Из опыта работы методического объединения учителей математики по теме: « Применение активных форм и методов обучения на уроках математики и во внеурочное время с использованием педагогических технологий»
Выберите действие:
Из опыта работы методического объединения учителей математики по теме:
« Применение активных форм и методов обучения на уроках математики и во внеурочное время с использованием педагогических технологий»
( материал на конкурс методических объединений)
Главная цель деятельности МО – повысить профессиональную компетентность каждого учителя. А чтобы достичь этой цели, необходимо расширять и углублять теоретическую и методическую подготовку каждого учителя. За многие годы работы методического объединения учителями математики был накоплен определенный опыт работы, который и представили учителя на конкурс методических объединений. Содержание нашего МО вытекает из ежегодного диагностирования учителей и включает в себя множество вопросов, связанных:
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->с проверкой качества знаний и умений учащихся.
Основными формами работы нашего МО являются:
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->участие в работе педагогических советов;
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->проведение мастер – классов;
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->проведение открытых уроков;
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->организация семинаров и круглых столов, посвященных самим разнообразным проблемам;
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->организация и проведение методических декадников и предметных недель;
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->организация, подготовка и проведение пробных экзаменов в выпускных классах.
При этом учителя математики используют различные методы работы: вербальные, поисковые, исследовательские, экспериментальные и другие.
Для обучения учащихся математике мы с своей работе применяем очень много форм и методов, жизнь нам диктует их ежедневно.
Известно, что обучение – это процесс взаимодействия учителя с учащимися при работе над определенным содержанием учебного материала с целью его усвоения и овладения способами познавательной деятельности. Чтобы осуществлять процесс, необходимо его организовать.
Каждая конкретная форма организации обучения складывается из определенных этапов. Например, урок формирования знаний имеет следующие этапы: постановка цели и актуализации знаний, введения новых знаний и первичного их усвоения учащимися, обобщения знаний и оперирования ими, контроля усвоения. Урок закрепления и совершенствования знаний складывается из этапов: постановки цели, проверки домашнего задания, воспроизведения учащимися ранее полученных знаний и способов деятельности в новых ситуациях, обобщения и систематизации знаний, контроля усвоения изученного и овладения способами деятельности. Последовательность этапов обусловлена целями и логикой процесса обучения.
На каждом этапе учитель использует соответствующие целям источники знаний, методы, приемы, средства обучения, а также формы учебной работы.
Главный источник знаний – учитель, обладающий определенной суммой научных знаний и способов деятельности. Но это может быть и учебник, учебное пособие, стенд и т.д..
Ведущая роль в конструировании форм организации обучения принадлежит учителю. Он подбирает оптимальное сочетание методов, средств обучения, стиль деятельности в соответствии с особенностями учащихся, целями обучения. Многое зависит от его профессионализма, личностных качеств, умения взаимодействовать с учащимися.
Процесс обучения в каждой конкретной форме его организации включает:
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->управление педагогом учебной деятельностью учащихся (определение целей, задач, планирование, организация их учебной работы, контроль за выполнением заданий, усвоением знаний);
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->познавательную деятельность учащихся, в ходе которой они усваивают определенные знания, способы деятельности, приобретают умения и навыки;
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->взаимодействие педагога и учащихся;
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->регулирование педагогом межличностных отношений учащихся;
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->создание учителем эмоционального фона, стимулирующего продуктивную учебную деятельность учащихся.
Основной формой организации обучения является урок. Учебный процесс в школе состоит из системы конкретных уроков. Одни уроки преследуют цель формирования знаний, другие – закрепления и совершенствования их, третьи – повторения и систематизации, четвертые – проверки усвоения знаний, сформированности умений и навыков и т.д.. В зависимости от целей все разнообразие уроков можно свести в несколько типов.
В зависимости от дидактических целей и звеньев процесса обучения, реализуемых на уроке, можно выделить 9 типов уроков: формирования знаний, закрепления и совершенствования знаний, формирования и совершенствования знаний, формирования умений и навыков, совершенствования знаний, умений и навыков, применения знаний на практике, повторения и систематизации знаний, проверки знаний, комбинированный урок.
В педагогической дидактике и в школьной практике применяются учителями математики разнообразные формы организации обучения: лекции, семинары, учебные конференции, экскурсии, учебно – практические, практические занятия, практикумы, зачеты, экзамены. Покажем применение учителями математики активных форм и методов обучения на уроках математики и во внеурочное время с использованием педагогических технологий.
1. Применение активных форм и методов подготовки учащихся к ЕГЭ по алгебре и началам анализа в 11 классе.
