Геометрия в ЕГЭ.

Как готовить к ЕГЭ по геометрии? Этот вопрос волнует сейчас многих методистов и учителей математики. Анализируя  опыт работы подготовки к ЕГЭ за последние 4 года, можно предложить некоторые конкретные мероприятия по формированию умения решать геометрические задачи и успешной сдачи ЕГЭ по этому предмету.

                1.Сам урок должен быть составлен по принципу ЕГЭ : от простого к сложному. При этом необходимо решать на каждом уроке и планиметрические и стереометрические задачи.

Ученик должен вспоминать забытые формулы, теоремы, способы и методы решения задач.. при этом учитель должен особо акцентировать внимание на ключевых вопросах.

                2.Одна из важных проблем при тестировании – рисунок к задаче. На экзамене у выпускника нет линейки, карандаша, ластика. Перед ним гелевая ручка и белый лист бумаги. Строить приходится от руки как можно быстрее, точно, аккуратно. Чтобы не было с этим проблем, необходимо проводить практические работы на  альбомных нелинованных листах, строить геометрические фигуры, проводить от руки высоты, биссектрисы, медианы и выполнять другие построения.

                3.На обычных рабочих уроках нужно обязательно развивать коммуникабельность у учащихся, предлагая им решать попеременно стереометрические и планиметрические задачи. Несколько слов хочется сказать о фузионизме. Актуальность идеи фузионизма в настоящее время определяется следующими причинами. Во-первых, надо учитывать тенденцию в современном развитии образования, связанной с профильной дифференциацией обучения в старших классах. В результате, уже сейчас во многих школах происходит сокращение количества часов, отводимых на математику, и особенно на стереометрию. Тем самым учащиеся многих не математических профилей не могут получить полноценное математическое образование. А с учетом огромного потенциала для развития личности, заложенного в пространственной геометрии, становится ясно, на сколько важно знакомить учащихся с пространственными формулами уже в рамках основной школы. Во-вторых, психологические и педагогические исследования таких видных в этих отраслях ученых, как: П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, Л.В.Занков, Н.Ф. Толызина и другие, показывают, что познавательные возможности младших учащихся намного выше, чем предполагалось ранее: формирование восприятия пространства у младших школьников происходит более интенсивно, чем у старших; у детей младшего школьного возраста наиболее развиты трехмерные представления, многие понятия, методы, виды деятельности и идеи, связанные с пространственной геометрией доступны младшим школьникам.

                Таким образом, подготовка к ЕГЭ должна начинаться уже в младшем школьном возрасте.

                4.Несколько слов хочется сказать о готовых чертежах. Да, это позволяет экономить время на уроке, но нельзя этим увлекаться. Сегодня во многих методических пособиях описаны уроки, где вначале урока предлагают такую форму работы. Но мы знаем, сколько проблем создает чертеж к решению и стереометрических и планиметрических задач. Поэтому необходимо проводить каждый урок геометрические диктанты, заставляя учащихся буквально «рисовать» задачу.

                5.Важно поурочно формировать у учащихся и чувство времени. Для этого можно устанавливать регламент на решение ключевых задач на самом уроке, а дома предложить им при выполнении задания ставить перед собой электронные часы, чтобы создать ситуацию, похожую на экзаменационную.

                6.Еще одна проблема – анализ текста задачи. На каждом уроке необходимо приучать решать задачи с анализа условия, приучать выделять ключевые слова.

В народе говорят: «Вот есть примета…». Так и в геометрии. Увидел слово «биссектриса» - ищи равные пары углов, либо используй ее свойство. Идет речь о пересекающихся высотах в треугольнике – находи подобные треугольники, работай  с прямоугольным треугольником. Видишь слово «медиана» - значит, вспомни все ее свойства и определи, какое из них надо применить к твоей задаче и др.

                7.Порой мы стремимся задать хороший темп на уроке, успеть решить как можно больше задач, а стоит ли так поступать? Будет ли результат? По-моему, трудные задачи желательно на уроке сразу не решать, а давать их дорабатывать дома, предоставив, таким образом ученику основательно «повариться» в ее решении. Подсказка на следующем уроке лучше запомнится и в следующий раз на решение подобной проблемы уйдет меньше времени.

Вообще готовить домашнее задание по геометрии накануне урока недопустимо. Его надо решать в течение недели и обращаться за помощью к учителю или одноклассникам.

                8.Очень важно приучить ребят классифицировать задачи и научить составлять памятки по решению некоторых задач, доказательств и выводов формул, теорем. Не желательно давать ученикам готовые конспекты. У каждого из них свое, собственное мышление и потому им приходится порой зазубрить конспект учителя. Он быстро забывается, так как составлен не самим учеником, это не его опора или сигнал, а учителя или товарища.

                9.Хорошим помощником в подготовке к ЕГЭ является компьютер. Для отработки элементарных , ключевых задач можно составить тесты на время. Эта форма работы продолжит формировать коммуникабельность учащихся, доводит до автоматизма применение основных формул и теорем геометрии.

