Разработка цикла из 3-х внеклассных занятий по математике.

Тема: Системы счисления.

Учитель математики высшей квалификационной категории Мошурова Ирина Юрьевна.

Пояснительная записка: Цикл из трех внеклассных занятий является частью факультативного курса в 8 классе и служит пропедевтикой  следующей темы «Арифметические основы ЭВМ». Эти уроки помогут школьникам расширить знания по математике, повысить математическую культуру. Материал излагается в доступной и занимательной форме с привлечением исторических фактов. Привлечение учащихся к освещению некоторых вопросов способствует развитию у них самостоятельности, настойчивости, интереса к познанию окружающего мира.

Цель занятий:

1.      Познакомить с понятиями позиционных и непозиционных систем счисления с различными основаниями

2.      Овладеть навыками перевода чисел из одной системы в другую при решении простейших задач

3.      Использовать дополнительный теоретический материал для развития познавательной активности учащихся.

4.      Формировать положительный мотив учения, развитие умений учебно-познавательной активности учащихся

Занятие 1.     Тема: Непозиционные и позиционные системы счисления.

Ход урока (урок-лекция с привлечением учащихся):

Учитель: Вам уже известно из курса изучения математики, что системой счисления называют способ наименования и записи чисел. Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В позиционной системе место каждой цифры имеет значение. Но начнем мы с рассмотрения непозиционных систем.

 Сообщение ученика: (слайд №4) Первоначально натуральные числа изображались с помощью нужного количества черточек или палочек. Затем для их изображения стали использовать буквы или специальные знаки. В Древнем Новгороде использовалась славянская система, где применялись буквы славянского алфавита. Чтобы отличить слова от чисел над числами ставился специальный знак – титло: ῀. Различные буквы означали различное количество единиц, десятков, сотен. Например, число 231 изображали  ῀СЛА: С – двести, Л – тридцать, А – единица. Тысячи обозначались теми же буквами, но впереди ставили знак ҂. Примером непозиционной системы счисления является пришедшая из Древнего Рима римская система, в которой числа тоже изображались буквами латинского алфавита, но характерной чертой римской системы счисления является то, что в ней определенные буквы всегда обозначают одни и те же числа: буква  I означает единицу,  V – пять,  X – десять, L – пятьдесят,  C – сто,  D – пятьсот,  M – тысяча. Число 1678 запишется MDCLXXVIII – значения написанных букв при изображении числа складываются. Впрочем, чтобы уменьшить число требующихся знаков в римской системе ввели правило: помещение меньшего числа слева от большего означает вычитание, а справа – сложение, например IX – девять,  XL – сорок. Обоим этим системам свойственно два основных  недостатка, которые привели к их вытеснению позиционными системами: необходимо большое число разных знаков, особенно для изображения больших чисел; неудобство при выполнении арифметических операций. По этим причинам римская система применяется сейчас только в тех редких случаях, когда приходится иметь дело с небольшими числами, над которыми к тому же не требуется выполнять арифметические действия, например, при нумерации глав в книге, столетий.

Учитель: (слайд №5) выполним в тетрадях несколько упражнений по переводу чисел в римскую систему счисления и из римской системы в десятичную: 1. Запишите, в каком веке мы живем в римской нумерации (XXI). 2. Запишите в римской нумерации 2012 год (MMXII). 3. Переведите числа из римской нумерации в десятичную систему счисления: LVIII (58),  XLI (41),   CCCXXVI (326),     DCCLXXXIV (784).

