Способы повышения скорости и точности вычислений

1 Сложение

1.1 Название частей сложения

1.2 Перенос

1.3  Сложение слева на право

1.4  Округление цифры

1.5  Проверка сложения

2 Вычитание

2.1  Сложение наоборот

2.2  Проверка вычитания

3 Умножение

3.1 За пределы таблицы умножения

3.3 Замена множителя на разность

  3.4 Удвоение

  3.5  Проверка умножения

4  Деление

4.1  Трудности деления

4.2  Некоторые делимости

4.3 Деление с остатком

4.4 Переписывание деления

4.5  Деление столбиком

4.6 Проверка деления

Введение

Нас в школе  научили складывать числа. Был ли «школьный способ» неправильным? Если существуют более простые и быстрые методы, то почему им не учат в школе?

Школьные способы, конечно же, правильные – но обычно они длиннее, чем необходимо. На то есть две причины. Во-первых, школьные методы рассчитаны в первую очередь на письменные вычисления, так что изучаемые в школе способы заставляют вас записывать практически каждый шаг вычислений. Это важно для детей младшего возраста, которые только учатся оперировать цифрами. С другой стороны, ускоренные способы часто рассчитаны на то, чтобы быстро манипулировать числами мысленно, не записывая их. Большинство людей находят это трудным, пока не научатся правилам, с помощью которых выполняются длинные письменные расчёты.

Существуют правила, но они основаны на том, как ведут себя числа, то есть на принципах арифметики. И важнее понимать принципы, а не просто заучивать правила. То, что заучивается без подлинного понимания, легко забывается и потом не поддаётся восстановлению. С другой стороны, если заученные  правила основаны на принципах арифметики, то эти правила представляются вам естественными и легко запоминаются. Даже если вы их забудете, то сможете восстановить на основе понимания принципов.

Некоторые приемы вычислений

1 Сложение

1.1 Название частей сложения

Сложение – это первое арифметическое действие, которому учат в школе, и детей учат складывать однозначные числа, пока они не запомнят результаты этого сложения. Действительно, мы с первого взгляда можем узнать  результаты сложения ста однозначных чисел, от 0+0 до 9+9. Мы запомнили «таблицу сложения». Это происходит в таком раннем возрасте, что почти никто из нас не знает, что таблица сложения вообще существует.

После того как таблица сложения выучена, мы можем складывать любой список чисел, сколько бы их ни было и сколько бы цифр они не содержали. Сначала выучим слова, которые используются по отношению к числам и частям чисел, участвующим в сложении.

порядковые числа). Результат сложения 98 называется суммой. Это слово происходит от латинского слова, означающего «самый большой» - потому что сумма – это самое большое число, участвующее в простом сложении.

 При сложении не имеет значения, в каком порядке расположены числа, которые нужно сложить. Сумма останется прежней.

Различные части числа также имеют свои собственные названия. Давайте рассмотрим       ₊623 107

                                                   134 891

                                             757 998

Предположим,  что вы представите три числа, участвующие в этом примере, в виде вертикальных колонок. Колонка справа (7, 1, 8) – это разряд единиц, следующая слева от неё (0, 9, 9) – разряд десятков. Далее ещё левее – разряд сотен, разряд тысяч и десятков тысяч.

 А теперь рассмотрим те случаи, когда в сложении возникают некоторые трудности.

1.2 Перенос

Например, нужно сложить 68 и 76. Мы увидим, что 8+6=14, а 6+7=13. Сумма каждой цифры представляет собой двузначное число.

именно перенос цифр. Люди пытаются «держать их в уме», а в самый ответственный момент забывают о них, или помнят, что что-то в уме было, но забывают, 1 или 2, или пишут маленькие цифры, которые трудно разобрать.

Вот более сложный пример сложения, сначала –

с записью промежуточных цифр,      а потом – с использованием переноса:

₊5 672                                                    ₊5 672

₊4 981                                                   ₊4 981

  2 169                                                     2 169                                           

            12                                                     1    2  1__

        21                                                     12 822

    16

11___                               Так существует ли способ обойтись без переноса?

12 822                            Если бы от него удалось избавиться хотя бы в           

                                       некоторых случаях, мы сэкономили бы немало 

                                       времени и сил.

Чем больше число, тем больше вероятность, что для него потребуется перенос. Если к однозначному числу 9 прибавляется любое число, кроме 0, перенос станет необходимым. С маленькими числами оперировать легко, а легче всего с 0. Какое бы число вы ни прибавили к 0, даже 9, переноса не потребуется.

Первое правило упрощения арифметических расчётов заключается  в замене чего-то сложного на что-то простое всякий раз, когда это возможно. При сложении 68 и 76 цифра 8 представляет для нас проблему. Есть ли возможность заменить это число на другое – лучше всего на 0?

Проще всего к 68 прибавить 2, превратив это число в 70. Но нужно что-то сделать с числом 76, уравновесив то, что сделано с 68. Если к 68 прибавили 2, то от 76 надо 2 отнять. Сделав это,  вы не измените сумму.

Короче говоря, можно прибавить определённое число к первому слагаемому и вычесть его из второго, не изменив суммы, или вычесть его из первого слагаемого и прибавить ко второму, не изменив суммы. Вместо того, чтобы складывать 68 и 76, мы можем сложить 70 и 74 (прибавив 2 к первому слагаемому и вычтя 2 из второго), так что ответ 144 виден с первого взгляда, без всякого переноса. Также можно вычесть из первого слагаемого 4 и прибавить 4 ко второму, превратив 6 в 0. Тогда мы складывали бы не 68 и 76, а 64 и 80, и ответ144 по-прежнему получился бы моментально. Оба изменения основаны на одном и том же арифметическом  принципе, и оба дадут правильный ответ.

1.3  Сложение слева на право

А если понадобиться складывать цепочку чисел?

Во-первых, почти всё время придётся складывать два числа. Если научиться избегать переноса в таких простых случаях, то можно избавиться от девяти десятых всех ошибок, которые происходят при сложении.

Если вы столкнулись с длинной цепочкой чисел, то уверены ли вы, что необходим точный ответ? В повседневной жизни порой необязательно быть точным. Предположим, следующая цепочка чисел представляет собой цены различных вещей, которые нужно купить:

а записывали все промежуточные суммы, то окажется, что не имеет значения, какой разряд мы сложили в первую очередь. Данную цепочку можно сложить разными способами:

Если вас  не интересует, на сколько точен результат, если вам важно только, будет ли он, например, больше 40 000, зачем в этом случае тщательно складывать разряд единиц? Вместо этого начинаем с разряда десятков тысяч. Сложив их, вы обнаружите, что 1 + 2 + 1 + 1 = 5. То есть сумма составит не меньше 50 000. Это больше, чем та сумма, которая у вас есть, и дальше проводить сложение нет смысла. Если вы начинаете слева и двигаетесь направо, получая промежуточные суммы, результат будет такой:

            Например, если вы хотите сложить 34 + 86 + 154 + 72 + 69, то вы запишите промежуточные суммы 120, 274, 346 и 415, просто, чтобы не запутаться. Вы просто проявляете осторожность. Со временем необходимость в этом может исчезнуть.

1.4  Округление цифры

Если вас интересует только приблизительный ответ, и вы не хотите затруднять себя сложением слева направо?  Есть  другой способ избавиться от необходимости складывать разряды, которые вам не нужны. В некотором отношении он даже более удобен.

