Ход урока.

1. Организационный  этап.

Вступительное слово учителя (слайды 1, 2).

Пчелы - удивительные творения природы.Придавая форму кусочкам воска, пчелы отстраивают гнездо. Гнездо состоит из восковых сотов, на каждой стороне которых насчитываются сотни маленьких ячеек. Все ячейки имеют совершенно одинаковый размер. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, то станет, видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников.

Миллионы лет пчелы строят ячейки сотов правильной шестиугольной формы (были найдены окаменелые останки пчелы возрастом в 100 миллионов лет).

(слайд 3) Учитель создает проблемную ситуацию.Важно, чтобы проблемная ситуация удивила ученика, вызвала у него интерес, желание разобраться: «Чем это объяснить?»

• Почему пчелы строят соты именно так?

Рассматривая соты, ученики высказывают свои предположения.

Обобщая ответы учащихся, учитель делает вывод: одним из вариантов ответа является то, что из всех правильных многоугольников только треугольниками, квадратами и шестиугольниками можно заполнить плоскость без пробелов и наложений.

Уже пифагорейцам было известно, что имеется только три вида правильных многоугольников, которыми можно полностью замостить плоскость без пробелов и перекрытий — треугольник, квадрат и шестиугольник.

(слайд 4)

- Чему равна сумма углов, сходящихся в одной вершине?

 (сумма углов, сходящихся в одной вершине, равна 360^о.)

- Чему равен угол правильного треугольника? (60^о)

 - 60^о ×6 = 360^о

- Чему равен угол квадрата? (90^о)

- 90^о ×4 = 360^о

- Чему равен угол правильного шестиугольника? (120^о)

- 120^о ×3 = 360^о

Поэтому пчелы должны были выбрать одну из этих фигур.

Второй вариант ответа: вероятно пчелы, строя соты, инстинктивно стараются сделать их возможно более вместительными, израсходовав при этом возможно меньше воска.

- Что же мы должны сравнить у этих многоугольников?

• Площадь.

2. Этап актуализации опорных знаний.

 -Итак, тема нашего урока: «Площади многоугольников».

- Мы много говорили о правильных многоугольниках. Какие же многоугольники называются правильными?

- Что называется площадью многоугольника?

Площадь многоугольника — положительная величина, численное значение которой обладает свойствами (аксиомами площади).

- Какие свойства площадей вы знаете?

1. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна квадратной единице.

2. Равные многоугольники имеют равные площади.

3. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

  После обсуждения этих вопросов на экране появляется повторенный теоретический материал (слайд 5).

3. Этап усвоения новых знаний и способов действия.

Учитель ставит перед учениками проблему, показывает путь ее решения, а ученики усваивают логику ее решения.

 -  Как вывести формулу площади шестиугольника? (Если возникает затруднение, на слайде появится подсказка: разбиение шестиугольника на 6 треугольников)

 Да, разбив его на более простые фигуры – 6 треугольников. Значит, узнав формулу площади треугольника, мы получим формулу площади  шестиугольника (слайд 6).

 - Как найти площадь треугольника? (слайд 7) (В случае затруднения на слайде треугольник достроится до параллелограмма)

Площадь треугольника мы найдем, узнав формулу площади параллелограмма и разделив ее на 2.

- А как найти площадь параллелограмма? (В случае затруднения на слайде параллелограмм перестроится в прямоугольник)

Формулу площади параллелограмма  получим, зная площадь прямоугольника (слайд 8).

Построенная логическая цепочка позволяет учащимся вывести необходимые формулы.

Выведем формулу площади прямоугольника.

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной  (а + в). Разобьем его на 2 прямоугольника и 2 квадрата (слайд 9).

-Чему равна площадь большого квадрата?  (Sкв = (а + в)²

 -Чему равны площади маленьких квадратов?(S₂ = а², S₃ = в²)

S₁ = S₄ =S_пр

Как по-другому можно найти площадь большого квадрата? На какие фигуры разбит большой квадрат?(S_кв = S₁ + S₂ + S₃ + S₄ )

(а + в)² = а² + в² + 2 S_пр

а² + 2ав +  в² = а² + в² + 2 S_пр

2 S_пр = 2ав

S_пр = ав

Выведем формулу площади параллелограмма.

Вспоминая логическую цепочку, учащиеся выводят формулы.

На какие фигуры можно разбить параллелограмм?Чему равна площадь параллелограмма?

