Метапредметная тема «Постулаты и доказательства».

Разработчик: Чебыкина Татьяна Геннадьевна, учитель математики МКОУ СОШ пгт Подосиновец Подосиновского района Кировской области

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления.
Общедидактическая цель: создать условия для осознания и осмысления блока новой учебной информации
1.Обучающий аспект: изучить теорему о вписанном угле, научить применять индуктивный метод её доказательства.
2. Развивающий аспект: развивать умения находить способ доказательства нового математического утверждения и выполнять его через организацию парной работы учащихся;
 развивать навыки аргументированной математической речи, навыки доказательного воспроизведения в процессе самостоятельного доказательства теоремы в парах, во время ответов на систему вопросов учителя и решения задач.

3.Воспитательный:  содействовать созданию условий для развития коммуникативной компетентности учащихся; повышать интерес к изучению математики через красоту математических доказательств, их стройность, логичность; актуализировать личностный опыт обучающихся к изучению темы.
 

Ход урока.

1 этап. Организация начала занятия.

                                        2 этап. Подготовка к основному этапу занятия.

Учитель: Ребята, вы уже второй год изучаете геометрию. Кто является основателем этой науки?                                                                                                                                             Учащиеся:  Евклид, евклидова геометрия. Слайд.                                                                     Учитель: Назовите главный труд этого греческого математика.

Учащиеся: «Начала» 
Учитель:

Евклид принёс на царский суд

 «Начала»  - свой великий труд.

Пытался царь читать «Начала»

То с середины, то с начала,

Но лишь запутался вконец.

И тщетность осознав попыток,

Папируса швырнул он свиток

- Позвать Евклида во дворец!

В душе царя кипит обида,

Владыку труд учёный злит:
«Мир славит мудреца Евклида!

Царь геометрии - Евклид!

А мне наука неподвластна?!!»

Не понял я: о чем тут речь?

Ты снова должен приналечь

Труд переделать свой…

Иначе…

-Нет, я не выполню задачи,- Евклид сказал

-Ни я, ни Боги

-В науке царской нет дороги!

Скажите, почему Евклид сказал царю, что в науке царской нет дороги?

Учащиеся:

Потому что в науке всё нужно доказывать, исследовать, в ней нет лёгких путей.
3 этап. Усвоение новых знаний и способов деятельности.

Учитель:
У нас сегодня две темы. Первая тема – «Постулаты и доказательства». Вторую тему вы позднее сформулируете сами.

 Что такое доказательство? Из каких элементов состоит любое доказательство?

Учащиеся: (предполагаемые ответы детей)

- Логическое рассуждение, в процессе которого подтверждается истинность какой-либо мысли.

- Доказательство — это рассуждение, устанавливающее истинность какого-либо утверждения путем приведения других утверждений, истинность которых уже не вызывает сомнений.

- В каждом доказательстве существует три элемента: тезис, аргументы (основания), демонстрация. Тезис - это суждение, истинность и приятие которого устанавливается в доказательстве, аргументы - суждения, из которых выводится тезис, демонстрация - логическая связь тезиса и аргументов, обуславливающая необходимость выведения одного из другого: тезиса из аргумента.

Учитель:

Доказательство в какой-то жизненной ситуации тем убедительнее, чем больше аргументов мы приводим в подтверждение своего тезиса. 

Какими бывают доказательства? Применяете ли вы их в своей повседневной жизни?

 Учащиеся: (предполагаемые ответы)

 -Доказательство по определению.

 -Доказательство от противного.

 -Доказательство по принципу приведения к нелепости, абсурдному.

 - Аксиоматическое доказательство. Первоначально формулируется аксиома - бесспорное, понятное и принятое положение, затем строится доказательство, базирующееся, как правило, на нескольких аксиомах.

- Фактологическое доказательство, в котором главную роль играют факты.

 - Экспериментальное доказательство.

- Индуктивные.

- Дедуктивные.

Учитель:

Приведите примеры из жизни дедуктивного доказательства – доказательства от общего к частному.