 Единственный случай, когда мы можем не трудиться складывать колонку цифр, это когда все эти цифры – нули. Нужно изменить цифры в ненужных нам разрядах на нули, но при этом изменить величину первоначального числа как можно меньше. Предположим, что нас интересует ответ с точностью до тысяч. Зачем при этом  заниматься разрядами сотен, десятков и единиц? Заменим их цифры на нули.

Первое число 13 667 можно заменить на 13 000. Но при этом мы уменьшим его на 667. А вот если изменить 13 667 на 14 000, то увеличим его, но всего на 333. Второе изменение лучше. Таким же образом можно изменить 5 687 на 6 000, 21 112 на 21 000, 10 377 на 10 000, 9 898 на 10 000, 5 100 на  5 000 и 11 132 на 11 000. Числа типа 6 000, 13 000 называют круглыми. Когда 5 687 превращается в 6 000, оно «округляется до тысяч». Его можно также округлить до десятков и записать как 5 690 или до сотен и записать как 5 700. Складывая эти числа после округления, мы получаем:

Округляя цифры, вы иногда их увеличиваете, а иногда уменьшаете. При наличии любой длинной цепочки чисел велика вероятность того, что увеличения и уменьшения при округлении почти уравновесятся. И это даст ответ, который будет мало отличаться от того, который был бы получен точными вычислениями.

Но может случиться так, что при округлении несколько чисел уменьшились  совсем незначительно, а оставшиеся сильно увеличились, то есть увеличение значительно превосходит уменьшение и погрешность может показаться слишком большой. Значит можно округлить не до тысяч, а до сотен. Например, нужно сложить числа: 13 575, 4 065, 5 551 и 7 001. Округлим  13 575   до 13 600,  5 551 – до 5 600, а 4 065 и 7 001 до 4 000 и

7 000 соответственно. Теперь, если сложить

Незначительное увеличение работы даёт очень большое повышение точности.

1.5  Проверка сложения

После того, как вы получили ответ при арифметических расчётах, особенно если они были сложными, то встает вопрос о том, правильный ли получили ответ.

Большинство людей просто пересчитывают всё снова. К сожалению, повторение подсчётов точно таким же способом – не лучший способ выявления ошибок, так как человек снова делает ту же глупую ошибку. Значит, повторяя сложение, лучше получить ответ другим путём. При этом сочетание цифр меняется, так что у вас нет причин повторить ошибку.

Поскольку порядок чисел при сложении не играет роли, то зачем проводить его сверху вниз? Почему бы при проверке не складывать числа снизу вверх? Однако может получиться так, что при счёте сверху вниз вы сделаете одну ошибку, а при счёте снизу вверх – другую и что две ошибки дадут вам один и тот же неверный ответ.

Но есть более короткий способ выяснить, нуждается ли в проверке результат расчётов.

Рассмотрим следующий пример:         8 921

⁺   4 135

   13 056

Сложим все цифры первого слагаемого, 8 921. Получим

8 + 9 + 2 + 1 = 20. Сложим все цифры этой суммы: 2 + 0 = 2. Проделаем то же с другими числами, продолжая операцию до тех пор, пока не получите одну цифру. Таким образом, сумма цифр  второго слагаемого (4 135) равна

4 + 1 + 3 + 5 = 13, 1 + 3 = 4.

 А для суммы 13 056   получаем 1 + 3 + 0 + 5 + 6 = 15, 1 + 5 = 6.

Теперь повторим сложение, поместив сумму цифр справа от каждого числа:

     8 921        2

⁺   4 135        4

   13 056        6

Вы заметили, что суммы цифр складываются правильно. Это не совпадение: так бывает всегда.   Возьмём ещё один пример:

            ₊ 5 633            8

 4 903             7

            10 536             6

Сумма цифр первого слагаемого составляет 5 + 6 + 3 + 3 =17,              1 + 7 = 8. Сумма цифр второго слагаемого 4 + 9 + 0 + 3 = 16, 1 + 6 = 7. Сумма цифр суммы составит 1 + 0 + 5 + 3 + 6 = 15, 1 + 5 = 6. Однако 8 + 7 не равно шести! Но мы имеем дело не с обычными числами, а оперируем суммами цифр. А тогда  8 + 7 = 15, а 1 + 5 = 6. При подсчете суммы цифр можно сказать, что    8 + 7 = 6.

Всякий раз, когда складываем колонку цифр, чтобы получить точный результат, то можно увидеть, что суммы цифр тоже будут складываться правильно. Значит, если  выполнили сложение, то не обязательно проверять сумму, повторяя вычисления. Можно получить суммы цифр и проверить, складываются ли они правильно. Если это так, то можно быть почти уверенным, что ответ верен.

Конечно, сложение цифр всех чисел отнимает время. Но нахождение суммы можно ещё больше упростить. Упрощение основано на том, что прибавление 9 никогда не меняет суммы цифр. Таким образом, 13 + 9 = 22, и сумма цифр 13 и 22 равна 4; 175 + 9 = 184, и сумма цифр как 175, так и 184 составляет 4;  4 658 + 9 = 4 667, а сумма цифр и 4 658, и 4 67 – это 5; 72 + 9 + 9 + 9 + 9 = 108, а сумма цифр как 72, так и 108 равна 9.

Значит, при сложении цифр любого числа 9 прибавлять не обязательно, а также ряд чисел, которые в сумме дадут 9? Например, сумма цифр числа 8 921 равна 20, а 2 + 0 = 2. Но можно прежде исключить 9, а потом и 8 + 1, так как они тоже дадут 9, и  останется только 2. Получится та же сумма, но затрачивается гораздо меньше времени и сил.

42 572      выбросим  4 + 5 и 7 + 2, останется              2

17 999      выбросим    все три 9, а 1 + 7 = 8                 8 

11 240     1 + 1 + 2 + 4  легко сложить, получится       8

54 603      выбросим 5 + 4 и 6 + 3, останется               0

126 414       выбросим 1+2+6 и 4+1+4, останется          0

     Теперь проверим,  правильно ли складываются  суммы цифр. Разве 2+8 + 8 + 0 = 0? По правилам арифметики она равна 18, но  можно отбросить 1 + 8, так что останется 0. Сложение сумм цифр верно, следовательно, сами числа сложены правильно.

Поскольку 9 и цифры, дающие в сумме 9, отбрасываются, этот метод  проверки сложения называется «сложением без девяток». Это более быстрый способ проверки сложения, нежели повторение всех вычислений. Чем более длинное и сложное вычисление мы проверяем, тем больше времени экономим. Причём многих забавляет охота на 9 и проверка правильности сложения.

2 Вычитание

2.1  Сложение наоборот

Если мы знаем таблицу сложения от 0 + 0 = 0 до 9 + 9 =18, мы автоматически знаем и таблицу вычитания от 18 – 9 = 9 до 0 – 0 = 0. При таком вычитании, как 12 – 5 = 7, первое число 12 называется уменьшаемым, число 5 – вычитаемым, а число 7 – разностью. Если  мы запишем уменьшаемое и вычитаемое столбиком (десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д.), то у нас не будет проблем, если каждая цифра уменьшаемого больше цифры, которая находится прямо под ним в вычитаемом. Например:

_72 998 476

  61 818 034

  11 180 442

В таком вычитании вы можете ответ записать настолько быстро, насколько быстро вы пишете.

 Однако  при вычитании типа

_61

  48  ,   начав вычитание с разряда единиц, как учат в школе, сразу столкнёмся с проблемой, потому что  1 меньше 8. Вычитания 1 – 8 в нашей таблице вычитания нет. Приходится «занимать» или «переносить». Почти все ошибки происходят на этом этапе. Следовательно, нужно заменить сложное на нечто простое.