Тестирование как одна из форм подготовки к сдаче ЕГЭ
(из опыта работы учителя математики МОУ СОШ №3, Ивановой Л.Н.)
Качество усвоения учебного материала зависит от многих условий, среди которых важную роль играет контроль. Педагогический контроль направлен не только на определение степени соответствия приобретенных учащимися знаний и умений поставленной учебной цели, но и на управление познавательной деятельностью учащихся в целом.
Как известно, процесс контроля регламентируется рядом известных дидактических принципов: научности (надежности и валидности), эффективности, иерархической организации, объективности, систематичности, справедливости, всесторонности и т.д. [2], [4]. Соблюдение многих из вышеперечисленных принципов в современной российской школе можно поставить под сомнение.
Так, одним из требований, предъявляемых к контролю знаний, является требование содержательной валидности контроля. В контрольных заданиях должно быть отражено все основное содержание проверяемого раздела или темы. Существующая практика контроля с использованием традиционных методов это требование, как правило, не реализует. Во время проведения устного опроса учащиеся обычно получают 1 – 2 «случайных» вопроса, при письменном опросе – до 5. Учащиеся, в свою очередь, готовятся к урокам по принципу «повезет – не повезет». Поэтому зачастую невозможно составить целостную картину об усвоении учащимися пройденного учебного материала.
Требование надежности контроля заключается в обеспечении устойчивости последовательных результатов контроля одного и того же ученика. В связи с введением Единого Государственного Экзамена (ЕГЭ) проблема надежной оценки знаний приобрела особую остроту. К сожалению, не редки случаи, когда отметка, полученная учащимся за ЕГЭ, значительно отличается от той, которая год за годом выставлялась ему по данной дисциплине в школе, причем обычно не в лучшую сторону. В этом заключается одна из причин резко негативного отношения к ЕГЭ некоторых учителей и родителей. Результат итогового контроля знаний должен быть предсказуемым и являться разумным продолжением текущей оценки знаний учащихся. Очевидно, что без надежной текущей оценки знаний невозможно грамотное обоснованное управление процессом обучения на любом этапе.
Принципы объективности и справедливости контроля тесно связаны между собой. Проблема субъективности оценивания учителем знаний учащихся не утрачивает актуальности уже в течение многих десятилетий и до сих пор не получила своего разрешения. Согласно известному исследованию Р. Розенталя и Л. Якобсона «Пигмалион в классе» (1969) учитель воспринимает детей соответственно своим ожиданиям, а потому неадекватно [10]. Учитель имеет установки относительно «хороших» или «плохих», по его мнению, учащихся и в соответствии с этим переоценивает или недооценивает уровень их подготовки и интеллектуального развития. В свою очередь, отношение учителя к ученикам зависит от многих факторов, в числе которых поведение учащихся на уроке, наличие у учащихся дефектов речи, физических недостатков, аккуратность, а также некоторые психологические характеристики учащихся (устойчивость внимания, память и т.д.). Таким образом, предметом оценивания зачастую становятся не усвоенные знания и умения, а особенности учащихся, которые должны являться предметом отдельного, в том числе психологического, измерения.
Однако одним из главных недостатков современной системы педагогического контроля, по мнению многих исследователей (В.П. Беспалько, И.А. Данилов, И.И. Баврин, Б.С. Гершунский, Ю.А. Первин, Л.П. Мартиросян), является то, что существующая традиционная организация педагогического контроля не отвечает требованиям времени, не учитывает достижений современных информационных технологий, не создает условий для улучшения качества обучения. Новые информационные технологии сегодня выступают не только как предмет изучения, но и как инструмент познания и передачи знаний, предоставляя возможность автоматизировать процедуру контроля, обработки работ учащихся и хранения информации, а также мотивировать учащихся на изучение предмета.
В отечественной педагогике не найдены ответы на следующие вопросы: Есть ли возможность повысить объективность педагогического контроля? Можно ли сократить время, затрачиваемое на проведение и обработку результатов контроля? Как повысить содержательную валидность контроля? Как учесть возможности современных информационных технологий в процессе контроля? Эти и другие проблемы требуют тщательного изучения для поиска путей их разрешения.
Для решения большинства из вышеперечисленных проблем в настоящее время предлагается использовать метод тестирования, который, по мнению некоторых педагогов, позволяет сделать процесс педагогического контроля более эффективным, а также ориентировать его на использование современных информационных технологий.
История возникновения и использования тестирования как диагностического метода уходит в глубь веков. Имеются сведения, что уже сIIIтысячелетия до н.э. в странах Древнего Востока (Египет, Вавилон, Индия, Китай) использовались системы конкурсных испытаний интеллектуального характера, предназначенные для отбора персонала на правительственные должности. Однако все эти методы исследования вряд ли можно назвать тестами в современном понимании этого термина.
