Submitted by Лариса Александровна Дужан on Fri, 17/12/2010 - 08:43
Ход урока.
I.Организационный момент.
Здравствуйте, ребята!
Поприветствуйте гостей. Вы готовы к уроку? Вы привели своё рабочее место в порядок? У вас есть на партах тетради (справочная и рабочая), ручка, карандаш, линейка, треугольник, учебник, калькулятор?!
Сели ровно, спины выпрямили, головы подняли выше. Пора начинать урок. «О, сколько нам открытий чудных
Готовит просвещенья дух:
И опыт – сын ошибок трудных,
И гений – парадоксов друг».
А. Пушкин.
Эти слова А. Пушкина послужат эпиграфом к нашему уроку. А Самуил Маршак и я вам желаем такое: «Пусть каждый день и каждый час
Вам новое добудет
Пусть будет добрым ум у вас,
Задачи урока: А сердце умным будет!
Я представляю вам теорему Пифагора.
Вы постарайтесь усвоить новый материал, принимайте активное участие в работе на уроке и постарайтесь набрать максимальное количество баллов по сумме оценок и плюсов (пентаграмм, т.е. звёздочек, которые вы будете брать на столе сами за каждый правильный ответ. У кого будет больше всех звёздочек - получит приз).
Итак, представляю вам план урока под кодовым названием «4П».
- Проверка домашнего задания.
- Повторение пройденного материала.
- Познакомимся с новым.
- Попробуем его применить.
Подходит?! Ещё я планирую на уроке представление проблем. Будьте внимательны.
II.Первое «П».
Проверка домашнего задания.
1. Какая тема прошлого урока?
а) у кого есть вопросы по теоретической части домашнего задания?
б) у кого были проблемы с практической частью домашнего задания?
2. Проверка наличия рефератов по теме урока.
3. 4 ученика на альбомных листах на доске показывают решение задачи №1 п. 62, т.е. построение углов, косинус которых задан.
4. Остальные ученики по очереди по готовым рисункам определяют на доске косинусы заданных углов, т.е. выполняют задание, обратное первому. Проблема с точностью наоборот. Устные упражнения. Определить косинусы любых двух углов.
Но сначала правило, т.е. определение косинуса: Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
сos ‹А = 8⁄10 cos ‹В = 6⁄10 cos ‹Д = 16⁄20
cos ‹Д = 12⁄20 cos ‹К = 5⁄13 cos ‹М = 12⁄13
Сверим результаты: Ошибки есть?!
Что частное, разное? (Числа)
Что общее? (1. треугольники все прямоугольные;
2. косинус угла - отношение прилежащего катета к гипотенузе.)
Эти выводы нужно отложить как умственный багаж в банк памяти вашего «персонального компьютера». («в голову»)
(За д/з каждый ученик должен получить звёздочки)
Представление проблем по проверке д/з закончена и я думаю вы их решили.
III. Актуализация опорных знаний. «2П»
I. Математический диктант «Прямоугольный треугольник».
Задание ваше: закончить предложения.
1. Прямоугольным называется треугольник, у которого есть…
2. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется…
3. Прямой угол равен … градусов.
4. Сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу, называется …
5. Треугольник, имеющий угол в 90º называется …
6. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется …
7. Сумма углов треугольника равна …
8. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна …
9. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30º, равен … гипотенузы.
10.Катет прямоугольного треугольника, равный половине гипотенузы, лежит против угла в …
( На оборотной стороне доски ответы. Взаимопроверка. Выставление оценок.) ответы (М. д.)
- Теорема 3.3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
А значит: и их косинусы равны.
<A = <B => cos <А = cos <В Свойство косинусов
<а = < b => cos <a = cos <b равных углов.
(Записать в справочных тетрадях: Если <А = <В, то и cos <А = cos <B.)
- А, может ли быть прямоугольный треугольник равносторонним?
- А наоборот?
- Может ли быть равносторонний треугольник прямоугольным?
(Нет. Противоречит Т. 4.4. о сумме углов треугольника.
a + b + 90º = 180º,
a + b + у = 180º, у равностороннего: 180º : 3 = 60º;
60º + 60º + 90º ≠ 180º)
- А может ли в треугольнике быть два прямых угла? Нет. Противоречит Т. 4.4. а + 90º + 90º ≠ 180º.
Достаточно. Объясню, почему мы сегодня много внимания уделяем прямоугольным треугольникам.
- Для них выполняется знаменитая теорема Пифагора.