Единственная цифра, которая всегда вычитается из другой без заимствования, - это 0. Давайте заменим неприятную цифру 8 на 0, то есть к 48 прибавим 2, получится 50. Но теперь  нужно что-то сделать с уменьшаемым, чтобы не изменилась разность. Если прибавить одно и тоже число к уменьшаемому и вычитаемому, то разность останется прежней. И если вычесть одно  и тоже число из уменьшаемого и вычитаемого, разность тоже не меняется. Следовательно, в нашем примере уменьшаемое 61 надо тоже увеличить на 2, как и 48. Получится пример 63 – 50, так что ответ 13 виден с первого взгляда.

В более сложном примере 412 – 279 сначала прибавить к обоим числам 1, превратив их в 413 – 280. Затем прибавить к обоим числам ещё 20, и пример примет вид 433 – 300, так что сразу виден ответ 133.

2.2  Проверка вычитания

Вычитание нельзя проверить так же, как сложение: мы не можем менять порядок чисел так, как нам это удобно. Проверяя правильность ответа простым повторением вычитания, появляется риск повторить  ту же ошибку – какой бы она ни была. Вместо этого можно проверить решение с помощью сложения.

Если сумма во втором примере не равна уменьшаемому первого, значит, где-то допущена ошибка. Естественно, заново пример переписывать не нужно. Разность и вычитаемое можно сложить, мысленно проводя сложение снизу вверх.

Устранение девяток также может работать при вычитании, хотя здесь оно не настолько полезно, как при сложении. Устранять девятки особенно полезно при сложении длинного ряда чисел, но при вычитании мы редко имеем дело больше, чем с двумя числами – уменьшаемым и вычитаемым.

Складывать снизу вверх при этом так же просто, как избавляться от девяток. Рассмотрим ещё раз наш пример с вычитанием:

_75 413       _ 2

    6 295          4

   69 118         7

В уменьшаемом выбрасываем  5 и 4, остается 7+1+3=11, а 1+1=2. В вычитаемом, исключив 9, мы имеем 6+2+5=13, а 1+3=4. В разности, отбросив 9 и 1+8, мы получаем 6+1=7. Итак, мы имеем пример 2– 4 = 7. Нужно сделать уменьшаемое больше, поэтому прибавим 9 к сумме цифр уменьшаемого, она станет 2+9=11. Теперь пример имеет вид 11 – 4 = 7, что конечно же верно.

С другой стороны, получив пример 2 – 4 = 7, следует вспомнить, что вычитание проверяется сложением. Следовательно, 7 + 4 = 11, а 1+1 = 2, значит вычитание, по всей вероятности выполнено правильно.

3 Умножение

В начальных классах обычно дети учат «таблицу умножения», где содержатся произведения всех однозначных чисел. Необходимо не задумываясь давать ответ на любое сочетание, начиная с 0 х 0 = 0 и до           9 х 9 = 81.

3.1 За пределы таблицы умножения

Самая простая часть таблицы умножения та, что включает в себя 0. Любое число, каким бы большим оно ни было, при умножении на 0 даёт 0.

А что, если одно из чисел содержит более одной цифры, которая не равна нулю? Например, 83 х 9. Есть ли способ упростить вычисления? Легче умножать числа, которые состоят только из одной цифры и нулей. Тогда 83 логично записать как 80 и 3. Число 3 – однозначное, а число 80 – это одна цифра плюс нуль. Чтобы умножить 80 + 3 на 9, мы сначала 80 х 9, потом 3 х 9, а потом складываем произведения. Это легко сделать в уме, но можно записать так:          

               80 + 3

                  х  9           .

                   720 + 27 = 747

Почему этот метод предпочтительнее школьного? Ответ таков: школьный метод работает справа налево. Это упрощает запись. Любое число не придётся менять в результате переноса числа, которое оказалось в уме (как и при сложении). Проблема в том, что мы представляем себе цифры слева направо, сколько бы мы ни работали с ними справа налево. И это вызывает проблемы.

 При методе «слева направо» мы обращаемся с цифрами в привычном нам порядке, слева направо. Считаем пример (80 + 3) х 9 = 720 + 27 = 747. С арифметической точки зрения это, может быть, и не легче, но с психической– определённо проще.

Кроме того, метод слева направо допускает применение не только сложения, но и вычитания. Например, при умножении 89 х 7 можно записать это как (80 + 9) х 7 = 560 + 63 = 623. Однако сложение в уме 560 и 63 может вызвать некоторое затруднение. Тогда можно рассмотреть 89 как 90 – 1, а не как 80 + 9. Теперь можно записать, что 89 х 7 = (90 – 1) х 7 = 630 – 7 = 623. Большинству людей будет проще вычислить 630 – 7, а не 560 + 63, и вычисления слева направо позволяют сделать необходимый переход от сложения к вычитанию.

Так же вычисляются 49 х 8 = (50 – 1) х 8 = 400 – 8 = 392. А 38 х 3 = (40 – 2) х 3 = 120 – 6 = 114.

Эту систему можно распространить и на числа, которые содержат более двух цифр. Пример 546 х 6 можно записать как         (500 + 40 + 6) х 6 =  3 000 + 240 + 36 = 3 276. Или 329 х 5 = (300 + 20 + 9) х 5 =                           1500 + 100 +45 =1 645.

Если попробовать применить этот метод к более крупным числам, то многим будет трудно держать в уме все промежуточные произведения, чтобы их сложить. Потренировавшись, этому можно научиться. Но можно и записать промежуточные произведения. Так при умножении 7 625 х 7 разобьем 7 625 на 7 000 + 600 + 20 + 5 и умножим каждую часть на 7. Запишем промежуточные произведения только как

49 000

  4 200

     140

       35

53 375

Это всё равно может оказаться быстрее обычного способа, которому учат в школе.

3.2  Превращение множителя в сумму

А как быть, если оба множителя содержат по две и более цифр, отличных от нуля

Есть способ, который хоть и нельзя применить ко всем без исключения числам, но подойдёт хотя бы в некоторых случаях.

Надо вспомнить, что после умножения на 0 самым простым случаем является умножение на 1. Любое число, умноженное на 1, остаётся самим собой. Это значит, что 45 х 1 = 45, и, помня правило нулей, 45 х 10 = 450,     45 х 100 = 4 500 и так далее.

Мы можем разложить множитель на сумму двух и более чисел, каждое из которых содержит только 1 плюс один или несколько нулей. Например, если умножаем какое-то число на 11, то можем представить 11 как 10 + 1. Затем умножаем число сначала на 10, потом на 1, так что второе число раскладывать вообще не нужно. Например, 53 х 11 = 53 х (10 + 1 ) = 530 + 53 = 583. Пришлось складывать всего два числа, а не четыре. Более того, два множителя очень похожи – разница только в нуле, что ещё упрощает задачу.

 Такой же способ работает и для более крупных чисел, так что         433 х 11 = 4 330 + 433 = 4 763. С более крупными числами может понадобиться листок бумаги, чтобы записать промежуточные произведения.

Иногда для умножения двузначного числа на 11 используют следующее правило: между первой и второй цифрой двузначного числа записывают сумму этих цифр. Например, надо 36 х 11, тогда 3 + 6 = 9, ставим эту сумму между 3 и 6, получается 396. Только это правило подходит для таких пар цифр, сумма которых не больше 9. Если 75 х 11, то сумма 7 и 5 равна 12. В этом случае можно ошибиться и написать 7125, это будет неправильно. Лучше 75 х (10 + 1), то есть 750 + 75 = 825.