В школьной практике тесты начали применяться Ф.Галтоном в 1892 году. В 1894 году впервые в школах появились тесты успешности (для проверки знаний, умений и навыков учащихся по отдельным учебным дисциплинам – первыми стали применяться тесты для проверки правописания). Американец В.А. Макколл разделил тесты на педагогические (EducationalTest) и психологические (IntelligenceTest). Макколл обосновал цель использования педагогических тестов – объединение в группы учащихся, усваивающих равный по объёму материал с одинаковой скоростью. Однако основоположником педагогических измерений считается американский психолог Э. Торндайк. Ему приписывают разработку первого педагогического теста. В 1904 году вышла его книга «Введение в теорию психологии и социальных измерений». В 1915–1930 годы в Америке социальные измерения нашли особо широкое распространение, и этот период характеризуется как настоящий бум в развитии тестологии.
Распространение психолого-педагогической диагностики в России связано с возникновением в 20-е годыXXвека новой науки – педологии, которую Л.С. Выготский определял как науку о целостном развитии ребенка. Проблемой разработки тестов вплотную занимались видные российские ученые: М.С. Бернштейн, П.П. Блонский, А.П. Блтунов, С.Г. Геллерштейн, Г.И. Залкинд, И.Н. Шпильрейн, А.М. Шуберт и др.
Начало 30-х годов прошлого века стало временем массового использования тестов и их неконтролируемого применения в народном образовании. Были допущены серьезные ошибки в практике их применения, что нанесло определенный ущерб школе (например, решения о переводе некоторых учащихся в классы для умственно отсталых детей принимались на основе коротких тестов без учёта других факторов, влияющих на результаты проверки), а поэтому и было справедливо подвергнуто критике.
Если посмотреть на существующую практику контроля и оценки знаний в зарубежных учебных заведениях, то можно выделить следующие взаимосвязанные тенденции:
Явный приоритет письменной формы контроля знаний перед устной.
Суммирование результатов текущего контроля и экзаменационного в итоговой оценке. Если ученик знает, что баллы, полученные им в течение года, составят 50% итоговой оценки, то это стимулирует его к систематической работе в течение года и повторению материала в конце года.
Использование индивидуального рейтинга как основного показателя успехов в обучении. Рейтинговая система контроля обучения рождает состязательность в учебе, положительно влияет на мотивацию учащихся и т.п.
Использование компьютерного тестирования как вспомогательного средства, освобождающего экзаменатора от рутинной части его работы.
Использование многобальных шкал оценивания наряду с сохранением классической
5-балльной шкалы в качестве основы. В России учителя, пользуясь фактически трехбалльной шкалой, лишены этой возможности, поэтому вынуждены дополнять отметку «плюсом» или «минусом» [4].
Несмотря на все очевидные достоинства данного метода контроля, перспектива его использования в школах России оценивается неоднозначно.
Тестирование не должно заменить традиционные методы педагогического контроля, но должно таким образом вписаться в существующую систему педагогического контроля, чтобы оптимально ее дополнить и преодолеть существующие проблемы. Кроме того, помимо тестовых заданий на выбор правильного ответа из числа предложенных, существуют и другие виды тестовых заданий, требующие от учащихся значительно более тщательной подготовки и осмысления материала.
Проблемы оценки качества обучения с помощью тестов всегда рассматривалась как важная и, одновременно, «опасная». «Опасность» педагогического тестирования заключается в том, что любая необоснованность, неосторожность или поспешность в выводах может привести к случайным заключениям, поспешным рекомендациям и сомнительным педагогическим последствиям. Один из источников «педагогической опасности» заключается в том, что в условиях тестирования один объект измерения нередко подменяется другим.
Одним из недостатков тестового метода контроля знаний является возможность угадывания, а также то, что учащийся представляет только номера ответов, учитель не видит характера хода решения, глубину знаний (мыслительная деятельность учащегося и результат может быть только вероятностным, нет гарантии наличия прочных знаний у учащегося). Этот недостаток характерен для тестов, состоящих из заданий на выбор правильного ответа из числа предложенных.
Кроме того, составление тестов зачастую базируется на элементарной психической функции – узнавании, которая проще функции воспроизведения; некоторые исследователи считают, что при выборочных ответах учащийся привыкает работать с готовыми формулировками и оказывается не в состоянии излагать получаемые знания грамотным языком.
