Submitted by Римма Мажидовна Оршокдугова on Sat, 10/03/2012 - 23:06
О Т К Р Ы Т Ы Й У Р О К
Методы решения показательных уравнений
Девиз урока :«Дорогу осилит идущий , а математику – мыслящий»
Т. Эдисон
Цели урока:
а) образовательные:
-закрепить решение простейших показательных уравнений;
-показать дополнительные методы решения показательных уравнений;
-обобщить и систематизировать методы решения показательных уравнений;
б) развивающие:продолжить работу по развитию умений работать с дополнительной литературой;
в) воспитательные:
-организация совместных действий, ведущих к активизации учебного процесса;
-стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности;
-учащиеся работают над решением проблемы, поставленной учителем;
Оборудование урока: проектор, компьютер, презентация к уроку.
Ход урока
Звучит песня: «Погода в школе»
Результаты медицинского осмотра и антропометрических данных показали, что состояние здоровья школьников в нашей стране с каждым годом ухудшается. И на первое место выходят заболевания опорно-двигательного аппарата- 82%..Появляются заболевания сердечно-сосудистой системы: вегето - сосудистая дистония , головные боли.
Когда голова постоянно находится в наклонном положении, нарушается кровообращение.
.Одной из важнейших задач, стоящих перед школой, является сохранение здоровья детей.
Можно считать, что здоровье ученика в норме, если:
а) в физическом плане – умеет преодолевать усталость, здоровье позволяет ему справляться с учебной нагрузкой;
б) в интеллектуальном плане – проявляет хорошие умственные способности, наблюдательность, воображение, самообучаемость;
в) в нравственном плане – честен, самокритичен, эмпатичен;
г) в социальном плане – коммуникабелен, понимает юмор, сам умеет шутить;
д) в эмоциональном плане – уравновешен , способен удивляться и восхищаться.
Конечно, здоровье учащихся сегодня на уроке определяется благоприятным эмоциональным настроем.
Учитель:
Эпиграфом нашего урока я хочу предложить слова
Г. Лессинга
«Спорьте, заблуждайтесь, ошибайтесь, но, ради Бога, размышляйте, и, хотя криво – да сами».
Вам предстоит сегодня много рассуждать, делать выводы, спорить при решении показательных уравнений. Но при этом помните :
«Здоровье - не все, но все без здоровья - ничто»
Сократ
А помогут мне в этом мои ассистенты
Ассистент 1
В жизни мы часто сталкиваемся с зависимостями между величинами. Оценка по контрольной работе зависит от количества и правильности выполненных заданий,
стоимость покупки от количества купленного товара и цен. Одни зависимости носят случайный характер, другие постоянны.
Асс.2 Ученые-биологи, изучая жизнь бактерий, установили, что рост числа бактерий происходит по формуле N=5t, где N-число колоний бактерий в момент времени t, t- время размножения
Вычислите, как изменится число колоний бактерий за 2 секунды? (увеличится до 25).
За 3 секунды? (увеличится до 125).
Т.е. каждому моменту времени соответствует свое определенное число бактерий
Зависимость такого типа между двумя переменными была замечена не только в процессе роста числа микроорганизмов, но и, например, в спорте – зависимость длины прыжка спортсмена с трамплина от начальной скорости полета, в медицине – способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы.
В рамках предвыборной кампании каждый кандидат выбирает себе в помощники двух доверенных лиц. Каждый из доверенных лиц в течение следующего дня, проводя агитационную работу, привлекает в команду этого кандидата еще по одному человеку. На следующий день агитационная работа проводится уже командой в 4 человека. Что произойдет с командой кандидата, если эту работу продолжить по той же схеме? Команда кандидата будет очень быстро расти.
Такая функция называется показательной.
Учитель
И сегодня на уроке, мы должны дать определение показательной функции, рассмотреть некоторые свойства и научится применять эти свойства при решении показательных уравнений разными методами.
Итак, попробуйте сформулировать определение показательной функции.
(вопросы задают ассистенты по очереди, снимая с доски «звездочки»(под каждой звездочкой -вопрос),открывая правила- на другой половине доски.
1) функцию какого вида называют показательной;
2) какова область определения показательной функции;
3) каково множество значений показательной функции;
4)что можно сказать о монотонности показательной функции в зависимости от основания а;Слайд 35 (2),37Построить эскиз графика функции у=4х+1,5 и найти ее множество значений
Далее один учащийся выступает с кратким сообщением по теме урока, содержание которого сводится к историческим сведениям: кто ввел понятие показательной функции, кто впервые дал понятие показательных уравнений и описал способы их решения.