Этот принцип  будет работать и для 101, или 1 001, или10 001. Ведь 101 можно разложить на 100 + 1. Тогда 54 х 101 превращается в                    54 х 100 + 54 х 1, то есть 5 400 + 54 = 5 454. Аналогично умножаются числа на 1 001, 10 001 и так далее. Ну а если 53 надо умножить на 111, тогда разложим 111 на сумму 100 + 10 + 1. Получим 5 300 + 530 + 53 = 5 883.

Там, где в числе только 1 и 0, школьный способ умножения  тоже не слишком сложен и превращение множителя в сумму не сэкономит много времени. Однако, если вы поняли сам принцип, то сможете воспользоваться им для чисел, которые не содержат ни 1, ни 0 – только при этом надо будет пользоваться не сложением, а вычитанием.

3.3 Замена множителя на разность

Например, надо умножить 4 567 на 9. Посмотрим на 9 как на 10 – 1 . Следовательно, 4 567 х (10 – 1) = 45 670 – 4 567 = 4 1103. Возможно, для вычитания придется использовать листок и ручку, но всё равно это будет быстрее, чем умножение. Ведь достаточно просто добавить к числу нуль, а потом вычесть первоначальное число. Таким образом, 46 376 х 9 =        463 760 – 46 376 = 417 384.

Этот способ замены множителя на разность, а не на сумму ещё удобнее, если множитель – это 99. Когда вы пытаетесь умножить 67 на 99 и хотите избежать долгого умножения, лучший способ – это превратить 99 в 100 – 1. Тогда 67 х (100 – 1) даёт нам 6 700 – 67 , то есть 6 633.

Важно понять, что не существует твёрдых правил решения арифметических примеров. Обычно правильный ответ можно получить различными способами.

Замена множителя на сумму или разность, включающую 1, может оказаться полезной даже для таких чисел, которые достаточно сильно отличаются от простых чисел 10, 100 или 1 000.Например, если нужно          34 х 61, то видно, что 61 = 60 + 1. Достаточно 34 х 6 и добавить нуль, тогда 34 х 60 = 2 040. Теперь к этому результату прибавим 34 х 1 и получим     2 040 + 34 = 2 0 74. Так же без труда можно 34 х 59 (даже в уме), если рассмотреть 59 как 60 – 1. Следовательно, 34 х (60 – 1) = 2 040 – 34 = 2 006.

3.4 Удвоение

После умножения на 1 и 0 самым лёгким будет умножение на 2 (удваивание числа). Почти все первые примеры на сложение, которые запоминают дети, - это удваивания: два плюс два – четыре, три плюс три – шесть. В результате этой ранней подготовки мы можем легко удвоить даже большое число – и даже тогда, когда  для этого нужен перенос «в уме». Большинство людей могут легко сказать, что 36 х 2 = 72, а 48 х 2 = 96 или даже 274 х 2 = 548.

Умножение на 2 (или удвоение) настолько легче умножения на любое число большее 2, что следует пользоваться им всегда, когда это возможно. Рассмотрим  число 16 как множитель. Если мы представим его как сумму 10 + 6 или разность 20 – 4, то придётся умножать на 10 или 20 (это легко), да ещё на 6 или 4, что сложнее.

Но обязательно ли записывать множители только как суммы или разности? Нельзя ли представить их как произведение? Например, 12 – это не только 10 + 2, но и 4 х 3. Так 34 х 12 превращается в 34 х 4 х 3. Сначала 34 х 4 = 136, затем 136 х 3 = 408.

Вернёмся снова к числу 16 и представим его как 2 х 2 х 2 х 2? В этом случае, умножая число на 16, мы удваиваем это число четыре раза подряд. Удвоение – это настолько простая операция, что четыре удвоения могут занять меньше времени, чем одно умножение на 16.  Например, мы хотим решить пример 23 х 16. Надо удвоить 23 до 46, снова удвоить до 92, удвоить в третий раз до 184 и четвёртый раз удвоить до 368.

Можно без труда удвоить368 до 736 и получить ответ для примера 23 х 32 (поскольку 32 – это 16 х 2). Ещё одно удвоение даст нам  1 472, что является ответом для примера 23 х 64, а следующее удвоение  даёт 2 944, что получается при вычислении 23 х 128.

Мы можем обобщить так:

одно удвоение – это умножение на  2;

два удвоения – это умножение на 4;

три удвоения – это умножение на 8;

четыре удвоения – это умножение на 16;

пять удвоений – это умножение на 32;

шесть удвоений – это умножение на 64;

семь удвоений – это умножение на 128.

Можно продолжать этот список и дальше, однако самыми полезными множителями бывают маленькие числа.

Не обязательно работать с числом 2, помноженным само на себя. Мы можем удвоить любой ответ, полученный за счёт умножения другими способами. Давайте умножим 34 х 12 , заменив 12 не на 3 х 4, а на 2 х 2 х 3. Однако, когда мы умножаем  число на ряд множителей, удобнее сначала воспользоваться наибольшим, так как по мере умножения число становится всё больше.

Если мы 34 х 2 х 2 х 3, то мы дважды удвоим 34, сначала до 68, потом до 136, а затем придётся 136 х 3.

Если же запишем пример как 34 х 3 х 2 х 2, то на 3 придётся умножить только 34, что гораздо проще. Так 34 х 3 = 102, и путём удвоения получаем сначала 204, потом 408. Думаю, что решить пример 34 х 12, рассматривая его как 34 х 3 х 2 х 2, почти так же легко, как 34 х (10 + 2).

Возьмём 13 х 28. Можно представить 28 как 7 х 2 х 2 (самый большой множитель помещаем первым). Следовательно, 13 х 28 = 13 х 7 х 2 х 2. Возможно, вы видите, что 13 х 7 =  (10 + 3) х 7 = 70 + 21 = 91. Тогда              13 х 7 х 2 х 2 = 91 х 2 х 2. Теперь нужно дважды удвоить 91, сначала до 182, а затем до 364. Окончательный ответ: 13 х 28 = 364.

Но не следует использовать только эту тактику.  Не всегда проще записывать множитель как произведение целого ряда маленьких чисел. Предположим, надо решить пример 35 х 24. Мы можем записать его как      35 х 3 х 2 х 2 х 2. Но можно рассмотреть 24 как 12 х 2. Это значит, что 35 х 24 = 35 х 12 х 2. Сразу понятно, что 35 х 12 = 35 х (10 + 2) = 350 + 70 = 420. Теперь достаточно удвоить всего один раз, чтобы получить 840.

Ещё один вариант решения возникает, если нам нужно 71 х 22. Не обязательно рассматривать 22 как 11 х 2. Хотя легко 71 х 11, получим 781, который нужно удвоить. Удвоение этого числа даст нам  1 562.

С другой стороны можно было решить этот пример как                      71 х (20 + 2) = 1 420 + 142 = 1 562.

3.5  Проверка умножения

Поскольку умножение – это вид сложения, то методы проверки, подходящие для сложения, подходят и для умножения.

Например, если мы выполняем сложение ряда чисел сверху вниз, то мы легко можем проверить ответ, проведя вычисление снизу вверх.. Это можно проделать и при умножении. То есть нужно повторить вычисления, поменяв множители местами. Если ответы совпадают, можно с достаточной уверенностью считать, что ошибки нет (Приложение А).

При  проверке умножения гораздо полезнее, чем  при проверке сложения, использовать метод исключения девяток. Участвуют в проверке только множители и произведение, так что промежуточные произведения не нужны.  Запишем первый пример так:

_Х 75 812        5    

                  2 749        4

 208 387 188        0

  В первом множителе, 75 812, исключаем 7 + 2 и 8 + 1, остаётся только 5. Во втором  множителе 2 749, можно исключить 2 + 7 и 9, остаётся 4. В произведении 208 387 188 исключаем 1 + 8 и 2 + 7, что даёт нам 8 + 3 + 8 + 8 = 27,  а 2 + 7 даёт нам 0.