Ученики: (предполагаемые ответы)
-Если идет дождь, земля является мокрой.
Идет дождь.
Земля мокрая.

-Так как днём ВСЕГДА светло, то и завтра днём будет светло.

 И др.

Учитель:

Какой ещё вид доказательства вам известен? Противоположный дедуктивному.

Учащиеся:

Индуктивный путь доказательства. От частного к общему.

Учитель:

Приведите примеры такого рассуждения.

Ученики: (предполагаемые ответы)
- Так как каждый год моей жизни зимой было холодно, то зимой ВСЕГДА холодно.

- Так как  все грачи, которых мне доводилось видеть, чёрные, то ВСЕ грачи чёрные.

Учитель:

Что такое постулат?

Ученики:

- то же самое, что аксиома

- то, что не требует доказательства

- утверждение, которое в науке  принимается без доказательства.

Учитель:

Обратимся к энциклопедическому словарю Брокгауза и Ефрона  (читаем определение постулата, доказательства). Слайд.

В жизни мы также встречаем постулаты:

Например, завтра наступит новый день. Запомните его.

Ребята, сегодня мы еще раз убедимся в том, что геометрия построена на этих понятиях.

Предлагаю выполнить задания в рабочих листах

Задание №1

Определите неизвестный угол.

Какие знания вы должны применить для его выполнения?

Ученики:

а)110⁰

-Теорему о сумме углов треугольника. ( Сумма углов треугольника равна 180⁰)

б)140⁰

-Теорему о величине внешнего угла треугольника. (Сумма внешнего угла треугольника равна сумме двух внутренних, не смежных с ним).

в) 20⁰

-Теорему о величине центрального угла. (Центральный угол треугольника равен величине дуги, на которую он опирается)

- Теорему о внешнем угле треугольника. (Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов с ним несмежных.)

Учитель:

В задании под буквой  в) угол  ∟АОС как называется?

Чему равна величина ∟АОС  

Учащиеся:

∟АОС- центральный, внешний по отношению к треугольнику АОВ, величина ∟АОС   равна величине дуги на которую он опирается, т.е. 40⁰ .Это внешний угол, поэтому углы А и В в треугольнике АОВ имеют общую градусную меру 40⁰. ОА и ОВ радиусы окружности, поэтому треугольник равнобедренный и углы А и В равны, как углы при основании в равнобедренном треугольнике, т.е. каждый из них 20⁰.  Итак, угол АВС=20⁰.

Учитель:

Пусть дуга АС равна 2α, чему тогда равен угол АВС?

Учащиеся:

В соответствии с предыдущей задачей, рассуждая аналогичным способом, угол АВС равен α.

Учитель:
ВыполнимЗадание№ 2. Слайд.

Обратите внимание на сходство и различие чертежей. Сейчас, ребята, вы самостоятельно сформулируете определение вписанного угла. На первом чертеже изображение вписанного угла, на двух других углы вписанными не являются.

Учащиеся пытаются дать определение вписанного угла, учитель поправляет их определения и предлагает сравнить их с определением на слайде, а затем записать его  в рабочий лист.

Учитель:

ВыполнимЗадание№ 3.

       а)         б)  в)

На слайде вы видите формулировку теоремы, которую нам  с вами предстоит доказать.

Выделите условие и заключение.

Учащиеся работают с формулировкойтеоремы, выделяя условие и заключение. После такой работы учитель показывает на слайде результат.  Слайд.

Учитель:

Впишите  формулировку теоремы в рабочий лист.

Учащиеся записывают теорему в рабочие листы.

Учитель:

А сейчас рассмотрим ещё одно определение.

Это определение центрального угла, соответствующего вписанному углу.

Как вы думаете, при каких условиях центральный и вписанный углы можно назвать соответственными.

 Учащиеся:

Центральный и вписанный углы можно назвать соответственными, если они опираются на одну и ту же дугу.

Учитель:

Определите на рисунке (Задание№ 3) вписанные углы и выполните задание:

Начертите центральные углы, соответствующие вписанным углам.

Учащиеся выполняют задание.

Учитель:

Приступаем к доказательству теоремы.