Возможно возникновение и других трудностей. Так, например, довольно часто встречается значительный субъективизм в формировании содержания самих тестов, в отборе и формулировке тестовых вопросов, многое также зависит от конкретной тестовой системы, от того, сколько времени отводится на контроль знаний, от структуры включенных в тестовое задание вопросов и т.д.
Гулидов И.Н. выделяет такие проблемы реализации тестовой формы контроля в российской школе, как необходимость разработки учебников, ориентированных на тестовую форму контроля знаний; значительные затраты времени на первичную подготовку качественных контрольно-измерительных материалов (КИМов); необходимость преодоления сопротивления и комплекса предубеждений приверженцев старых методов педагогических измерений; а также малое количество специалистов по тестированию в системе образования [5].
Но несмотря на указанные недостатки тестирования как метода педагогического контроля, его положительные качества во многом говорят о целесообразности использования такой технологии в учебных заведениях.
Тестирование обладает следующими преимуществами перед другими методами педагогического контроля:
-повышение скорости проверки качества усвоения знаний и умений учащимися;
-осуществление хотя и поверхностного, но полного охвата всего учебного материала;
-снижение воздействия негативного влияния на результаты тестирования таких факторов как настроение, уровень квалификации и др. характеристики конкретного учителя, т.е. минимизация субъективного фактора при оценивании ответов;
-высокая объективность и, как следствие, большее позитивное стимулирующее воздействие на познавательную деятельность учащегося;
-ориентированность на современные технические средства, на использование в среде компьютерных обучающих и контролирующих систем;
-возможность математико-статистической обработки результатов контроля, и как следствие, повышение объективности педагогического контроля;
-осуществление принципа индивидуализации и дифференциации обучения благодаря использованию адаптивных тестов;
-возможность увеличить частоту и регулярность контроля за счет уменьшения времени выполнения заданий и автоматизации проверки;
- облегчение процесса интеграции системы образования страны в европейскую.
Рассматривая тестирование как метод педагогического контроля, целесообразно остановиться на понятиях «тест», «тестовое задание», которые нередко отождествляются, хотя являются совершенно разными видами педагогической продукции. Тест всегда состоит из тестовых заданий, однако не каждый набор тестовых заданий является тестом.
Различия в понимании сущности тестов порождают различия в отношении к тестам. Зачастую мы сталкиваемся со стереотипным определением «теста» как задания на выбор правильного ответа из числа предложенных. Однако, как уже было отмечено, виды тестов отнюдь не ограничиваются данным видом тестовых заданий. Тестовые задания должны образовывать систему. Кроме того, тест обязательно должен пройти апробацию и стандартизацию (строгое определение условий процедур тестирования, обработки и анализа результатов, выработку нормативов, проверку на надежность и валидность).
Можно дать следующее определение: тест – система заданий специфической формы, применяемая в сочетании с определенной методикой измерения и оценки результата.
Тестовое задание – это диагностическое задание в виде задачи или вопроса с четкой инструкцией к выполнению и обязательно с эталоном ответа или алгоритмом требуемых действий.
Тесты можно классифицировать по следующим основаниям:
1. Предметная область применения тестов: монопредметные, полипредметные, интегративные.
Интегративным можно назвать тест, состоящий из таких заданий, правильные ответы на которые требуют интегрированных (взаимосвязанных, обобщенных) знаний двух или большего числа учебных дисциплин. Использование таких тестов в школе, как контролирующих, так и обучающих, - отличное средство реализации межпредметных связей в обучении.
2. Общая ориентация замысла построения теста: нормативно-ориентированные или критериально-ориентированные (предметно-ориентированные).
При нормативно-ориентированном подходе разрабатываются тесты для сравнения испытуемых по уровню учебных достижений.
Главным отличительным признаком предметно-ориентированного тестирования является интерпретация выполнения теста с точки зрения его смыслового содержания. Упор делается на строго определенную содержательную область (что тестируемые могут и что знают), а не на то, как они выглядят на фоне других.
3.Дидактико-психологическая ориентация теста: тест достижений для контроля знаний теории; тест достижений для контроля умений и навыков различной степени сложности по данному предмету, тест обучаемости (диагностики реальных учебных возможностей по данному кругу предметных или цикловых знаний – математической, лингвистической и т.п.).
4.Ориентация на определенный этап контроля: тесты предварительного контроля, тесты текущего контроля, тесты итогового контроля.
5. Доминирующая деятельность испытуемого при выполнении тестов – устные, письменные, компьютерные.
6. Количество объектов контроля: тесты, имеющие один объект контроля (например, количество выполняемых на должном уровне операций) или несколько (качество, количество, скорость, строгую последовательность, осознанность тех же операций).