Здесь суммами цифр надо оперировать как при умножении, так что    5 х 4 = 20, но 2 и 0 надо сложить, что даёт нам 2. Следовательно,  5 х 4 = 2, то есть не равно нулю, как получилось в примере. Значит, допущена ошибка.

Теперь проверим второе решение.

2 749        4

             ^Х 75 812        5 

  208 407 188        2

Числа 2 749 и 75 812 имеют суммы цифр 4 и 5 соответственно, как в первом случае. Новое произведение, 208 407 188, можно упростить, исключив 2 +7 и 1 +8, теперь складываем цифры 8 + 4 + 8 = 20, а 2 + 0 =2. Получается проверка 4 х 5 = 20, а 2 + 0 = 2. Операция с суммами цифр правильная, так что и ответ, по всей вероятности, верен.

4  Деление

4.1  Трудности деления

Как вычитание обратно сложению, так и деление обратно умножению. Зная, что 3 х 5 = 15, можно это перевернуть, заменив знак умножения на деление и сказать, что 15 : 3 = 5 или 15 : 5 = 3. Первое число при делении – это делимое, второе число – делитель, а результат – частное.

Умножение имеет некоторые общие черты со сложением. Так же и деление имеет черты  вычитания. При сложении и умножении не имеет значения, в каком порядке вы складываете или умножаете числа:                     a + b = b + a,   ab = ba. А вот при вычитании и делении порядок чисел важен: a – b не равно b – a  и a : b  не равно b : a.

Когда имеешь дело с делением, то обязательно появятся дроби. Даже если делитель не больше делимого, от дробей никуда не деться. Например: 16 : 5 = 3 ¹/_5. Деление очень редко бывает без остатка, то есть даёт частное, которое является целым числом.

Не существует числа, большего 1, которое делит все числа без остатка. Самым близким является число 2,  на которое можно разделить без остатка половину всех чисел, которые вы только можете записать. На число 3 можно разделить без остатка лишь каждое третье число, на 4 – одно из каждых четырёх, на число 5 – только одно из каждых пяти и так далее. Чем больше  делитель, тем меньше чисел, которые делятся ровно, тем больше вероятность того, что придётся столкнуться с дробями.

Именно поэтому дроби приходится изучать уже в начальной школе.

У многих людей сохраняется опасение, что неожиданно появится какая-то дробь, - и всегда чувствуется облегчение, когда деление не даёт остатка и никаких дробей не появляется.

Вот почему при делении очень удобно, когда без особых хлопот можно заранее сказать, можно будет провести деление без остатка или нет. С арифметической точки зрения это мало что меняет, однако с психологической это даёт немало. Значит, нам нужна некая проверка на «делимость», где в качестве делителя выступают определённые числа.

4.2  Некоторые делимости

4.2.1 Делимость на 2, 5 и 10

Деление на 1 – не проблема, так число не меняется, так же ,как и при умножении на 1.Другими словами – все числа делятся на 1.

Первые проблемы возникают с 2. Если мы составим таблицу умножения на 2 всех чисел, то полученные произведения – это и есть числа, которые будут делится на 2. Однако если мы посмотрим на эти произведения, то увидим ряд чисел, который начинается с 0 и увеличивается на 2, потом ещё на 2 и так далее (Приложение Б).

Сколько бы мы ни продолжали, мы можем заметить, что все числа, делимые на 2, оканчиваются либо на 0, либо на 2, 4, 6, 8. Эти числа называются чётными и делятся на 2 без остатка.

1, 3, 5, 7, 9 – нечётные числа. Не будет чётным и любое число, которое заканчивается на одну из этих цифр. Все нечётные числа не делятся на 2.

Чтобы решить, какие числа делятся на 3, или на 5, или на 18, мы начинаем с 0 и записываем числа с интервалом в 3, 5 или 18 соответственно, и проверяем, нельзя ли найти какую-то общую закономерность.

Возьмем, к примеру, 10. Если мы начнём с 0 и будем отсчитывать по десятку, то получим  0, 10, 20, 30, 40, 50, 60 и так далее. Каждый элемент последовательности заканчивается на 0, и  ни одно такое число не пропускается. Следовательно, можно утверждать, что любое число, оканчивающееся на 0, делится на 10. Это верно, так как, начав  с 0 и отсчитывая по 10, мы ни разу не получили такого числа, которое не оканчивалось бы на 0.

Возьмём цифру 5. Отсчитывая пятёрками, мы получаем 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 и так далее. Каждое число оканчивается либо на 5, либо на 0, и ни одно такое число не пропускается. Следовательно, любое число, оканчивающееся на 5 или на 0, делится на 5.

Это значит, что любое число, оканчивающееся на 0 (или 00, или 000 и т. д.), делится на 5, а не только на 10 и на 2.

4.2.2  Делимость на 4 и 8

Правила делимости на 2, 5 и 10 имеют нечто общее: достаточно только посмотреть на последнюю цифру числа.

Для других чисел правила получаются не такими простыми.

Рассмотрим, например, делимость на 4 (Приложение В).  Нужно просто провести деление на 4 двух последних цифр числа, каким бы большим это число ни было. Например, 999 999 924. Так как 24 делится на 4, то и всё число будет делиться на 4.

Возможно, вам иногда будет трудно делить на 4. Если взять число      1 576 и определить, делимо ли оно на 4, то нужно 76 разделить на 4. Возможно, эта проверка покажется недостаточно быстрой и лёгкой. Но если это число сначала разделить на 2, а результат ещё раз разделить на 2, то это равносильно тому, как если бы исходное число было разделено на 4.

Значит, чтобы узнать, делится ли некое число на 4, достаточно проверить, делится ли оно на 2 дважды. На 2 делить гораздо проще, так как мы с делением на 2 (как и умножением на 2) сталкиваемся гораздо чаще, чем с другими видами деления.

Вернёмся к числу 1 576. Это чётное число, так что оно может поделиться на 4. Разделим 76 на 2, получим 38, а потом разделим ещё раз на 2 и получим 19. Мы смогли число разделить на 2 дважды, значит, 76 делится на 4. Хотя даже не обязательно было делить дважды на 2, так как первое деление дало нам чётное число, и мы автоматически знаем, что это частное также разделится на 2. И наоборот, если первое деление дало бы нам нечётное число, то его невозможно было бы ещё раз разделить на 2. Следовательно, первоначальное число не делится на 4. Так число 14 154 оканчивается цифрами 54. При делении на 2 получается 27, нечётное число. Следовательно 14 154 на 4 не делится.

Рассмотрим  в качестве делителя число 8 (Приложение Г). Если последние три цифры делится на 8, тогда и  всё число делится на 8.

 Поскольку 8 = 2 х 2 х 2 , то можно проверить делимость на 8 тремя делениями на 2. Сразу отметим, что никакое нечётное число нельзя разделить на чётное. Возьмём 21 918. Это четное число, так что оно, возможно, делится на 8. Разделим последние три цифры 918 на 2, получим 459 – нечётное число. Дальше проверять нет смысла. А если возможно тройное деление, значит число делится на 8. Тройное деление можно сократить. Тогда придётся делить на 4, и, если это деление даёт чётное число, то оно разделиться на 2. Значит, исходное число делится на 8. Рассмотрим число 555 111 844. Делится ли оно на 8? Разделим последние три цифры на 4, получим 211 – нечётное число. Вывод: 555 111 844 на 8 не делится. Если бы взяли 555 111 848, то  848 : 4 = 212, чётное число, оно разделится ещё на 2. Так что первоначальное число будет делиться на 8.

