Автор: Дубинина Т. И. , учитель математики первой категории МОУ лицея № 57 г. о. Тольятти, Самарская область

Тема:   Применение теоремы синусов и косинусов при решении задач 

Цели  урока:

1. Закрепление знаний, умений и навыков учащихся по изученной теме.

2. Совершенствование навыков решения задач на применение теорем синусов и косинусов.

Ход урока

I.Организационный момент.

II. Проверка усвоения теоретического материала.

1. Два человека на доске  готовят доказательство теорем синусов и косинусов.

2. Один человек готовит решение задачи № 1033 ( на доске).

3. Устная работа со всем классом ( фронтальный опрос).                             

    а) сформулировать мнемоническое правило (чертёж на доске).

        1. если угол aоткладывается от горизонтальной оси, то название функции не меняется.

        2. если угол aоткладывается от вертикальной оси, то название функции меняется.

        3. перед приведённой функцией ставится знак, который имеет исходная функция. если считать, что a- угол  I четверти.

   б)   пользуясь правилом, заменить выражения на тождественно равное

           sin( 90⁰ - a)=                     cos( 90⁰ - a)=                                              

          sin( 90⁰ + a)=                    cos( 90⁰ + a)=

          sin( 180⁰ - a)=                   cos( 180⁰ - a)=

          sin( 180⁰ + a)=                  cos( 180⁰ + a)=

   в) найти значения синуса и косинуса углов.

        cos 120⁰ =    ;  cos 30⁰ =    ; cos 45⁰ =    ;  sin 60⁰ =    ; cos 180⁰ =    ; sin 135⁰ =    ;

        sin45⁰ =        ; cos90⁰ =      ; sin30⁰ =      ; cos150⁰ =   ; sin150⁰ =       ; sin180⁰ =    ;

   г) найти значение a, если:

        cos a= -1, cos a= ½, sin a= ½ ,  cos a=        , sin a=        ,

        cos a= -½  , sin a= -½, cos a=   , sin a=        , sin a=      .

   д )  сформулировать  теоремы синусов и косинусов  ( спросить 3 – 4человек).

         Словесная форма теоремы на готовом чертеже.

         Выразить:

                          1. MN по т.синусов                                         

                           2.угол К по т. синусов

                           3. МК по т. косинусов                                 

4. Учитель слушает доказательство теорем  синусов и косинусов учащимися, которые отвечают у доски (дополнительный вопрос ученикам, работающим у доски: сформулировать  теорему синусов и косинусов для Δ РRS).

 В это время класс решает задачу на готовом чертеже.

   Задача:  Найти как можно больше способов для нахождения площади  треугольника АВС, в котором ВС = 4, АС = 5, угол С = 30⁰.

5. Обсуждение способов решения задачи на нахождение площади треугольника.

    а) по   формуле  S = ½ ВС·АС ·sin30⁰

   б)  провести высоту АH  из вершины А к стороне ВС, найти её длину,

        затем применить формулу  S = ½ ВС·АH.

   в)  провести высоту ВH  из вершины В к стороне АС, найти её длину,

        затем применить формулу  S = ½ АС·ВH.

   г) вычислить длину стороны АВ по теореме косинусов, а затем вычислить

      площадь по формуле Герона.

6. В разборе задачи № 1033 участвуют все ученики.

    Продолжение теоремы синусов : Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, и коэффициент пропорциональности равен 2R,

где R-  радиус окружности, описанной около треугольника.

III. Решение задач.

1. Полуустное решение задачи с записью на доске.

   Стороны АВ и АС прямоугольного треугольника АВС соответственно

    равны  2см и 4см. Найти величины углов С и А, а так же его площадь.

   Решение: 1.  найти угол С по свойству: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы.                                                                  

                      2.  найти угол А  по свойству: сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰.

                      3. Найти площадьпо формуле S= ½ ВС·АВ

Рассмотреть все способы для нахождения стороны ВС.

а) по теореме Пифагора. 

б) по теореме синусов  АВ:sinС = ВС: sin А   

в по теореме синусов  АС:sinВ = ВС: sin А   

г) по теореме косинусов   ВС² = АВ² + АС² – 2АВ·АС· cos А

2. Самостоятельное решение задачи с последующей проверкой.

     При проверки задачи сделать акцент на применение теорем и вычислительные навыки ( работа с корнями).

В равнобедренном  треугольнике АВС угол А при вершине  треугольника равен 120⁰. Боковая сторона равна 6см. Найти сторону ВС и площадь треугольника.    

3.  Самостоятельное решение задачи с предварительным анализом.

      В  треугольнике АВС угол А = 60⁰ . Сторона АВ равна √2 см, а сторона ВС

      равна √3 см.  Найти угол В  и сторону АС треугольника  АВС. 

     а) Составить ход решения задачи вместе с классом.  

      Ход решения : 1. найти угол С по теореме синусов  АВ:sin С = ВС: sin А .

                                  2. найти угол В по теореме о сумме углов треугольника.

                                  3. найти сторону АС ( рассмотреть все способы) 

                                   а) по теореме косинусов  АС² = АВ² + ВС² – 2АВ·ВС· cos В

                           или б) по теореме синусов   АВ:sin С = АС: sin В   

                           или в)по теореме синусов   ВС:sin А = АС: sin В  

     б) Проверить решение задачи.

  4. В конце урока на листочке, в течении 3 минут , решить задачу.

 Построить треугольник, обозначить, выразить один из углов по  теореме синусов через другие элементы и одну из сторон  по теореме косинусов через другие элементы.

 IV. Домашнее задание.    

  Вопросы 1-10 на странице 253.

  I уровень:  №1025 (д, е, ж, з), № 1028.

  II уровень: № 1028, №1031 (а,б), 1032.

V. Итог урока.

Вопрос: Итак, чему мы научились сегодня на уроке?

Ответ: Сегодня на уроке  в процессе решения задач  мы закрепили знания нахождения элементов треугольника с помощью теоремы синусов и теоремы косинусов  и площади треугольника различными способами.