Реферат «О жизни Пифагора».
Тема нашего открытого урока зашифрована в кроссвордах.
На доске два кроссворда. Ответы на вопросы надо записать в вертикальные графы кроссвордов. За правильный ответ ученик получает звезду. По ключевым словам учащиеся определяют тему урока (читается по горизонтали).
Вопросы кроссвордов разданы ученикам.
Выходят, пишут, кто знает и желает.
I. 1. Часть прямой, лежащая между двумя данными точками.
2.Утверждение, которое доказывается.
3. Два луча исходящие из одной точки.
4. Прямоугольник с равными сторонами.
5. Сторона прямого угла.
6. Угол, равный 90º.
7. Арифметический … корень √.
II. 1. Название угла в 90º.
2. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу.
3. Правило, записанное в буквах, кратко.
4. Перпендикуляр, опущенный из вершины угла к прямой.
5. Фигура, которая состоит из точки и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки.
6. Геометрическая фигура, состоящая из трёх точек не лежащих на одной прямой и трёх отрезков, соединяющих эти точки.
7. Часть прямой, ограниченная двумя точками.
8. Прямоугольник, у которого все стороны равны.
IV. Мотивация изучения теоремы.
1. Предлагается старинная задача из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого.
Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. Нижний конец, сея лествицы от стены отстояти 44 век, колико стоп обреете лествицу долготою.
Затем задача формулируется в общем виде: нужно найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника по его катетам. Учащиеся не могут решить задачу, т.к. не знают формулы, выражающей зависимость между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.
2. Практическая работа.
(карточки – задания)
Цель работы – установить зависимость между величинами в таблице.
Ход работы –простым карандашом внести данные измерений в таблицу.
Вывод сформулировать. Частный вывод. Может быть он выполняется всегда?
Попробуем проверить?
V. Изучение нового материала.
1. Формулировка и история теоремы.
Беседа учителя.
«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».
Это утверждение носит имя древне-греческого математика, философа Пифагора и называется теорема Пифагора.
Один из подготовленных заранее учащихся рассказывает об учёном.
Историческая справка.
Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связана с именем Пифагора, он не открыл ее, она была известна задолго до него, в Древнем Египте и Вавилоне. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Теорема относилась тогда к площадям квадратов, а не к численным, значениям длин. В первоначальной формулировке сказано:
площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Получающуюся при этом картинку школьники с давних пор называли «пифагоровыми штанами» и в шутку говорили: «Пифагоровы штаны на все стороны равны». Но доказательства, возможно, что тогда ещё не знали, а самосоотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, знал это, но нашел доказательство этого соотношения. И вот факт из отдельных измерений, выступил как необходимый закон, потому, что если уж доказано, то значит «оно не может быть иначе». Повторяю . Теорема относилась тогда к площадям квадратов, а не к численным значениям длин. Само название второй степени числа – « а квадрат» или « а в квадрате» - происходит от геометрического понятия «квадрат со стороной а». Сначала была геометрия, алгебра появилась позже.
Сохранилось древнее придание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам - даже сто быков.
На протяжении следующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы. В настоящее время их насчитывается более ста.Некоторые из них я вам представлю!
УСЛОВИЕ: Если Т - прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с, то Т.Пифагора утверждает, что с2 = а2 + в2 (1)
а2, в2 , с2 - численные значения площадей квадратов со сторонами а, в, с. Поэтому равенство с2 = а2 + в2 означает , что площадь квадрата, построенного на гипотенузе , равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Сегодня известно более ста различных доказательств теоремы Пифагора. Возможно, автором одного из них является сам ученый или его ученик.
Учащиеся средних веков считали доказательство теоремы Пифагора очень трудным и прозвали его «ослиным мостом» или «бегством убогих», т.к. слабые ученики бежали от геометрии, а те, кто заучивал теоремы наизусть, без понимания, были не в состоянии осилить теорему Пифагора: она служила для них чем-то вроде не преодолимого моста. Из-за иллюстрирующих теорему чертежей учащиеся называли её так же «ветреной мельницей», рисовали забавные карикатуры и придумывали шутливые стишки вроде такого:
Пифагоровы штаны во все стороны равны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1:
Соотношение между катетами и гипотенузой, вероятно, сначала было установлено для равнобедренного прямоугольного треугольника.