                В заключение хотелось бы напомнить, что главной целью для учителя должно быть не только подготовка к ЕГЭ , но и развитие основных компетентностей учащихся, формирование умения применять полученные знания в жизненных ситуациях. В ЕГЭ 2009 года включены геометрические задачи практического содержания. Сегодня бессмысленно тратить время на рассуждение: отменят ЕГЭ или нет? Нужны конкретные мероприятия по развитию и укреплению геометрического аппарата учащихся. При чем надо начинать это как можно раньше, желательно с начальной школы.

                Ученик не сможет научиться быстро ориентироваться в задаче, не овладев минимальным (базовым уровнем). У учителя обязательно должен быть список таких задач. Очень важно, чтобы система подготовки «выталкивала» ученика с минимального уровня вверх. Это уже зависит от мастерства учителя, его умений преподнести методически грамотно изучаемый геометрический материал.

Основная школа

                В результате изучения курса геометрии учащиеся должны уметь формулировать определения основных понятий геометрии, знать формулировки основных теорем и уметь их доказывать, знать важнейшие формулы и уметь их выводить.

                Именно умение решать геометрические задачи соответствующего уровня и является главным признаком того, что учащийся в своем развитии достиг необходимого уровня. В прилагаемом списке задач выделена относительно небольшая группа так называемых опорных задач. В них либо формулируется некий полезный факт, который может быть использован при решении различных задач, развивает теорию, либо иллюстрируется важный метод.

Опорные задачи.

1.Докажите, что дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.

2. Докажите, что в прямоугольном треугольнике, медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы. Докажите обратное утверждение.

3.В прямоугольном треугольнике АВС на гипотенузу АВ опущена высота СD. Докажите, что имеют место равенства CD²= AD*DB, BC² = BA*BD, AC²=AB*AD.

4.Докажите, что сумма внешних углов в любом выпуклом четырехугольнике равна 360⁰.

6.Докажите,что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанного около этого треугольника окружности.

7.Докажите, что четырехугольник с вершинами в серединах сторон данного четырехугольника является параллелограммом.

8.В треугольнике АВС проведена высота ВК, О –центр, описанной около этого треугольника окружности. Докажите, что угол ОВС равен углу КВА.

9.В трапеции проведены диагонали. Докажите, что: а)площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны. б)если диагонали четырехугольника делят его на 4 треугольника, таких, что два противоположных равновелики, то стороны этого четырехугольника, не принадлежащие двум указанным треугольникам, параллельны.

10. Докажите, что в треугольнике расстояние от вершины до точки пересечения высот в 2 раза больше, чем от центра описанной окружности до противоположной стороны.

11. Докажите, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

12. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма, равна сумме квадратов всех его сторон.

13.Стороны треугольника равны а, b, c,  а медиана к стороне равна m_a . Докажите, что

m_a =      ., m_b =   , m_c =  

14. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы.

15.Докажите, что площадь описанного многоугольника равна pr, где p –его полупериметр, а r -  радиус вписанной окружности.

16. Пусть а и b -  катеты, а с – гипотенуза прямоугольного треугольника. Докажите, что диаметр окружности, вписанной в этот треугольник равен а +b-c.

17.Докажите, что если а и b – стороны треугольника, α – угол между ними и l -  биссектриса треугольника, соответствующая этому углу, то l =   или l_a =

18Докажите, что у правильного треугольника радиус вписанной окружности в 2 раза меньше радиуса описанной окружности.

19Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие элементы треугольника (стороны, высоты, периметры).

20.Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

21.Докажите, что если диагонали трапеции перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты.

22.Прямая АМ – касательная к окружности, а В – хорда к этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ.

 

 

 

 

 

 

23. Докажите, что произведение отрезков секущей окружности равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки, АС*ВС = СД².

24. Докажите, что АО* ОВ = СО*ОД.

 

25.Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее площадь равна половине квадрата ее диагонали.

26.Медиана треугольника делит его на два равновеликих.

27.Три медианы в треугольнике делят его на шесть равновеликих.

28.Центр тяжести треугольника – это точка пересечения медиан.

29.Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

30.Центр окружности, вписанной в треугольник лежит на пересечении биссектрис треугольника.

31.Центр окружности, описанной около треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

32.Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противоположных сторон четырехугольника равны. Верно и обратно утверждение.

33.Если около четырехугольника описана окружность, то суммы противоположных углов четырехугольника равны 180⁰.

34.Докажите, что середина сторон ромба является вершиной прямоугольника.

35.Теорема Птолемея: mn=ac+bd, где mn -  длины диагоналей четырехугольника, а а, с и b,d – длины пар противоположных сторон.

36.Биссетриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.