Посмотрите внимательно на чертежи (рисунок Задание№ 3)  и ответьте на вопрос: как расположена точка О относительно сторон вписанного угла?

Учащиеся замечают, что центр окружности в случае а) лежит на стороне угла, в случае б) – между сторонами угла, в случае с) – вне угла.

Учитель:
Предлагаю рассмотреть случай а). Для его доказательства нам необходимо вернуться к заданию№1 и применить её решение для доказательства первого случая (свести к задаче, решенной устно).

Учащиеся  устно доказывают случай а) у доски.

Учитель:

 Случай б) доказываем все вместе (фронтальная работа). Для доказательства выполним дополнительное построение – из вершины угла проведём луч ВО, который разделит  угол на два угла. Как выразить величину угла АВС  через угол АВД и угол ДВС? Какую аксиому можно применить?

Учащиеся:

Применим аксиому о разбиении угла на два с помощью луча, проходящего между его сторонами. По этой аксиоме угол АВС равен сумме углов АВД и ДВС, а каждый из них равен соответственно половине углов АОД и ДОС, которые в свою очередь равны дугам АД и ДС, составляющих дугу АС.
(Один ученик ведёт запись доказательства  на доске.)

Учитель:

Сейчас вам предстоит в парах доказать случай в), сведя его  к а) и б)

4 этап .   Первичная проверка понимания.

Учащиеся работают в парах и записывают доказательство третьего случая.

Учитель корректирует работу учащихся в парах.

Итак, теорема доказана.

Вопрос: все ли случаи мы доказали? Почему достаточно рассмотреть только три случая?
Учащиеся:

Других случаев нет.

Учитель:

А сейчас сформулируйте вторую тему урока и запишите её в рабочем листе.

Учащиеся  формулируют самостоятельно («Теорема о вписанном угле»)

Учитель:

Как вы думаете, какой метод доказательства мы применили?

Учащиеся:

Метод рассмотрения всех частных случаев

Учитель:

Такой метод доказательства называется методом полной индукции

Какие методы доказательства вы знаете еще?
Учащиеся: (предполагаемые ответы)
 метод от противного, метод логического рассуждения)

Учитель: Вернёмся к постулатам.

Теория Евклида, теория Лобачевского. Разные – почему?

Зависит от базовых понятий, аксиом. В чём главное отличие этих теорий?

Суть отличия – в теореме о параллельных прямых.

Где в жизни вы встречаетесь с постулатами? Вспомните, в начале урока мы сформулировали постулат: завтра наступит новый день. А на Луне он наступит?

Учащиеся высказывают своё мнение.

5 этап. Применение новых знаний.

Учитель:

Выполняем Задание№ 4

6 Этап .  Подведение итогов.

Выпишите понятия, с которыми вы сегодня познакомились.

 Учащиеся:

(Вписанный угол, центральный угол, соответствующий вписанному, постулаты, доказательства, метод полной индукции)

7 этап. Рефлексия.

Учитель:

Я приготовила для вас несколько постулатов
     - Никогда не поздно начать всё сначала

   -Всё, что ни делается – всё к лучшему

- Век живи – век учись

     -Не ошибается тот, кто ничего не делает

     - Невозможное – возможно  (слайд).

Предлагаю выбрать для себя тот, который вам больше всего подходит сегодня. А, может быть, у вас есть свой – поделитесь.

Учащиеся высказываются.

Учитель:

Хочу поделиться с вами моими постулатами на сегодня.

- Сегодня один из лучших дней в моей жизни.
- Будьте готовы к тому, что ваш лотерейный билет сегодня выиграет.
- Никто и никогда не знает, где и когда ему выпадет его золотой шанс.
- Поэтому всегда будьте готовы к тому, что вам повезёт прямо здесь и сейчас.Слайд

Учитель: Пояснения к домашнему заданию по выбору 1)выполнить поиск в интернете  и работу с заданиями К иИ типа, адреса сайтов в рабочих листах

2)Домашнее задание по учебнику: Глава VIII, § 2, п. 70, 71, № 650, 652, доказательство следствий.

Спасибо за урок.