Обобщение опыта работы учителя математики

Лонкиной Натальи Владимировны

Стаж работы в должности: 19 лет

Преподаваемые предметы: математика, астрономия

Стаж преподавания по данному предмету: 19 лет

Специальность по диплому: математика, информатика и вычислительная техника

Общий педагогический стаж: 19 лет

Образовательное учреждение: муниципальное общеобразовательное учреждение «Михайловская средняя общеобразовательная школа»

Район: Бугурусланский Орнебургской области

Имеет: высшую аттестационную категорию с 24 мая 2001 года

1.Проблема:  «Внедрение проблемного обучения в образовательный процесс средней школы».

2. Условие возникновения проблемы, становление опыта:

Отличительные для конца XX- начала XXI века изменения в характере образования – в его направленности, целях, содержании – все более явно ориентирует его на «свободное развитие человека», на творческую инициативу, самостоятельность обучаемых, конкурентоспособность, мобильность будущих специалистов. Эти изменения нашли отражение в Федеральном законе «Об образовании», Концепции модернизации отечественного образования на период до 2010 года. Кроме того, быстрое нарастание потока научной информации поставили перед  педагогической наукой и школой сложную задачу повышения эффективности процесса обучения. Со всей остротой встала эта задача и перед методикой математики. Для того чтобы быть на уровне времени, выпускник школы должен глубоко усвоить важнейшие идеи современной математики и овладеть системой основных научных понятий, уметь ориентироваться в научно-технической литературе, самостоятельно и быстро отыскивать нужные сведения, научиться самостоятельно и систематически пополнять знания и, наконец, научиться активно, творчески пользоваться своими знаниями.

Решение возникших новых задач педагогическая наука и школа ищут, в первую очередь, совершенствуя содержание образования, активизируя познавательную деятельность учащихся, развивая их мышление и способности в процессе обучения. В последнее время особые надежды в этом отношении связываются с проблемным обучением.

Мною в течении 5 лет тоже была проведена работа по сбору педагогических фактов и другого эмпирического и информационного материала по проблемному обучению, выявились находки, новинки в работе отдельных педагогов или целых коллективов, имеющих определенные достижения в учебно - воспитательной работе. Кроме того, я использовала обобщение собственного опыта работы, составила развернутую программу внедрения проблемного обучения, провела эксперименты в классах разных возрастных категорий и разных уровней обученности. Получив результаты, я их сопоставила, сравнила, проанализировала факты, выявила взаимосвязи между ними, выяснила характер зависимости процесса обучения от конкретных условий.

3. Актуальность и перспективность опыта, его практическая значимость для повышения качества учебно-воспитательного процесса:

Несмотря на то, что исследования в области проблемного обучения ведутся уже сравнительно давно, что позволяет некоторым ученым уже подводить какие-то итоги, тем не менее, проблемное обучение привлекает к себе пристальное внимание ученых и на современном этапе. Возникает ощущение, что после некоторого затишья начинается новая волна исследований этой, несомненно, интересной области дидактики. Новые проблемы возникают в связи с использованием достижений теории искусственного интеллекта в обучении, индивидуализацией в проблемном обучении, применением различных форм (группового, кооперативного) обучения, использованием компьютера в проблемном обучении.

4. Теоретическая база опыта:

Эффективность проблемного обучения убедительно доказана как в работах отечественных (А. М. Матюшкин, М. И. Махмутов и др.) и зарубежных (Дж. Дьюи, Э. де Боно, В. Оконь и др.) ученых, так и непосредственно на практике при обучении различным дисциплинам в разных типах школ: начальной, средней специальной и высшей..

5. Новизна опыта.

Применение технологии проблемного обучения на разных этапах урока математики. Разработка серии уроков по теме «Четырехугольники» (геометрия 8 класс) с использованием технологии.

6. Технология опыта.

Технологическая схема цикла проблемного обучения (постановка и разрешение проблемной ситуации) делится на 6 этапов.

