И   О П И С А Н Н А Я   П И Р А М И Д Ы.

Основание                                                                         Боковые                                                                                

пирамиды                                                                           грани пирамиды

вписано                                           являются

в основание                                               касательными

конуса.                                             плоскостями

                                                                                     для конуса.

Ш а р.

Шаром называетсятело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки, (центра шара), (R>O– радиус).

(Шаром называют часть пространства, ограниченную сферой).

Шар получаетсяпри вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

Элементы шара.

1. Центр – точка, от которой до поверхности шара – R.
2. Граница шара – сфера или шаровая поверхность.
3. Диаметр – отрезок, который соединяет две точки шара.

Концы диаметра – диаметрально противоположные точки шара.

Сечение шара.

I.Т.20.3.Всякое сечение шара есть круг. Центр этого круга есть основание

перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

                                     Доказательство: 

     1. a-  секущая плоскость.   Опустим ОО₁ ^a.

                                                                            Х – произвольная точка шара.

    ОХ≤R.

    2. Теорема Пифагора ОХ²=ОО²+О₁Х²;

 О₁Х²=ОХ²-ОО₁²;   О₁Х=, т.е.

любая точка хєaнаходится от данной точки                                                      О₁ на расстоянии не большем ,               в сечении – круг с центром в т.О₁.

              3. Обратно: х- любая точка круга є шару                 сечение есть круг с центром в т.О₁. ЧТД.

            Выводы:

 I.      R₁=     -  радиус сечения.

      R₁– радиус сечения.   R– радиус шара.

      ОО₁– расстояние от центра шара до секущей плоскости (до центра круга).

II.  Плоскости, равноудалённые от центра шара, пересекают его по равным кругам.

II.Диаметральная плоскость – проходит через центр шара.

a-  диаметральная плоскость.

Сечение диаметральной плоскостью называется

большим кругом.

Т. 20.4.  Любая диаметрическая плоскость является

плоскостью симметрии шара.

Центр шара является его центром симметрии.

Доказательство:

1.a- диаметрическая плоскость.

     c- произвольная точка шара.

     Построим S_aX^'. ХХ'^a. АХ=АХ^'(свойства   симметрии).

2.  DОХА = DОХ₁А– по двум катетам.

                                                              (ОА – общая ХА = Х'А– по построению).

Идея:берём    точку   шара,            3. ОХ=ОХ', т.к. ОХ ≤ R,то ОХ'≤ RÞХÎшару, т.о.

строим    ей   симметричную              a- плоскость симметрии.

и доказываем, что она тоже          4. Пусть S₀= Х²,тогда ОХ²= ОХ ≤ RÞХ²Îшару ÞО -

принадлежит    шару.                         центр симметрии. ЧТД.

III.Касательная плоскость – проходит через точку шаровой поверхности   перпендикулярно радиусу.

Т.20.5. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Доказательство:

1. a- плоскость касания.

    А – точка касания. "Х Îa, Х ¹А.

    Х – произведение  точек.

2. ОА ^a, ОА = R(кратчайшее расстояние до a.

3. ОХ >ОА, ОХ >RÞХ Ïшару.

4. Прямая, проходящая через точку А касания ^-но радиусу, называется касательной прямой.

Т.20.6. Через любую точку шаровой поверхности можно провести бесконечно много   касательных, причём все они лежат в плоскости касания.

Доказательство: Касательная плоскость перпендикулярна радиусу.

                                Из этого следует "ℓ : АÎℓ, ℓ ^R.

С ф е р а.

Сферой называетсямножество точек пространства , удалённых от данной точки (центра сферы)  на данное расстояние R>О (радиус сферы).

Сферой называютфигуру, вращения полуокружности вокруг её диаметра.

Сферой называется  шаровая поверхность.

d²  = (x – a)² + (y – b)² + (z – c)²

R² = (x – a)² + (y – b)² + (z – c)²

(a, b, c) – координаты центра сферы.

Если центр лежит в (о, о, о).

R² = x² + y² + z^2/

Т.20.6. Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Сф₁     R₁²= (х – а)² + у² + z²            (1)                  

                                                                                  Cф₂      R₂²= (х – b)² + у² + z²            (2)                         

Точки пространства, которые  принадлежат обоим сферам являются решения обоих уравнений.

Вычитаем (1) и (2).

R₁²- R₂²= (х – а)² - (х – b)²

R₁² - R₂²= x² – 2ax + a² – x² + 2bx – b² = 2x (b – a) + a² – b²

2(b– a)x= R₁²– R₂²– a²+ b²                                                        (3)

сравнение с уравнениями плоскости.

Ах + Ву + Сz+ d= O.

А = 2(b– a)

B= O                   d= - (R₁²– R₂²– a²+ b²)

C= O

Таким образом получили уравнение плоскости, параллельной плоскости  Y   .

Пересечение сфер совпадает с пересечением плоскости, заданной уравнением (3).

Пересечение плоскостью шара есть круг, сферы – окружность ( Т. 19.4 ), что и т.д.

Площадь поверхности сферы        S=4 ПR^2..

З А Ч Ё Т  - П Р А К Т И К У М.

КАРТОЧКА 1.

1. Сформулируйте определение цилиндра. Докажите теорему о пересечении цилиндра плоскостью, перпендикулярной его оси.
2. Высота конуса равна 10 см, угол между вы сотой и образующей конуса равен 45^о. Найдите  площадь сечения конуса плоскостью, проведённой через две образующие, угол между которыми 30^о.
3. Радиус шара равен R. Найдите площадь диагонального сечения вписанного куба.

КАРТОЧКА  2.

1. Сформулируйте определение конуса.  Докажите теорему о пересечении конуса плоскостью, перпендикулярной его оси.
2. Радиус шара равен 12 см. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 45^о  к не. Найдите площадь сечения.
3. Ребро куба равно  а.  Найдите площадь осевого  сечения  вписанного цилиндра.

КАРТОЧКА  3.

1. Сформулируйте определение шара. Докажите теорему о сечении шара плоскостью.
2. Сечение цилиндра плоскостью, параллельно оси, отсекает от окружности основания дугу в 120^о. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна           

7 см, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно 2 см.

      3.  Образующая конуса равна 13 см. В конус вписана пирамида, основанием которой

служит прямоугольный треугольник  с катетами 6 см и 8 см. Найдите высоту

пирамиды.

КАРТОЧКА  4

     1.  Докажите свойство            диаметральной плоскости шара

     2.  Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра равна 8 см. Найдите

          площадь его основания.

     3.  Образующая конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 60^о.

    Найдите боковую поверхность вписанной правильной треугольной пирамиды.

КАРТОЧКА  5.

1. Сформулируйте  определение  касательной плоскости к сфере. Докажите свойство          

      касательной плоскости.

1. Радиусы  оснований усечённого конуса  6 и  2 см,  образующая наклонена к                           

     основанию под углом 60^о. Найдите высоту и образующую конуса.

3.  Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра равна 16 см². Найдите                                     боковую поверхность вписанной правильной шестиугольной призмы.      

                                                                       КАРТОЧКА  6.

     1.  Докажите свойство касательных прямых, проведённых к сфере в произвольной её                       

          точке.

2.Каждое ребро правильной треугольной призмы равно  а.  Найдите площадь

         осевого сечения вписанного цилиндра.

1. Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60^о,проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 45^о.Найдите площадь сечения,  если радиус основания равен 4 см.