По рисунку видим, что квадрат, построенный на его гипотенузе, разбивается диагоналями на четыре равных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, содержат по два таких же треугольника. Замечаем, что площадь большого квадрата равна сумме площадей малых квадратов.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 2:
1.Дополнительные построения. Достроен треугольник до квадрата со стороной а + в, как на рис. Квадрат Q со стороной а + в слагается из квадрата P со стороной с и четырёх треугольников, равных Т.
Поэтому S (Q) = S (P) +4 S (Т) (2).
(Часть любой геометрической фигуры является геометрической фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур есть снова геометрическая фигура).
S (Q) = (а + в); S (P) = с; S (Т) = ав, то подставляя в (2), получаем равенство
(а + в) = с + 4 (ав) (3) поскольку (а + в) = а + 2ав = с + 2ав (4).
Из равенства (4) следует: с = а + в.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 3:
Основано на пропорциональности сторон в прямоугольном треугольнике и определении косинуса угла, оно будет ваше домашнее задание п.63.
3. С л е д с т в и я:
с. В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.
с. Cos α < 1 для любого острого угла α.
3. Реферат «О значении теоремы Пифагора».
VI. Первичное применение полученных знаний.
Решение старинных задач.
1. Учитель показывает на доске образец записи решения задачи №1 (про лестницу).
Дано: В треугольнике АВС <С = 90º, АС = 117 стоп, СВ = 44 стопы.
Найти: гипотенузу АВ.
Шутливая формулировка решения задачи:
Если дан нам треугольник и притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим, сумму степеней находим -
И таким простым путем к результату мы придем.
Решение: По условию задачи треугольник АВС – прямоугольный. Пусть АВ – х стоп, тогда по теореме Пифагора
3. Предлагаю задачу № 2 индийского математика XII в. Бхаскары.
На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, в том месте река
В четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки
Осталось Х фута всего от ствола.
Прошу тебя, скоро ты Х отыщи
Если надломилось пять футов ствола.
Решение: По условию задачи в результате надломления ствола относительно плоскости реки получился прямоугольный треугольник с такими данными АВ = 5 футов, гипотенуза, СД = 4 фута, катет. АС - ? По теореме Пифагора
АС² + СВ² = АВ²;
1 способ: АС² = АВ² - СВ²; 2 способ:
АС² = 5² - 4²; АС = √ АВ² - СВ²;
АС² = 25 - 16; АС = √ 5² - 4² ;
АС² = 9; АС = √ 25 - 16;
АС = √ 9; АС = √ 9;
АС = 3 (фута); АС = 3 (фута).
Ответ: длина второго катета равна три фута.
Прямоугольный треугольник со сторонами 3,4 и 5 единиц иногда называют египетским.
Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались следующим приемом. Бечевку узлами делили на двенадцать равных частей и концы связывали. Затем бечевку растягивали так, что получался треугольник со сторонами 3, 4 и 5 делений. Угол треугольника противолежащий стороне с 5 делениями, был прямой (3² + 4² = 5²).
Указанным способом строили прямой угол.
А сейчас сделает короткое сообщение о школе Пифагора.
Учитель: Центральное место в философии воспитанников и приверженцев Пифагора занимали числа. Пифагора называли отцом чисел, отцом нумерации:
«Где нет числа и меры – там хаос и химера».
«Самое мудрое – это число».
«Числа управляют миром».
Некоторые историки отмечали, что Пифагор составил подробный список табу для членов своего ордена. Вот некоторые из них:
1) делай лишь то, что впоследствии не омрачит тебя и не заставит раскаиваться;
2) не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать;
3) не пренебрегай здоровьем своего тела;
4) научись жить просто и без роскоши;
5) либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания;
6) не закрывай глаза, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за день.
Самостоятельная работа
Работа с учебником. Стр. 94, пункта 63, задача 3).
VII. Подведение итога урока.
Учитель: Подведем итог нашего путешествия. Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Рассказывают, что в честь этого открытия он принёс в жертву быка. Другие говорят, 100 быков. Это послужило поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов. Так, например, немецкий писатель-романист А. Шамиссо написал следующие стихи:
Пребудет вечной истина, как скоро все познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношение богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье за света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор, чуть истина рождается на свёт,
Быки ревут, её почуя, вслед. Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.
Домашнее задание: п. 63 (доказательство), п.64, контрольный вопрос №3, стр.93, задачи № 2, 1 ; № 3, 1.
Ученику, набравшему большее количество звездочек, вручается приз – готовальня.