 I этап — постановка педагогической проблемной ситуации, при которой у ребёнка возникают вопросы, реакция на внешние раздражители. Педагогическая проблемная ситуация создаётся с помощью различных вербальных и технических средств.

II этап — перевод педагогически организованной проблемной ситуации в логическую: состояние вопроса — начало активного поиска ответа на него, осознание сущности противоречия, формулировка неизвестного. На этом этапе учитель оказывает дозированную помощь, задаёт наводящие вопросы и т.д. Трудность управления проблемным обучением состоит в том, что возникновение психологической проблемной ситуации — акт индивидуальный, поэтому учителю нужно использовать дифференцированный и индивидуальный подходы.

 Ш этап — поиск решения проблемы, выхода из тупика противоречий. Совместно с учителем или самостоятельно учащиеся выдвигают и проверяют различные гипотезы, привлекают дополнительную информацию. Учитель оказывает необходимую помощь (в зоне ближайшего развития).

IVэтап — «Ага-реакция», появление идеи решения, переход к решению, разработка его, появление нового знания (ЗУН, СУД) в сознании учащихся.

V этап — реализация найденного решения в форме материального или духовного продукта.

VI этап — отслеживание (контроль) отдалённых результатов обучения.

7. Результативность:

1. Позитивная динамика успеваемости и качества знаний за время применения технологии (успеваемость 100%, качество знаний увеличилось за три года на 4,2 % и составило 66,2%).

2. Увеличение количества учащихся, принимающих участие в математических олимпиадах различного уровня и улучшение результативности( победители районной олимпиады 2003г, 2004 год, лауреаты 2006 года Межрегиональной заочной математической олимпиады, проводимой физико-математической школой «Авангард», участники международного конкурса-игры «Кенгуру», участники заочной олимпиады по математике в рамках проекта «Познание и творчество», участники фестиваля исследовательских и творческих работ учащихся «Портфолио»)

3. Участие в проектной деятельности (проект «Линейная функция» занял второе место в областном конкурсе проектов Intel «Обучение для будущего» в 2006 году)

4. Опыт работы Лонкиной Н.В. по теме «Проблемное обучение  как условие формирования исследовательских умений и навыков учащихся при обучении математике» обобщен в районе.

5. Учитель участвовала в Интернет-педсовете с докладом «Экономика в математике» в 2006 году.

6. Учитель является участником фестиваля педагогических идей «Открытый урок».

8. Адресная направленность:

1.Проблемное обучение как образовательная технология является одним из интенсивных методов обучения. Оно может быть использовано в сочетании с обучением, распределенным по времени.

2. Проблемное обучение имеет различные разновидности, которые целесообразно применять для различных возрастов, а соответственно и для различных образовательных программ.

3. Данная технология применима как к общеобразовательным программам, так и программам профильного обучения.

9. Условия  использования технологии проблемного обучения:

Использование технологии проблемного обучения имеет ряд условий:

·        Применять данную технологию может лишь педагог, обладающий способностями системного видения материала и свободного владения разными формами учебной работы;

·        Применять технологию нужно постоянно, а не от случая к случаю.

Иллюстрация проблемного обучения в рамках темы «Четырехугольники»

 Проблемное обучение при объяснении нового материала.

При объяснении нового материала в основном используются две формы проблемного обучения: проблемное изложение и поисковую беседу.

Проблемное изложение. В этом случае проблему ставит и решает учитель. Он не просто «излагает материал», а размышляет вслух над проблемой, рассматривает возможные подходы к ее решению и пути решения. Одни из них в процессе рассуждения он отвергает как несостоятельные, другие принимает и развивает. Таким образом, он постепенно приходит к верному решению. На таких примерах учащиеся учатся логике рассуждений при решении проблем, их анализу, глубже усваивают материал. Проблемное изложение применяют в тех случаях, когда материал совсем новый или слишком сложный для того, чтобы можно было организовать его коллективное обсуждение, вовлечь учащихся в поисковую беседу.

