Привести классификацию основных типов тригонометрических уравнений
Подробно рассмотреть и изучить основные способы и методы решения простых тригонометрических уравнений и некоторые подходы решений тригонометрических уравнений с параметрами
Научить применять данные методы в последующей работе
История тригонометрии
Слово «тригонометрия» впервые встречается в 1505 г. в заглавии книги немецкого теолога и математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.
Происхождение этого слова греческое: τρίγωνον — треугольник, μετρεω — мера. Иными словами, тригонометрия — наука об измерениях треугольников. Возникновение тригономет-рии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны уже 2000 лет назад
Длительную историю имеет понятие синуса. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в 3 в. до н.э. в работах великих математиков Древней Греции — Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В римский период эти отношения уже достаточно систематично иследовались Менелаем (Iв. н. э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус угла α, например, изучается как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной α, или как хорда удвоенной дуги.
Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.
В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабскими учёными. В 4-5 веках появился, в частности, уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты (476-ок. 550), именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ он назвал ардхаджива (ардха—половина, джива—тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее привилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IXв. слово джива (или джиба) было заменено на арабское словоджайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в XIIв. это слово было заменено латинскимсинус(sinus—изгиб, кривизна).
Слово косинус намного моложе. Косинус — это сокращение латинского выражения complementlysinus, т.е. «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните cosα= sin( 90° - a)).
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.
Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).
Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.
Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.
Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.
Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще,
Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.
Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греческого gwnia - угол, metrew- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.
Основные типы тригонометрических уравнений
Простейшие тригонометрические уравнения, метод вспомогательного угла
Тригонометрические уравнения, содержащие модуль
Тригонометрические уравнения с параметрами
Тригонометрические уравнения с целой и дробной частью
Тригонометрические уравнения со сложными аргументами
Графический метод, уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Уравнения, решаемые методом исследования области изменения левой и правой части
Тригонометрические уравнения с параметрами
Основные методы решения тригонометрических уравнений
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Сведение к уравнениям, однородным относительноsinx,cosx.
Разложение на множители
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
Использование формул понижения степени
Способ замены
Введение вспомогательного аргумента
Основные подходы решений тригонометрических уравнений с параметрами
Введение дополнительных переменных
Разделение области возможных значений переменных и параметров
Вспомогательные преобразования
Применение классических формул
Методы решения основных тригонометрических уравнений
называются однородными относительноsinxиcosx. Они обладают тем свойством, что сумма показаний степеней приsinxиcosxувсех членов уравнения одинакова. Делением наcosx,cos2x…cosnxcоответственно уравнения (2) приводятся к алгебраическим уравнениям относительноtgx.
Пример:
6sin2x+sinxcosx-cos2x=2. Имеем
6sin2x+sinxcosx-cos2x=2(sin2x+cos2x)↔
↔4sin2x+sinxcosx-3cos2x=0,
т.е. получили однородное уравнение. Разделив обе части уравнения наcos2x(cosx≠0), получим
4tg2x+tgx-3=0,найдём, что
tgx=-1 tgx=3/4
x=-π/4+πk,kϵZx=arctg3/4+πn,nϵZ
Ответ:-π/4+πk,kϵZ;arctg3/4+πn,nϵZ
Решение уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение
Тогда: asinx+bcosx=√a2+b2[(a/√a2+b2)sinx+(b/√a2+b2)cosx]= √a2+b2 (sinxcosφ+cosxsinφ)= √a2+b2sin(x+φ), где φнаходится из уравнения tgφ=b/a
Пример:1/2sin+√3/2cosx=1
Решение:т.к. (√3/2)2 + (1/2)2 =3/4 +1/4 =1, то 1/2 и √3/2 уже являются соответственно косинусом и синусом определённого угла; ясно, что этот угол π/3. Таким образом, получаем sinxcosπ/3 +cosxsinπ/3 =1 ↔
sin(π/3 +x)=1. Решая это уравнение, имеем
x+π/3 =π/2 + 2πk,
x=π/2 -π/3+ 2πk,kєz
x=π/6 +2πk,kєz
Ответ:π/6+2 πk, kєz
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами
При решении тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами надо помнить, что
Областью изменения функций y= sinx и y= сosxявляется отрезок ;
Областью определения функции y= tgx(y= сtgx) является множество xπn, n Z
Областью определения функций y= arcsinx, y= arccosxявляется множество .
Областями изменений функций y= arcsinx, y= arccosx и y= arctgx, y= arcctgx являются соответственно отрезки , и интервалы , .
Пример 1. Для всех значений параметра а решить уравнение
a sin x = a - 1
Решение:
Если а = 0, то уравнение имеет вид 0sinx= -1 и поэтому не имеет решения
Если а0, то уравнение перепишем в виде sinx= . Это уравнение имеет решение, если параметр а удовлетворяет системе неравенств
-
Решением уравнения в этом случае является
x= (-1)narcsin + , n
При остальных значениях aуравнение не имеет решений.
Ответ:если а, то x ;
если а, то x(-1)narcsin + , n
Пример 2. При каких значениях параметра а решить уравнение
sin4x+ cos4x= (a2 + a+3)
разрешимо(имеет хотя бы одно решение).
Решение: Воспользуясь тождеством
sin4x+ cos4x= (sin2x+ cos2x)2 – 2sin2xcos2x= 1-
перепишем уравнение в виде
sin2x=
Последнее уравнение имеет решение, если параметр удовлетворяет системе неравенств
а
Ответ: при а
Методы решения тригонометрических уравнений с параметрами
Введение дополнительных переменных
Введение дополнительных переменных позволяет упростить выражения присутствующие в заданиях и позволяет упростить выполнение задания. Этот подход может быть применен в следующих случаях.