Асс 1.группы
Термин «показатель» для степени ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем − профессор) Михаэль Штифель (1487-1567). По-немецки показатель − Exponent, от лат. exponere: «выставлять напоказ»; exponens, exponentis − «выставляющий напоказ», «показывающий». Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени. Само обозначение ax для натуральных показателей степени ввел Рене Декарт (1637 г.), а свободно обращаться с такими же дробными и отрицательными показателями стал с 1676 г. сэр Исаак Ньютон.
Асс2 группы
Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости и экспоненциальной кривой для графика этой функции. Краткое наименование «экспонента» отражено в одном из обозначений: . Через exp(x) обозначается конкретная экспонента − с показателем a = e = 2,71828... − встроенная во многие языки программирования функция.
Проверка самостоятельной работы: каждый учащийся после получения корня уравнения, должен подойти к ассистенту,чтобы получить «звезды»для оценки.).
По окончании этой работы учащиеся должны прийти к общему выводу: каким методом решали??
На компьютере
Графически
Подбором
Преимущества
Автоматизация вычислений
Простота метода
Простота и быстрота выполнения, если корни целые и известен промежуток, на котором они определяются
Недостатки
Не соблюдается масштаб, пересечение с осью Ox неявное
Неточность, трудоемкость и затраты времени.
Можно потерять некоторые корни
Кроме того, компьютер не всегда окажется рядом, а графически и методом подбора можно решать только очень простые уравнения, имеющие целые корни, небольшие по абсолютной величине.
Изучение новых способов решения показательных уравнений: Учитель еще раз обращает внимание на цель урока: научиться решать показательные уравнения аналитическим методом. Алгоритма решения показательных уравнений через коэффициенты, как, например, квадратных уравнений, нет. Но существуют способы решений некоторых видов показательных уравнений, с которыми учащиеся на уроке и должны познакомиться. На этом уроке рассматриваются только два способа решения показательных уравнений:
Равенство оснований
Замена переменной
Применение показательной функции
Ассистент1. Показательные уравнения относятся к классу трансцендентных уравнений. Это труднопроизносимое название говорит о том, что такие уравнения, вообще говоря, не решаются в виде формул.
Ассистент2
Их можно решать только приближенно численными методами на компьютерах. А как же быть с экзаменационными задачами? Вся хитрость состоит в том, что экзаменатор так составляет задачу, что она как раз допускает аналитическое решение. Иными словами, Вы можете (и должны!) проделать такие тождественные преобразования, которые сводят данное показательное уравнение к самому простому показательному уравнению. Это самое простое уравнение так и называется: простейшее показательное уравнение. Оно решается логарифмированием.
Ассистент1
Ситуация с решением показательного уравнения напоминает путешествие по лабиринту, который специально придуман составителем задачи. Из этих весьма общих рассуждений следуют вполне конкретные рекомендации.
Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели
Г. Лейбниц
Для успешного решения показательных уравнений необходимо:
1. Не только активно знать все показательные тождества, но и находить множества значений переменной, на которых эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать лишних корней, а тем более, – не терять решений уравнения.
2. Активно знать все показательные тождества.
3. Четко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования уравнений (переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, не забыв про смену знака, приводить к общему знаменателю дроби и тому подобное). Это называется математической культурой. При этом сами выкладки должны делаться автоматически руками, а голова должна думать об общей путеводной нити решения. Делать преобразования надо как можно тщательней и подробней. Только это даст гарантию верного безошибочного решения. И помнить: небольшая арифметическая ошибка может просто создать трансцендентное уравнение, которое в принципе не решается аналитически. Выходит, Вы сбились с пути и уперлись в стенку лабиринта.
4. Знать методы решения задач (то есть знать все пути прохода по лабиринту решения). Для правильного ориентирования на каждом этапе Вам придется (сознательно или интуитивно!):
определить тип уравнения;
вспомнить соответствующий этому типу метод решения з
Молодцы,
вы освоили решения уравнений второго уровня сложности.
Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости и экспоненциальной кривой для графика этой функции. Краткое наименование «экспонента» отражено в одном из обозначений: . Через exp(x) обозначается конкретная экспонента − с показателем a = e = 2,71828... − встроенная во многие языки программирования функция.