Во многих случаях в форме проблемного изложения целесообразно знакомить учащихся с «великими» открытиями или теоремами в геометрии. В теме «Четырехугольники» таковыми являются теорема Фалеса, понятие площади. Приведем пример. Одним из важных понятий геометрии является понятие площади фигуры. В обычной жизни на каждом шагу мы встречаемся с понятием «площадь». Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты, площадь садового участка. На вопрос что такое площадь не каждый ученик даст вам ответ. Даже математики смогли создать соответствующую математическую теорию сравнительно недавно. Правда, это никому не мешало успешно использовать понятие площади и в науке , и на практике с незапамятных времен. Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности название "геометрия" (т.е. "землемерие") связывают именно с измерением площадей. Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, и вычисление их площадей. В древности считалось, что площадь четырехугольника, последовательные стороны которой имеют длины a,b,c,d, можно вычислять по формуле  (то есть полусумму длин противоположных сторон умножить на полусумму двух других сторон). Эта формула, найденная опытным путем, неверная; в этом мы сможем убедиться на конкретном примере, например, когда выведем формулу параллелограмма. По-видимому, в древности приходилось рассматривать лишь участки, мало отличающиеся от прямоугольника по форме, а для таких участков погрешность, вносимая указанном формулой, невелика. Лишь в последствии было полностью развито учение о площадях и получены точные формулы для вычисления площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника и других многоугольников. Дальнейшее поисковое изложение материала можно посмотреть в представленном нами конспекте урока в Приложении 1.

Подготавливая материал для проблемного изложения, учителю следует выделить то, что ученики должны записать в тетради. Замети, что при проблемном изложении часто оказывается полезным разделять материал на отдельные логически связанные части. После изложения каждой такой части учащимся разрешается задавать вопросы.

Поисковая беседа. При изложении нового материала на уроках математики чаще используют другую форму проблемного обучения - поисковую беседу. Смысл ее – привлечение учащихся к разрешению выдвигаемых на уроке проблем с помощью подготовленной заранее учителем системы вопросов. Поисковая беседа может быть использована в тех случаях, когда ученики обладают необходимыми знаниями для разрешения выдвигаемых проблем. Чтобы поисковая беседа не вылилась в работу только небольшой группы учеников и в наблюдение за этим процессом «со стороны» остальных, необходимо иметь в виду следующее: 1) после формулировки проблемы убедиться в том, что все учащиеся поняли ее смысл (для этого достаточно спросить одного-двух слабых учеников); 2) не спешить с началом обсуждения, т.е. не начинать его сразу, как только первый ученик поднимет руку; 3) систематически спрашивать тех, кто не проявляет активности, поощряя их в случае удачного выступления. Опыт показывает, что при этих условиях удается держать в рабочем напряжении всех учеников класса и постепенно развивать интерес к творческой работе у подавляющего большинства из них. Рассмотрим в качестве примера  организацию поисковой беседы при изучении теоремы Пифагора. Урок начнем с решения одной старинной задачи. «На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 2- 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от более высокой пальмы появилась рыба?» Далее учитель с учениками переводит задачу на язык математики, учащиеся выдвигают гипотезы по методам решения, но все они приводят в тупик, так как не хватает знаний, а именно, нужно знать зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике. Далее учитель предлагает найти зависимость между гипотенузой и катетами практическим путем (как это делал Пифагор). Построить треугольники с катетами 3 и 4, 6 и 8, 8 и 15, 12 и 5. Измерим длину гипотенузы в каждом треугольнике, занесем данные в таблицу. Вопрос ученикам: какую зависимость видит каждый из вас? Ученики предлагают, все вместе проверяем для других случаев. Если ученики не увидели зависимости, учитель им подсказывает, что надо найти квадраты катетов и гипотенузы. Полностью содержание поисковой беседы приведено в Приложении 2. Чаще всего поисковая беседа охватывает не весь новый материал, изучаемый на уроке, а какую-то его часть или отдельные части, изучение которых в проблемном плане представляется наиболее целесообразным. Однако есть и такие вопросы, изучение которых может быть организовано полностью в форме поисковой беседы. Таких вопросов сравнительно немного, и можно пойти на неизбежные при этом дополнительные затраты времени, поскольку развивающий эффект этих уроков очень высок. Проводившиеся нами контрольные проверки показывали, что материал, изученный в ходе таких уроков, учащиеся усваивают особенно глубоко и прочно запоминают.