 Любое число, делимое на 4, автоматически делится на 2. Рассуждая так же, любое число, делимое на 8, также делится на 4 и 2.

4.2.3  Делимость на  3, 6 и 9

Когда рассматриваем 3 как делитель, то сталкиваемся с совершенно иной ситуацией (Приложение Д).

Любое число, сумма цифр которого составляет 0, 3 или 6, делится на 3. Возьмём число 562 789 002, исключим  7 + 2 и 9, остаётся   5 + 6 + 8 + 2 = 21, а 2 + 1 = 3. Следовательно, это число делится на 3. Тут возникает интересный момент: на сумму цифр числа не влияет то, в каком порядке расположены цифры в числе, и то, какое количество нулей в него включено. Сумма цифр числа 8 997 составляет 6, значит, само число делится на 3. Тогда другие числа с любым сочетанием этих цифр (9 978, 7 998, 708 909  и т.д.)  также делятся на 3. Если 15 делится на 3, то 51 тоже делится, так же как 105 и 501.

С делимости на 3 легко перейти к делимости на 6. Если сумма цифр числа равна 0, 3 или 6 и это число чётное, то оно делится на 6 (и, конечно, на 3 тоже). И наоборот, если сумма цифр равна 0, 3 или 6, но само число нечётное, то  оно делится на 3, но не делится на 6. Например, число 5 241 имеет сумму цифр 3 и является нечётным, то оно делится на 3, но не на 6. А другое число 7 302 – чётное и  имеет сумму цифр 3, значит оно делится на 6 и на 3.

А как насчёт 9?

Оказывается, что сумма цифр всегда равна 0. Значит, любое число с суммой цифр 0 делится на 9 и любое число с суммой цифр, не равной 0, не делится на 9. Причём делимость на 9 не зависит от порядка расположения цифр в числе, поскольку это не влияет на сумму цифр (как в случае с делимостью на 3). Если вы знаете, что 18 делится на 9, значит 81, 8 010, 8 001 тоже делятся на 9.

Это правило не выполняется при делимости на 6, так как зависит ещё и от чётности. Так 36 имеет сумму цифр 0 и является чётным, то оно делится на 6. Но если переставить цифры, получив 63, то сумма цифр по-прежнему будет 0, но число станет нечётным, так что 63 на 6 не делится.

 При определении делимости на 2, 4, 5 или 8 порядок цифр в числе имеет большое значение. Так 16 делится на 8, на 4 и на 2, а 61 не делится ни на одно из этих чисел.

4.2.4  Другие делимости

У нас есть правила делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 и 10. Деление на 0 не допускается, а деление на 1 не имеет никакого смысла. К сожалению, нет хорошего правила определения делимости на 7.

Существуют способы лёгкого определения делимости на некоторые числа больше 10. Сколько чисел делятся не только на себя и на 1? Так, у 10 множители 2 и 5, у 12 – 2, 3, 4 и 6, у 60 множителями будут 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 и 30. Числа, для которых такие множители существуют, называются составными.

Однако существуют и такие числа, которые делятся только на 1 и на себя. Это простые числа. Среди простых чисел есть несколько маленьких чисел: 2, 3, 5 и 7, а также 11, 13, 17, 19. Простые есть и среди больших чисел: 61 вообще без множителей ( не считая его самого и 1). Простым будет число 5 237. Существуют и числа намного большие, чем 5 237, - числа, включающие в себя тысячи цифр, - про которые известно, что они простые.

Проверять делимость на простое число труднее, чем на сложное. Для любого простого числа больше 10 простого правила делимости ожидать не приходится. Следует забыть о правилах быстрой проверки  делимости на 11, 13, 17 или 19.

Возьмём 12. Это не простое число, поскольку его можно записать двумя способами: 12 = 4 х 4 и 12 = 6 х 2. Любое число, которое делится на 12, делится сначала на 4, а затем на 3 или сначала на 6, а потом на 2. Следовательно, чтобы проверить делимость на 12, мы можем разделить на 6 и посмотреть, является ли частное чётным числом (так как чётное число можно разделить на 2). И можно поделить его на 2, а затем проверить делимость на 6. Но любое число, делимое на 6, автоматически делится на 2, так как 6 само делится на 2. В любом случае придется проводить деление  на 6, а потом полученный результат проверять на делимость на 2.

Рассмотрим 12 = 4 х 3. Число 3 не делится на 4, а 4 не делится на 3. Если число можно разделить на 3 и на 4, то оно должно делиться и на 3 х 4, то есть на 12.

Например, число 312 имеет сумму цифр 6, так что оно делимо на 3. Его две последние цифры, 12, делимы на 4, так что всё число делимо на 12.

Аналогично, 15 = 5 х 3. Если число оканчивается на 0 или 5 (признак делимости на 5) и при этом имеет сумму цифр 0, 3 или6 (значит делимо на 3), то число делится и на 15. Можно легко определить, что 540, 450 и 405 делимы на 15, а 504, 305 и 100 – нет.

Число 18 представим как 6 х 3. Но 6 делится на 3, значит обязательно придётся проводить деление. А вот если взять 9 х 2, то оба эти числа друг на друга не делятся. Следовательно, если число чётное ( то есть делится на 2) и имеет сумму цифр 0 (значит делимо на 9), то это число делится на 18.

Что до 14, то его можно представить как 7 х 2, и оба эти числа друг на друга не делятся. Но простого правила делимости на 7 не существует, то нет его и для делимости на 14.

Число 16 можно представить как 4 х 4 или 8 х 2. Придётся провести какую-то часть деления, так как 4 делимо на 4, а 8 делимо на 2. Лучше всего взять последние четыре цифры числа и просмотреть, можно ли разделить их на 4 так, чтобы частное тоже было делимо на 4. А можно разделить эти цифры на 8, чтобы получилось чётное частное. Но этот метод не стоит относить к числу быстрых и лёгких.

Значит, мы получили достаточно простые правила проверки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15 и 18.

4.3 Деление с остатком

Иногда легко превратить деление, в котором получается остаток, в такое, где остатка не будет. Это можно проиллюстрировать таким примером. Если надо 39 : 2, превратите 39 в 38, а 38 : 2 = 19. Следовательно, 39 : 2 = 19 и остаток 1. Таким же образом можно уменьшить число настолько, чтобы превратить последнюю цифру в 5 или 0, чтобы обеспечить делимость на 5. Так, 48 – 3 = 45, а 45 : 5 = 9, значит 48 : 5 = 9 с остатком 3.

Как работать с более крупными числами? Надо вычислить сумму его цифр, превратить его в меньшее число, делимое на 9. Возьмём 5 712, сумма цифр которого равна 6 (а должна быть 0). Вычтем 6 из 5 712 и получим 5 706, которое делимо на 9. Остаток 6 был вычтен до начала деления.

Чтобы обеспечить делимость на 3, нужно вычесть такое число, чтобы превратить сумму цифр в 0, 3 или 6 (то, которое ближе). Так, число 73 411 имеет сумму цифр 7. Достаточно вычесть 1, чтобы получить сумму цифр 6, получим число 73 410, которое делимо на 3.