S_пар = S₁ + S₂

Что можно сказать о площадях S₁ иS₃

S₁ = S₃  Почему?  

 ►АВК=    ► DCF(по гипотенузе и катету   АВ= DC   BK = CF)

S_пар = S₁ + S₂ = S₂ + S₃ = S_пр = аh (слайд10)

Выведем формулу площади треугольника.

S  _{► АВС} = S_пар : 2 = ah/2              (слайд 11)              

Выведем формулу площади шестиугольника.

S₆ = 6 S₃

h² = а² – а² / 4                                h = 3 ^1/2 а /4       

S₆ =3(3 ^1/2) а² /2 

                                       (слайд12)

3. Первичная проверка понимания нового материала.

Для того чтобы выяснить, почему пчела строит соты, перпендикулярное сечение которых есть правильный шестиугольник, а не правильный треугольник или квадрат, решим задачу: даны три фигуры – правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник с одинаковыми периметрами. Какая из этих фигур имеет наибольшую площадь? (слайд 13). Учащиеся самостоятельно рассчитывают площади шестиугольника, квадрата и треугольника, постепенно на экране появляется решение.

Сторона шестиугольника а,  Р = 6а

S₆ =3(3 ^1/2) а² /2   = 1,5 *1,74 а2 ~ 2,61 а2

Р = 6а, сторона  квадрата  3а/2     

S₄ = 9а² / 4 = 2,25 а2

Р = 6а, сторона треугольника  2а      h₂ = 4а² - а² , h=    h = 3 ^1/2 а /4        

S₃ = 3 ^1/2 а ² ~ 1,74 а2     

Получается, что пчелы, не зная математики, верно «определили», что среди правильных треугольников, квадратов и шестиугольников данного периметра наибольшую площадь имеет шестиугольник.

Учащиеся делают вывод: из правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр у правильных шестиугольников. Стало быть, мудрые пчелы экономят воск и время для построения сот.

(слайд 14) Еще одно удивительное качество пчел - это сотрудничество между собой при строительстве сот. Увидев полностью выстроенные соты, можно подумать, что они создавались единым блоком. На самом же деле, строительство сот начинается из совершенно разных точек одновременно. Сотни пчел начинают строить соты в трех или четырех разных местах. Они продолжают строить, пока не встречаются на середине. На месте стыка не бывает ни малейшей погрешности или ошибки.

(слайд 15) Секреты пчел не заканчиваются. Соты в улье свешиваются сверху вниз как занавески: пчелы прикрепляют их к потолку смесью воска и пчелиного клея (прополиса).Ячейки уложены в пласты и соприкасаются общими донышками. Надо сказать, что донышки ячеек не плоские, а представляют собой части трехгранных углов, гранями которых являются ромбы.

4. Информация о домашнем задании и инструктаж по его выполнению.

 Какая же здесь выгода для пчел?

Но это уже ваше домашнее задание. Повторите выводы формул площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника, шестиугольника. Вы можете теперь вывести формулу площади трапеции.

На какие фигуры можно разбить трапецию? (2 треугольника)

5. Подведение итогов урока.

Приходится только удивляться необычной мудрости пчелы, которой её наградила природа.

        (слайд 16) Описанные выше закономерности, открытые человеком, используются в архитектуре при постройке ультрасовременных зданий.

Шестиугольник - интересная находка в архитектуре.Каркас дома, похожий на пчелиные соты, прочнее, чем обычный. Здание, построенное в одном из городов США, выгодно использует свойства шестиугольных ячеек.

(слайд 17) Совершенство природы не перестает удивлять человека, и ему есть чему научиться у маленьких тружениц – пчел. А математика – это уникальное средство познания красоты природы, она выражает высшую целесообразность устройства мира, природа подтверждает универсальность математических закономерностей.

Итог урока:

- Что нового вы сегодня узнали на уроке?

- Чему научились?

- С какими интересными фактами вы познакомились?

Урок не оставил детей равнодушными и они продолжили разговор на эту тему на уроке биологии в 8 классе (презентация «Удивительное в жизни пчел»), на уроке МХК («Архитекторы учатся у природы»), были сделаны модели пчелиных сот, которые будут использованы на уроке в 11 классе.

Тему экономичности построения пчелиных сот можно продолжить в 11 классе при изучении производной. Задача: из двух многогранников с равными объемами (правильная шестиугольная призма и пчелиная ячейка) выбрать тот, у которого меньше площадь поверхности.