 О работе над определением

Работа над определением многогранна. Чтобы усвоить определение, нужно установить его, выявить связи между рассматриваемым понятием и близким к нему с помощью диаграмм Эйлера- Венна  (см. Методика преподавания математики в средней школе, сост.Р.С.Черкасов, А.А.Столяр.- М.: Просвещение, 1985.) привести примеры, отвечающие определению и не отвечающие ему. Усвоение определения не будет эффективным, если не решать задачи (сначала простые, а потом посложнее) на применение определения. Существует и ряд других сторон этой работы, но начальный этап, как правило, связан с изучением самого текста определения.

Многие школьники не понимают, что значит «принять иное определение». Они считают, что учить определение — это значит перечитывать его, пока не запомнишь («как стихи или прозу»). За пятнадцать лет педагогической деятельности у меня накопился некоторый опыт воспитания разумного подхода к изучению текста определения.

В работе над определениями мне помогает создание проблемных ситуаций.

Приведем пример.

Ситуация предположения (состоит в выдвижении учителем или учеником предположений какой-либо закономерности с вовлечением учащихся в исследовательский поиск)

 Для начала учащимся предлагается выяснить, справедливо ли «определение»: «Окружностью называется плоская замкнутая линия». Предлагается нарисовать линию, отвечающую этому «определению». Обычно обучаемые быстро предлагают рисунки, ясно показывающие непригодность данного «определения».

 Выясняется, что в нем было опущено существенное условие: все точки окружности одинаково удалены от одной и той же точки (центра). Этот пробел и привел к изображению «странных окружностей».

Затем рассмотрим второй пример.

В этом примере создается ситуация неопределенности (предъявляемое проблемное задание содержит недостаточно данных для получения однозначного решения)

«Параллелограммом называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны», и снова перед обучаемыми ставится задача привести пример фигуры, соответствующей этому «определению», ныне являющейся параллелограммом. Ясно, что такой фигурой может быть трапеция, ясна и причина возможного несоответствия.  

Введем два понятия.

1.    Пусть в некотором определении сделано изменение, вызвавшее увеличение объема понятия, тогда полученное «новое» определение не будет равносильно общепринятому. («Новым» оно названо  иронически,    а   кавычки     только    подчеркивают   иронию.)
В «Логическом словаре» Н. И. Кондакова отмечается, что в этом  случае  дается   слишком   широкое  определение   понятия.   Обычно «новое» определение получают, попросту забыв одно из условий, характеризующих новое понятие.

2.    Назовем   контрпримером   к   «новому»   определению   объект (или класс объектов),  который отвечает «новому»  определению, но не отвечает принятому в литературе.

Приведенные выше линии на рисунке  — это контрпримеры к «новому» определению окружности; трапеция — контрпример к «новому» определению параллелограмма.

Контрпримеры используются еще с древних времен. Рассказывают, что Диоген, услышав определение Платона: «Человек есть двуногое животное без перьев», ощипал петуха, принес его в Академию и заявил: «Вот человек Платона».

Мы рекомендуем учащемуся, начиная самостоятельную работу над определением, не заглядывать в учебник или справочник. Сначала необходимо написать текст определения так, как он себе его представляет, и лишь после этого проверить себя.

Обычно часть определения усваивается сразу еще на уроке. По в какой-то части определения, возможно, обнаружатся расхождения. В этом случае надо обязательно разобраться, в чем разница, и увидеть, как изменился смысл определяемого понятия. Эта работа помогает понять значение каждого слова в определении и избавляет нас от необходимости «учить» определение: после обдумывания каждого слова в определении оно запоминается само собой.