Сообщение ученика:  (слайд№7) общепринятой и наиболее распространенной является десятичная позиционная система счисления, которая была изобретена в Индии, заимствована там арабами и затем через страны Ближнего Востока, Средней Азии и Северной Африки пришла в Европу. В этой, как и в любой другой позиционной системе счисления значение каждой цифры определяется как ей самой, так и местом (позицией), которое она занимает в записи числа. Например, цифра 1 означает единицу. Ту же единицу она обозначает в числе 231, 5081, так как во всех случаях стоит первая справа. Но в числе 12 цифра 1 означает один десяток, а в числе 134 – означает сотню. Или, например, в записи числа 7527 имеются две одинаковые цифры 7, но значения их различны: первая означает 7тысяч, а вторая – 7единиц. Для записи любого числа в десятичной системе счисления достаточно десяти знаков, называемых цифрами 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. В десятичной системе каждые десять единиц любого разряда составляют одну единицу следующего по старшинству разряда. Так, десять единиц первого разряда составляют одну единицу второго разряда (десятков), а десять десятков составляют одну единицу третьего разряда (сотню). В записи любая цифра означает соответствующее количество единиц того разряда, в котором эта цифра стоит: 231 – это две сотни, три десятка, одна единица, 231=100+100+10+10+10+1. Десятичная система счисления потому и именуется десятичной, что за её основание взято число 10. Любое число можно записать в виде суммы произведений степеней числа 10 и некоторого коэффициента:  231=2*10²+3*10¹+1*10⁰ .  В десятичной системе легко выполняются и арифметические действия. Сложение многозначных чисел в позиционной системе сводится к сложению однозначных и переносу из младшего разряда в старший, а при вычитании, наоборот,  требуется перенос из старшего разряда в младший. Умножение многозначных чисел столбиком сводится в конечном счете к умножению однозначных и последующему сложению.

Учитель: (слайд №8) В самом первом учебнике «Арифметика», который составил Леонтий Магницкий в 1703 году, есть интересные примеры на умножение. Он называл их «примеры умножения с некоим удивлением»:  777*143=111111; 777*286=222222; 777*429=333333. Проанализируем первый пример Магницкого, для этого разложим на простые множители: 777=3*7*37  и  143=11*13. Запишем (3*37)*(7*11*13)=111*1001=111111 (умножение любого трехзначного числа на 1001 равносильно приписыванию к этому трехзначному числу справа такого же числа). «Арифметику» Леонтия Магницкого очень ценили. Величайший русский ученый Ломоносов знал её превосходно и называл «вратами своей учености».

Домашнее задание (по желанию на выбор). (слайд №10) 1.Попробуйте истолковать и объяснить остальные «примеры с удивлением». 2. Подготовить сообщение о Леонтии Магницком и его «Арифметике». 3. Подготовить свою автобиографию, заменив все встречающиеся даты и числа на римскую нумерацию.

Занятие 2.     Тема: Позиционные системы счисления с произвольным основанием.

Ход урока:

1. Актуализация знаний.

Учитель: Какие непозиционные системы счисления вам известны? Какой системой счисления мы пользуемся? Как объяснить «примеры с удивлением» из «Арифметики» Магницкого? Кто подготовил автобиографию в римской нумерации? Заслушаем сообщение о Леонтии Магницком и его «Арифметике» (сообщение учащихся).

2. Изучению нового материала через применение опорных знаний

Учитель: Сегодня рассмотрим позиционные недесятичные системы счисления. Сколько цифр использовалось в десятичной системе? (10) Итак, количество цифр, используемых в данной системе, совпадает с основанием системы. Я зачитаю отрывок, а вы попробуйте определить, в какой системе счисления записан рассказ мальчика (слайд №9).

«Я, Михаил Кузнецов, родился 104 августа 31001 года. После моего рождения, 20 ребенка в семье, маму наградили орденом Мать – героиня. Но я, конечно, понимаю, что это обстоятельство не дает мне права задирать нос перед своими старшими братьями и сестрами. Как и все дети, в 12 лет начал учиться в школе, учусь хорошо: почти всегда получаю балл 10».