2.1.1 В уравнениях вида
можно вводить дополнительную переменную и применять следующие подстановки
2.1.2 В уравнениях вида
можно вводить дополнительную переменную и применять следующие подстановки
2.1.3 В уравнениях вида
можно вводить дополнительную переменную и применять следующие подстановки
2.1.4 В уравнениях вида
можно вводить дополнительную переменную , где
и применять следующие подстановки
Ниже приведены несколько примеров решения задач описанными методами.
2.1.5Пример 1
При каких значениях параметра уравнение
имеет на интервале более одного решения.
Решение: Обозначим , тогда (при )
и .
Нам нужно, чтобы уравнение имело более одного корня на интервале (0,1), т.е.
Ответ: .
2.1.6 Пример 2
В зависимости от значений параметра а решить уравнение
Решение:
При получаем , или , или .
Теперь предположим, что .
Делим обе части уравнения на и получаем
, где
и , то есть . Из полученного уравнения видно, что . Значит, если то , , .
Ответ: при , ,
При
при решений нет.
Разделение области возможных значений переменных и параметров
Область возможных значений переменных или параметров или некоторых выражений разделяется на дизъюнктные подмножества. Это позволяет упростить задание, или перевести задание в новую форму, более легкую для решения.
2.2.1 Пример 1
В зависимости от параметра решить уравнение
.
Решение: Очевидно, что будет всегда решением.
Если , то получим . Если , то решений нет, если , то , . Учитывая, что получаем: при , и при , .
Пусть теперь , тогда . Если , то решений нет, если , то , . Учитывая, что получаем: при , и при
, .
Теперь можем записать ответ.
Ответ : при x= 0,
при , , ,
при , , .
2.2.2 Пример 2
В зависимости от значений параметров и решить неравенство .
Решение:, ,
Если , то получаем , откуда
Получаем, что если и ,то любое число, если и ,то .
Пусть теперь , тогда получаем
, , если и
, , если .
Ответ: при ,
при , ,
при , , любое число
при ,
Вспомогательные преобразования
Выполнение вспомогательных преобразований, приводящих к упрoщению выражений задания, либо делает возможным применение подходов 2.1 и 2.2.
2.3.1 Пример 1
Найти апри котором имеет по крайней мере одно решение уравнение
Решение: Преобразуем это уравнение, используя формулы сокращенного умножения и основное тригонометрическое тождество:
Разделим обе части уравнения на 4:
.
В левой части уравнения вынесем за скобки и получим:
.
При , значит решений нет.
При получаем .
Зная, что , следовательно , значит
.
Из последней системы мы можем записать ответ.
Ответ:при
Применение классичеких формул
Решение многих уравнений может быть значительно упрощено применением классических тождеств, неравенств, свойств и теорем. Приведем пример решения такого уравнения.
2.4.1Пример
Найти наибольшее значение функции
, где .
Решение: Найдем наибольшее значение квадрата этой функции
.
С учетом того, что имеем
.
Выражение примет наибольшее значение тогда, когда наибольшее значение будет иметь подкоренное выражение.
Имеем .
Если сумма двух положительных переменных постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда оба сомножителя принимают одинаковые значения.
.
Если , то , , .
В этом случае каждое из подкоренных выражений равно (1+a)/2 и
Если , то значение функции будет 2.
Ответ:.
Задачи из экзаменационных заданий
Задание С1
log2cos a (x+4)2 log2cos a(x+2)
0cosa 1 cosa 1
x+ 4 определение логарифма x+ 4
x+ 2 x+ 2
x+ 4 (x+ 2)2монотонность лога- x+ 4 (x+ 2)2
рифмической функции
0 cosa cosa
x -2 x -2
x2 + 3x0 x2 + 3x 0
Задание С2
1 + |log4(9x2-39x+43)| = |cos ((x-2) cosx)|.
Так как |cosm|≤1, то равенство возможно при условии
В заключении я бы хотела сказать, что: Тригонометрия — это наука, о которой можно говорить, рассказывать и писать бесконечно! Это одна из составляющих наук на многих институтах нашей страны!!!
Я представила несколько подходов для решений тригонометрических уравнений. Использование этих методов может намного упростить решение многих сложных заданий. Используя шаблон каждого метода, можно быстро распознать и применить к тому или иному уравнению соответствующий метод.
Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов средней школы / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др.; Под ред. А.Н.Колмогорова. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1991. – 320 с.
Матвиевская Г.П. Очерки истории тригонометрии. – Ташкент.: Фан,1990.- 165 с.
Тригонометрические уравнения и неравенства: Метод.указания / А.В.Мерлин, Н.И.Мерлина. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. Ун-та, 1994. – 31 с.
Математика. 10-11 классы. Уравнения и неравенства. Приёмы, методы, решения / сост. Е.В.Мирошкина.- Волгоград: Учитель, 2009. – 154 стр.
;
πn, n
Z
.
, 
и интервалы 
.
sinx= -1 и поэтому не имеет решения
0, то уравнение перепишем в виде sinx= 
. Это уравнение имеет решение, если параметр а удовлетворяет системе неравенств
- 
+ 
, n
, то x
;
, то x
(-1)narcsin
(a2 + a+3)
удовлетворяет системе неравенств
а 
2 log2cos a(x+2)
cosa
1 
cosa
1 
определение логарифма x+ 4 
x+ 2 
(x+ 2)2монотонность лога- x+ 4 
(x+ 2)2
cosa
, x1 = 2, x2 = 3
: |cos(1,5 cos3,5)| = 1, что неверно
– 7) (x -