Бывает, что школьник сразу запомнит определение. Тогда, чтобы понять значение каждого слова (или условия), ему нужно самому посмотреть, что получится, если опустить это слово (условие) .

Рассмотрим примеры. Пусть школьник написал или сказал: «Два уравнения называются равносильными, если корни одного являются корнями другого». Посмотрел в учебник, а там дополнительно еще два слова: «и обратно». Чтобы осмыслить значение этих слов, надо подобрать два уравнения так, чтобы корни одного были корнями второго, но корни второго не были бы корнями первого, т.е. чтобы не выполнялось второе требование. Например,

Х – 2=0                               (1)

х²  - 4 = 0.                             (2)

Очевидно, что число 2 является корнем и первого, и второго уравнения, а —2, являясь корнем второго уравнения, корнем первого не является. По «определению» школьника эти уравнения тем не менее равносильны, а на самом деле — нет.

Школьник привык, что с учебником не поспоришь, что надо учить так, как в учебнике, но теперь у него возникают сомнения, почему надо именно так. «Разве нельзя,— спрашивает он,— формулировать по-моему?» Я ему показываю «касательную» АВ .

Он говорит, что это не касательная, а секущая, что она имеет с окружностью две общие точки. Я спрашиваю у него:

-   Но одну общую точку она имеет?

-   Имеет.

- Правда, она имеет еще одну. Но в том определении, где сказано «только одну», есть запрет: больше нельзя, а в вашем «определении» иметь две общие точки не запрещается. Следовательно,  по вашему «определению» прямая АВ тоже будет касательной. Заметим, что благодаря этому «определению» множество касательных к окружности расширилось: к ним добавились прямые (секущие), которые касательными не считаются.

Одна из причин затруднений учащихся  состоит в том, что они порой «учат» определения, не уяснив всех терминов, которые в него входят. В частности, читая определение касательной, они не задумываются над тем, что значит слово «только».

Тщательная работа над текстом определения существенно повышает уровень культуры мышления учащихся, способствует развитию логики мышления и речи обучаемых, повышает интерес к предмету.

 О работе с теоремой.

В теме «Четырехугольники» учащиеся должны научиться различать свойства фигуры и ее признаки, поэтому важно научить формулировать теорему, обратную данной.

Как составить обратную теорему?

Чтобы составить теорему, обратную данной, надо в данной переставить местами условие (или его часть) с заключением (или его частью). Рассмотрим теорему «В параллелограмме противоположные стороны равны». Здесь можно составить три обратных утверждения.

1.Если  в  четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то он параллелограмм. (Здесь переставлены часть условия и заключение.)

2.  Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то он параллелограмм. (Здесь переставлена часть условия с частью заключения.)

И еще одно (неверное) утверждение:

3. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, а две другие параллельны, то он параллелограмм.  (Здесь тоже переставлена местами часть условия с частью заключения.)

Иллюстрация. Эти три предложения можно иллюстрировать на плакате

Привлечь учеников. Перед доказательством обратной теоремы учитель может поставить вопрос «А справедливо ли обратное утверждение?» и предложить ученикам сформулировать обратное утверждение и затем доказать его или с помощью контрпримера опровергнуть.

При доказательстве теоремы ученик должен каждый вывод сопровождать обоснованием и не забывать точно указывать где, в каком именно месте было использовано условие теоремы. Чтобы опровергнуть неверное утверждение, достаточно привести один пример, отвечающий его условию и не отвечающий его заключению. Контрпримером к третьему (неверному) утверждению является трапеция ABCD, у которой условия выполнены: ВС||AD, АВ = CD, а заключение не выполнено (трапеция ABCD не параллелограмм).