Для  делимости на 6 появляется ещё одна сложность. Число 12 304 имеет сумму цифр 1. Если мы вычтем 1, превратив его в 12 303, сумма цифр становится 0, что является одним из условий делимости на 6. Однако число нечётное, так что надо вычесть столько, чтобы довести его до следующей подходящей суммы цифр. Если вычтем 4 из 12 304, то получим 12 300, сумма цифр будет 6, а само число – чётное. Следовательно, 12 300 делимо на 6, а остаток будет 4.

Делимость на 4 требует похожего подхода. Если число нечётное, вычтем 1 и проверим последние две цифры на кратность 4. Если число на 4 не делится, надо вычесть не 1, а 3, получив следующее чётное число меньшей величины.

4.4 Переписывание деления

Существует школьный способ деления, когда мы считаем медленно, но уверенно (и точно) и который связан с переносом. Нет ли такого метода, с помощью которого делимое можно было бы превращать в число или группу чисел, для которой не понадобится переноса.

Запишем 897 как 900 – 3. И 900, и 3 легко делятся на 3. Чтобы разделить 900 – 3 на 3, достаточно 900 : 3 - 3 : 3 = 300 – 1 = 299. Ответ получается моментально.

Точно так же, при делении 756 на 4, можно записать 756 как 800 – 44. Тогда (800 – 44) : 4 = 800 : 4 – 44 : 4 = 200 – 11 = 189. Или надо 2 376 : 4, можно записать 2 400 – 24. Тогда получим (2 400 – 24) : 8 = 300 – 3 = 297.

Можно использовать не только вычитание, но и сложение. Если мы хотим решить пример 135 : 3, то запишем 135 как 120 + 15 и разделим на 3 каждую часть. Это выглядит так: (120 + 15) : 3 = 40 + 5 = 45. Или                 285 : 5 попробовать решить как  (250 + 35) : 5 = 50 + 7 = 57. Можно было 285 записать как 300 – 15. Тогда (300 – 15) : 5 = 60 – 3 = 57.

Эта система работает и с большими числами. Чтобы разделить176 968 на 8, возможно, мы запишем 176 968 как 160 000 + 16 000 + 800 + 168. Деля эту сумму на 8, мы получаем 20 000 + 2 000 + 100 + 21 = 22 121. Однако в этом случае число цифр, использованных  при решении, становится таким большим, что теряется много времени при работе с ними.

Но можно не ограничиваться записью делимого в виде суммы или разности. Например, при делении на 8 давайте вспомним, что 8 = 2 х 2 х 2. Значит, мы можем вычислить 176 968 : 8 как 176 968 : 2 : 2 : 2, так как делить на 2 проще, чем на любые другие числа. Тогда проведём деление таким способом:         2)  176 968

             2)     88 484

             2)     44 242

             2)     22 121

 Даже перенос при делении на 2 не так обременителен, так что, деля на 2, вы получите ответ быстрее и легче, чем, деля сразу на 8.

Для чисел меньшей величины тот же процесс при желании можно провести в уме. Например, пытаясь найти ответ на 192 : 8, можно попробовать делить 192 на 2 три раза, говоря про себя 96, 48, 24. Ответ получили намного быстрее.

4.5  Деление столбиком

Пока  мы рассматривали делители, состоявшие всего из одной цифры. Имея дело с однозначными делителями, можно обойтись и простым методом краткой записи деления. Например,  если бы мы делили 8 563 990 806 на 7, мы могли бы проделать это так:

Конечно, здесь присутствует перенос, и мы можем записывать переносимые цифры, делая их мелкими, чтобы не путать с цифрами делимого. Попрактиковавшись, можно научиться держать переносимые цифры в уме.

Однако, при делении на однозначное число мы всегда действуем в пределах таблицы деления, где мы знаем все ответы наизусть. Но как быть, если будем делить большое число на 18? Тогда мы выйдем за пределы таблицы деления. Рассмотрим 8 563 990 806 : 18.  Смотрим, сколько раз по 18 содержится в 85 и каким будет остаток. Это не так легко. Если умножим 18 на 2, то ответом будет 36, а если ещё на 2 – то ответом будет 72. Далее 85 – 72 = 13, это – остаток. Он даёт нам следующую цифру 136, так что следующая задача 136 : 18. Если мы не обладаем феноменальными способностями к счёту, то такое в уме проделать просто невозможно, так что решаем пример полностью на бумаге. Если мы считаем такое деление очень трудоёмким., нам следует искать способы превращения деления столбиком в более простое, которое можно записывать кратко.

Поскольку деление столбиком требуется для делителей, включающих для себя больше одной цифры, давайте работать над делителем. Мы знаем, что 18 = 9 х 2, следовательно, разделив число на 18, мы получим такой же ответ, как если бы делили на 9, а потом на 2 или сначала на 2, а потом на 9. Чем меньше делитель, тем легче проводить деление. Если разделить сначала на 2, а потом на 9, то наш пример примет вид:

        2)  8 563 990 806

        9)  4 281 995 403

                475 777 267

Вместо деления столбиком мы смогли провести два делении, которые можно записать кратко. Возможно, эти действия не были самыми лёгкими и требовали некоторой сосредоточенности, но заняли меньше времени. В данном примере деление на 9 было более трудным, чем деление на 2, и, несомненно, именно оно и могло замедлить нахождение ответа. Но ведь 9 = 3 х 3, так что вместо деления на 9 мы можем дважды делить на 3. Теперь работа будет выглядеть так:

2)  8 563 990 806

             3)  4 281 995 403

             3)  1 427 331 801

                     475 777 267

Если для вас деление на 9 не слишком сложное и отнимает меньше времени, чем два деления на 3, оставьте 9.

Если вы делите на 12, то можно делить сначала на 3, потом на 4, так как 12 = 3 Х 4, или на 3, а потом на 2 и ещё раз на 2, поскольку 12 = 3 х 2 х 2. Мы хотим 432 : 12, тогда 432 : 2 = 216, потом 216 : 2 = 108 и, наконец,        108 : 2 = 56.

Конечно, не все примеры, требующие деления столбиком, можно проделать настолько легко. Ведь существуют ещё простые числа: 13, 19,17 или 37. Мы не сможем разбить деление на этапы с однозначными числами.

И даже, если число можно разбить на множители, некоторые из этих множителей могут оказаться простыми числами, которые будут слишком велики, чтобы с ними легко было обращаться. Вам может понадобиться делить на 133. делитель можно выразить как 7 х 19, но 19 – простое число, и дальше его разложить не удастся. В таких случаях остаётся только приниматься за деление столбиком.

4.6 Проверка деления

При делении, как и при вычитании, проблема состоит в том, что порядок записи делимого и делителя поменять нельзя:  a : b не равно  b : a. Однако можно поменять ситуацию, переключившись на умножение. Если     a :b = c, тогда    c х b = a.

То есть, если мы вычислили, что 2 812 : 37 = 76, и хотим проверить ответ, то перевернём задачу и рассмотрим 76 х 37. Это должно нам дать произведение 2 812.  Если этого числа не получилось, то мы сделали ошибку либо во время деления, либо в проверочном умножении.

Если вы решали пример 984 : 8, разделив 984 на 2 три раза и получив 492, 246 и окончательный ответ 123, проверить можно тройным удвоением числа 123:  246, 492 и 984. Результат проверки равен исходному делимому.

Деление можно проверять и исключением девяток. Например,       99 934 : 58 = 1723. В делимом исключаем 9, 9, 9, и сумма цифр составляет 7. В делителе 5 + 8 = 13, а 1 + 3 = 4. В частном исключаем 7 + 2, и сумма цифр равна 1 + 3 = 4. Деление суммы цифр становится 7 : 4 = 4. На первый взгляд это кажется неправильным, но мы можем добавить 9 к любой сумме цифр, не изменив сути дела. Если мы прибавим 9 к 7, то деление примет вид 16 : 4 = 4. Скорее всего деление было выполнено без ошибок.