- Сколько цифр в данной системе?  (0,1,2,3,4) Значит, это пятеричная система, то есть основание системы – число 5. Вообще, в качестве основания системы счисления можно использовать любое число, начиная с двух. И в истории развития человеческой культуры десятичная система не была единственной: существовали пятеричная, двенадцатеричная, сорокаичная, шестидесятиричная.  Пальцы одной руки породили пятеричную систему счисления. Она в прошлом использовалась многими народами. В пятеричной системе каждые 5 единиц любого разряда составляют одну единицу следующего разряда. Например, как записать число 5 – один пяток – составляет одну единицу второго разряда и нет единиц в первом разряде: 10₅.  Первые пятнадцать чисел в пятеричной системе представлены в таблице:

Любое число в пятеричной системе можно разложить на разряды для перевода в десятичную систему. Рассмотрим на примере года рождения Миши: 31001₅=1*5⁰ + 0*5¹ + 0*5² + 1*5³ + 3*5⁴ = 1 + 125 + 1875 = 2001. Для выполнения арифметических действий надо знать таблицы сложения и умножения:

- А как же переводить числа из десятичной системы в пятеричную? Здесь существует несложный алгоритм действий: последовательное деление числа на основание системы – число 5.

27₁₀|  5                  27₁₀ = 102₅

25     5| 5

  2     5   1

         0

1. Первичное осмысление и закрепление изученного материала.

- Определите, сколько детей было в семье Миши? Какие оценки получает Миша в школе?

- Попробуйте узнать, какого числа родился Миша?  (104₅ = 29₁₀)

- Переведите в пятеричную систему 341₁₀   (2331₅),     2041₁₀  (2331₅)

- Выполните действия в пятеричной системе:  10433₅ + 31131₅  (42114₅);  10433₅ * 4₅  (43342₅)

4. Домашнее задание (по желанию на выбор). 1. Подготовить сообщения об использовании различных систем счисления в современном мире.  2. Выполните действия:  4231₅ + 310₅;    2010₅* 32₅.  3. Подготовить свою автобиографию, заменив все встречающиеся даты на числа, записанные в пятеричной системе.

Занятие 3.     Тема: Позиционные системы счисления с произвольным основанием

 (урок-практикум)

Заслушать сообщения учащихся о двенадцатеричной системе счисления и о шестидесятеричной  системе счисления.

Учитель: Проверим, насколько внимательны вы были. Ответим на несколько вопросов:

- Как называется единица второго разряда в двенадцатеричной системе? (дюжина)

- Что считают дюжинами? А где до сих пор применяют только шестидесятеричную систему?

- Как называется единица третьего разряда в двенадцатеричной системе? (гросс) А сколько это в десятичной системе счисления?  (100₁₂ = 0* 12⁰ + 0* 12¹+ 1* 12² =144₁₀)

- Сколько цифр необходимо для записи чисел в двенадцатеричной системе? (двенадцать: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,), а сколько в шестидесятеричной системе? (шестьдесят: от 0 до )

 Решение упражнений:

1. Перевести число 1463₁₀ в двенадцатеричную систему счисления и выполнить проверку. (1₁₂)
2. Перевести число 5₆₀ в десятичную систему счисления и выполнить проверку. (21490₁₀)

1. Расшифруйте отрывок из биографии великого русского математика Чебышева. Какая система счисления здесь использована?

Пафнутий Львович Чебышев родился в 2111110 году. Юноша в возрасте 202 года окончил Московский университет, а через 2 года в возрасте 211 лет опубликовал свою первую научную работу  (троичная система счисления; 2111110₃= 1821₁₀, 202₃ = 20₁₀).

4.    Записать число, номер месяца и год своего рождения в троичной, пятеричной и двенадцатеричной системах.

Домашнее задание (по желанию на выбор).  1. Подготовить сообщение об использовании  двоичной системы счисления в современном мире.  2. Вычислить: 13021₄ + 2303₄;  21021₃*21₃.  3. Составить таблицы сложения и умножения в троичной системе счисления.

Литература:

1. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся.- М.: Просвещение, 1989.
2. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся – М.: Просвещение, 1990.
3. Власова Т.Г. Предметная неделя математики в школе: Библиотека учителя. – Ростов н/Дону.: Феникс, 2006.