37.Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

 

 

 

Старшая базовая школа

В результате изучения курса стереометрии, ученик должен прежде всего уметь работать с основными пространственными телами: многогранными и круглыми. Общие положения, характеризующие минимальный уровень, сформулированные в соответствующем разделе для основной школы, остаются верными и для старший базовой школы. Специфика проявляется в том, что возрастает роль умений, связанных с изображением геометрических фигур и тел. Кроме того, в стереометрии более четко выражено инженерная и практическая направленность. Отсюда следует также увеличение роли вычислительных методов и вычислительных задач по сравнению с задачами иных видов.

Опорные задачи.

1.Докажите, что середина сторон пространственного четырехугольника является вершинами параллелограмма.

2.Луч ВА не лежит в плоскости не развернутого угла СВD. Докажите, что если угол АВС = углу АВD, при чем угол АВС меньше 90⁰ , то проекцией луча ВА на плоскость СВD является биссектриса угла СВD.

3.Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

4.Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро. (перпендикулярным сечением наклонной призмы называют ее сечение плоскостью, перпендикулярной к боковым ребрам и пересекающей их).

5.Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание; б)высоты всех боковых граней, проведенные из вершины пирамиды равны; в)площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведенную из вершины.

6.В пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что : а)высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания; б) все боковые ребра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания

7.Докажите, что площадь полной поверхности куба равна 2d², где d -  диагональ куба.

8.Основанием наклонного параллелепипеда является ромб. Боковое ребро СС₁ составляет равные углы со сторонами основания СD  и СВ. Докажите, что: а)СС₁ перпендикулярно ВD ; б) ВВ₁D₁D -  прямоугольник ;в) плоскости АА ₁С₁ и ВВ₁D₁ – взаимно перпендикулярны.

9.Две секущие плоскости перпендикулярны к оси конуса. Докажите, что площади сечения конуса этими плоскостями относятся как квадраты расстояний от вершины конуса до этих плоскостей.

10. Докажите, что объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной к боковым ребрам и пересекающей их.

11.Докажите, что объем описанного многогранника вычисляется по формуле: V = 1/3rS, где r -  радиус вписанного шара, S -  площадь полной поверхности многогранника.

12.Пусть Р и Q  - площади двух граней прямоугольной пирамиды, а – длина общего ребра, α – величина двугранного угла между этими гранями. Докажите, что объем пирамиды вычисляется по формуле V =  .

13. Пусть а и  b -  длины двух противоположных ребер треугольной пирамиды,  d -  расстояние между ними, φ -  угол между ними. Докажите, что объем пирамиды вычисляется по формуле V =1/6abd sinφ.

14.Докажите, что если одна из граней вписанной в цилиндр треугольной призмы проходит через ось цилиндра, то две другие грани взаимно перпендикулярны. (призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра.)

15.Докажите, что если в правильную призму можно вписать сферу, то центром сферы является середина отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы.

16.Докажите, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды.

17.Докажите, что если в правильную усеченную четырехугольную пирамиду можно вписать сферу, то апофема пирамиды равна полусумме сторон оснований ее боковой грани.

18.Докажите, что центр сферы, описанной около: а) правильной призмы лежит в середине отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы; б)правильной пирамиды, лежит на высоте этой пирамиды или ее продолжении.

19.Докажите, что: а) около любого тетраэдра можно описать сферу; б)в любой тетраэдр можно вписать сферу.

20.Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.

21.Докажите, что объем треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до параллельного ей ребра.

22.Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О прямые. Докажите, что квадрат площади треугольника АВС равен сумме квадратов площадей остальных граней. (пространственная теорема Пифагора).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тренировочные задачи

1.Каждое ребро наклонной треугольной призмы равно а ; одно из боковых ребер образует с каждой прилежащей стороной основания угол α. Определите объем призмы.

Ответ: 1/2а³ .

2.Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с острым углом α. Каждое ребро равно b и наклонено к плоскости основания под углом γ. Определите объем пирамиды.

Ответ: 1/6b⁸ sin 2αsin2γ cosγ.

3.Основание пирамиды прямоугольный треугольник с гипотенузой а и острым углом α. Вычислите объем пирамиды и наибольший плоский угол при ее вершине, если каждое боковое ребро образует с плоскостью основания пирамиды угол β.

Ответ: 1/24 а³ sin2α tgβ.

4.Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, диагональ которой составляет с боковой стороной прямой угол, большее основание трапеции равно а, острый угол равен α. Найти объем пирамиды, если боковое ребро, соединяющее вершину пирамиды с концом меньшего основания  трапецию образует с плоскостью основания угол β, вершина пирамиды проектируется на середину большего основания трапеции.

Ответ : 1/12а³ sin2α sin²α tgβ.

5.Найти объем пирамиды, основанием которой служит прямоугольный треугольник с катетами а и b, если каждое боковое ребро ее наклонено к плоскости основания под углом α.

Ответ : 1/12 ab tgα.