Рассказать об ошибках. Ученика спрашивают, почему он утверждает, что треугольник со сторонами 3, 4, и 5 является прямоугольным? «По теореме Пифагора», — отвечает ученик. А это ошибка. В теореме Пифагора дано, что треугольник прямоугольный, а здесь это не дано. Напротив, это утверждается. Утверждение, что этот треугольник прямоугольный, опирается на теорему, обратную теореме Пифагора. Учеников надо убедить в необходимости различать прямое и обратное утверждения, показать, что в прямой и обратной теоремах утверждаются разные факты. Формулировки взаимно обратных теорем похожи, но различны условия, различные заключения и доказательства. Сопоставляя записанные рядом доказательства этих теорем, опытный учитель обязательно обращает внимание учеников, что при доказательстве каждой теоремы мы опираемся на ее условие.

Не только ученики, многие взрослые, не усвоив этого в школе, формулируют неверные утверждения, не замечая, что истинным является обратное. Неумение различать прямое и обратное утверждение хорошо описано в книге Льюиса Кэрролла (Кэрролл Л. Алиса в стране чудес. Алиса в Зазеркалье. — Петрозаводск: 1979.) Персонажи сказки — Мартовский Заяц, Болванщик и Соня — заметив ошибку Алисы, сразу стали популярно и с юмором объяснять, в чем она состоит.

—Так бы и сказала, — заметил Мартовский Заяц. — Нужно всегда говорить то, что думаешь.

—Я так и делаю, — поспешила объяснить Алиса. — По крайней мере, я всегда думаю то, что говорю... а это одно и то же.

—Совсем не одно и то же, — возразил Болванщик. — Так ты еще, чего доброго, скажешь, будто «Я вижу то, что ем» и «Я ем то, что вижу» — одно и то же!

—Так ты еще скажешь, будто «Что имею, то люблю» и «Что люблю, то имею» — одно и то же! —подхватил Мартовский Заяц.

— Так ты еще скажешь, — проговорила, не открывая глаз, Соня, — будто «Я дышу, пока сплю» и «Я сплю, пока дышу» — одно и то же.

Если предложить ученикам составить два взаимно обратных утверждения, из которых одно верное, а другое неверное или даже бессмысленное, они с удовольствием выполнят это задание.

Свойства и признаки. Свойство предмета — его качество, качество ему присущее. Свойство данного человека — веселый нрав, добродушие. Свойство четного числа — оно делится на два. Пусть дан или построен параллелограмм. Выясняем, какие у него свойства, и формулируем: «Если четырехугольник параллелограмм, то...». Уже известно, что имеется параллелограмм, требуется определить его свойства.

Совсем другое дело признак. Это безошибочное средство для опознания. Как отпечатки пальцев. Дан четырехугольник и нужно узнать, является он параллелограммом или нет? Например, с помощью признака: «Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то он параллелограмм». Как узнать, параллельны ли две данные прямые? Достаточно пересечь их третьей прямой и проверить, будут ли равны накрест лежащие углы. Как узнать, равны ли треугольники? Проше всего — воспользоваться признаком.

Рассмотрим два взаимно обратных утверждения.

1.  В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

2.Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

В первом предложении уже дано, что четырехугольник параллелограмм, и утверждается, что он обладает некоторым свойством. Во втором, напротив, тот факт, что четырехугольник является параллелограммом надо еще установить, и предлагается признак, с помощью которого можно это сделать.

Это важно! Задолго до школы ребенок может пересказать полюбившуюся сказку. Спеть услышанную песенку, даже если не все слова в ней понятны. При пересказе он старается сохранить последовательность изложения. Но вот он приходит в школу, и тут ему приходится много лет пересказывать тексты, написанные в учебнике. Обычно авторы поясняют значение каждого слова, но не все ученики усваивают его, а через некоторое время его смысл может ускользнуть из памяти или останется только в общих чертах. И тогда ученик пересказывает текст, не вполне его понимая, допускает неточности, искажения. Не знаю, о чем думает учитель географии, когда ученик путает Новую Землю с Новой Зеландией. Но когда выпускник средней школы не может выделить в формулировке теоремы ее условие и заключение, при доказательстве от противного допускает, что условие теоремы не имеет места, возникает вопрос, чему его учили. Разве теоремы даются, чтобы их пересказывать?