Или можем перевернуть пример и превратить деление суммы цифр в умножение суммы цифр. Если 7 : 4 = 4, тогда 4 х 4 = 7. В обычной арифметике 4 х 4 = 16, а 1 + 6 = 7, так что сумма цифр сходится.

А если деление дало остаток?. Рассмотрим случай                             5 556 : 17 = 326 (ост. 14). Отнимем 14 от делимого, чтобы оно делилось нацело. Делимое уменьшается с 5 556 до 5 542, и меньшее число делимо, поскольку 5 542 : 17 + 326.

Это второе деление можем проверить, исключая девятки. Суммы цифр дадут 7 : 8 = 2. Прибавив 9 к 7, получим 16 : 8 = 2, что правильно. Или перевернём задачу, тогда 2 х 6 = 16, а 1 + 6 = 7. Деление проверено.

Заключение

В заключение ещё раз сформулируем главную мысль. Когда проводим вычисления, надо пытаться видеть смысл всех операций, принадлежат ли они к медленным, но верным школьным методам или быстрым и кратким приёмам. Если мы будем их понимать, то сможем увидеть, какие именно быстрые и простые способы можно использовать в конкретном случае.

Попрактиковавшись, можно научиться  автоматически превращать сложные задачи в простые и  получать приблизительные ответы вместо точных.

 В результате вы не только будете экономить время и делать меньше ошибок: вы обнаружите, что получаете удовольствие от манипуляций с числами. Вы увидите, что цифры – ваши старые и верные друзья, которые существуют не для того, чтобы устраивать вам неприятности, а для того, чтобы вам помогать. Арифметика из работы превратится в удовольствие.

Используемая литература:

1. Азимов Айзек    Занимательная арифметика. От сложного к простому / Пер. с англ. Т.Л Черезовой. – М.: ЗАО Центрполиграф: ООО «Внешторгпресс», 2003.

2.Коликов А.Ф. Изобретательность в вычислениях  / А.Ф.коликов, А.В.Коликов. – М.: Дрофа, 2003.

Приложение

(рекомендуемое)

Приложение А

3.5  Проверка умножения

 Ответы не совпадают. В одном примере была допущена ошибка. А может оба примера решены неправильно.

Приложение Б

4.2.1 Делимость на 2, 5 и 10

Мы считаем парами. Числами, которые делятся на 2, оказываются

  0     2     4     6    8

10   12    14   16   18

20   22    24   26   28 и т.д.

Приложение В

1. Делимость на 4 и 8

Если начнём с 0 отсчитывать по 4, то получим:    

         0      4      8    12    16

                    20    24    28    32    36

       40    44    48    52    56  и  т.д.

Здесь все числа чётные, но некоторые чётные числа пропущены (ровно половина). Вы переходите от 0 к 4, пропуская 2, потом от 4 к 8, пропуская 6. Из этого можно сделать два вывода. Во-первых, если число  оканчивается на нечётную цифру, оно не делится на 4. Во-вторых, если число оканчивается на чётную цифру, оно может делиться на 4, а может и не делиться с вероятностью пятьдесят на пятьдесят.

Если мы продолжим отсчитывать дальше по 4, то дойдём до 100. После этого пойдут числа 104, 108, 112, 116, 120 и т.д. То есть последние две цифры повторяют первый ряд. Так мы дойдём до 200, откуда можно идти дальше, получая 204, 208, 212, 216 и т.д. Затем будут 300, 304, 308 и т.д., потом -  400 и т.д. Последние две цифры можно будет найти в первом наборе  чисел (от 0 до 100). Если вы этот набор не запомнили, то нужно просто провести деление на 4 двух последних цифр числа, каким бы большим это число ни было.

Приложение Г

1.  Делимость на 4 и 8

Начнём с 0 и будем отсчитывать по 8: 

  0     8     16     24     32

             40   48     56     64     72

             80   88     96   104   112   и  т.д.

 Мы не получили ровно 100, как при делении на 4. Между 100 и 200 последние две цифры отличаются от тех, которые получились между 0 и 100. У нас получаются 104, 112, 120, 128, 136 и т. д.

 Однако число 200 на 8 делится, и если продолжить ряд чисел дальше, то начнут повторяться те же числа, какие были в группе меньше 100 (208, 216, 224, 232 и т.д.). Затем 300 не попадёт в ряд, а 400 – попадёт, 500 – не  попадёт, а 600 – попадёт. Соответственно, 104 делится на 8, а 204 - не делится. Опять же 232, 432 – делится, а 132 и 332 - не делится.

 Если продолжить отсчитывать по 8, то ряд придёт к числу 1 000, которое делится на 8. После этого начнут повторяться цифры первого ряда, полученные от 0 до 1 000 ( 1 008, 1 016, …1 112…). Так мы дойдём до 2 000. Это означает, что последние три цифры любого числа, делимого на 8, повторяют ряд от 0 до 1000. Если эти последние три цифры делится на 8, тогда и  всё число делится на 8.

Приложение Д

4.2.3  Делимость на  3, 6 и 9

Начнём с 0 и будем вести отсчёт по три:

    0    3    6    9    12    15

  18   21  24  27   30    33

  36   39  42  45   48    51   и т.д.

Некоторые из чисел чётные, некоторые – нечётные. Причём они чередуются. К тому же в этом ряду числа заканчиваются на любую цифру от 0 до 9. Если продолжить этот список дальше, то увидим, что на конце встретятся числа, на конце которых будут любые сочетания двух цифр, любые сочетания трёх цифр и т.д. Проблема в том, что на 3 не делится ни 100, ни 1 00, ни 10 000, ни 100 000 – ни одно из чисел такого рода. Значит, ряд никогда не начнётся снова.

Однако попробуем поработать с суммой цифр для каждого числа из ряда, составленного путём счёта по три. Цифры 0, 3 и 6 имеют сумму, которая равна соответственно 0, 3 и 6. Потом идёт 9, и, если мы применим метод исключения девяток, то её сумма цифр равна 0.

Следующее число – 12 с суммой цифр 3, затем 15 с суммой цифр 6, потом 18 с суммой цифр 0. Если продолжить эту операцию дальше, записывая суммы цифр для каждого числа, то получим ряд 0, 3, 6, 0, 3, 6 и т.д., сколько бы ни трудились.

Приложение Е

4.2.3  Делимость на  3, 6 и 9

С делимости на 3 легко перейти к делимости на 6. Если начнём от 0 отсчитывать по 6, то получим:

   0     6      12      18     24

  30   36     42      48     54    и т.д.

Если сравнить этот список с тем, который мы делали, отсчитывая по 3, то увидим, что пропускаются все нечётные числа из этого списка  и берутся все четные. Это означает, что если сумма цифр числа равна 0, 3 или 6 и это число чётное, то оно делится на 6 (и, конечно, на 3 тоже). И наоборот, если сумма цифр равна 0, 3 или 6, но само число нечётное, то  оно делится на 3, но не делится на 6.

Приложение Ж

4.2.3  Делимость на  3, 6 и 9

Начнём с 0 отсчитывать по 9:

     0     9     18      27     36

   45    54    63      72     81   и т.д.

Опять используем сумму цифр, не забывая исключать девятки. Оказывается, что сумма цифр всегда равна 0. Значит, любое число с суммой цифр 0 делится на 9 и любое число с суммой цифр, не равной 0, не делится на 9.

Приложение И

4.5  Деление столбиком