7. Степень гомогенности тестовых заданий: тесты с однородными или разнородными формами построения заданий.
8. Скоростной фактор: скоростные (с обязательным фиксированием времени выполнения) и нескоростные.
9. Форма организации тестирования: массовые, индивидуальные, групповые [7].
Отдельно выделяют так называемые адаптивные тесты, основанные на принципе индивидуализации обучения. Каждый учитель понимает, что хорошему ученику нет смысла давать легкие и очень легкие задания, так же как нет смысла давать трудные задания слабому ученику. В теории педагогических измерений была найдена мера трудности заданий и мера уровня знаний, сопоставимые в одной шкале. После появления компьютеров эта мера легла в основу методики адаптивного контроля знаний, где трудность и число предъявляемых заданий регулируются в зависимости от ответов учеников.
Беспалько В.П. предлагает классификацию тестов [2], основанную на различных уровнях усвоения знаний, однако исходя из принятых выше определений понятий теста и тестового задания, данная классификация представляет собой скорее классификацию тестовых заданий.
Тесты 1 уровня – выполнение деятельности по узнаванию.
Тесты 2 уровня – работа на уровне репродукции.
Тесты 3 уровня – продуктивная деятельность.
Тесты 4 уровня – работа на уровне творческой деятельности.
Рассмотрим наиболее популярную классификацию тестовых заданий. В рамках данной классификации тестовые задания можно разделить на две группы:
тестовые задания закрытого типа (с предписанными ответами, когда испытуемому необходимо выбрать из предложенных вариантов ответа тот или иной вариант);
тестовые задания открытого типа (со свободными ответами, когда испытуемому необходимо самостоятельно дописать слово, словосочетание, предложение, знак, формулу и т.д.).
В рамках каждого типа можно выделить несколько видов тестовых заданий в зависимости от формы вариантов ответов.
Выбор типа и вида тестового задания определяется, прежде всего, целями, в соответствии с которыми проводится тестирование, характером материала, усвоение которого необходимо выявить, возрастными особенностями испытуемых. Немаловажное значение играет финансовое, кадровое и ресурсное обеспечение, а также запас времени, которым располагает разработчик.
Трудность в применении заданий открытого типа заключается в формализации ответов: их неоднозначность затрудняет стандартизацию, что является серьезной проблемой в случае проведения компьютерного тестирования, поскольку при создании эталона к такому заданию необходимо предусмотреть все возможные варианты ответа, учитывая наличие и отсутствие знаков препинания, пробелов, характеристики шрифта и т.д.
Тестирование является значительным шагом на пути развития методики контроля за усвоением учащимися учебного материала. Введение тестирования позволяет осуществить плавный переход от субъективных и во многом интуитивных оценок к объективным обоснованным методам оценки результатов обучения. Однако, как и любое другое педагогическое нововведение, этот шаг должен осуществляться на строго научной базе, опираясь на результаты педагогических экспериментов и научных исследований. Тестирование не должно заменить традиционные методы педагогического контроля, а должно лишь в некоторой степени дополнить их. Это позволит, с одной стороны, осуществить подготовку учащихся к ЕГЭ, способствовать присоединению России к Болонскому процессу и тем самым предоставить учащимся российских школ возможность поступления в учебные заведения других стран, а с другой стороны, сохранить специфику российского образования.
Существует мнение, что для подготовки и успешной сдачи ЕГЭ по математике необходимы специальные методики и совершенно новые системы подготовительных задач и упражнений. Однако реальная опасность состоит в излишне утомительном «натаскивании» школьников на задания в тестовой форме в ущерб обычной повседневной учебной работе. Глобальное введение заданий в тестовой форме в процесс обучения, а не только в процесс контроля знаний на завершающих этапах обучения будет ошибкой. Надо ясно понимать, что тестовая форма контроля удобна с технологической точки зрения, быстрота обработки информации, однозначность оценивания ответа и т. п. Учителя должны прочно усвоить: задания в тестовой форме должны следовать после прохождения учебного материала, а не заменять собой принятые порядок и методику его изучения.
Говорят, что "нельзя научиться плавать, стоя на берегу", поэтому следует активнее вводить тестовые технологии в систему обучения в среднем звене. Тренировки в выполнении тестовых заданий позволят реально повысить тестовый балл. Зная типовые конструкции тестовых заданий, ученик практически не будет тратить время на понимание инструкции. Во время таких тренировок у учащихся формируются соответствующие психотехнические навыки саморегуляции и самоконтроля.
При этом основную часть работы по инструктированию учащихся желательно проводить заранее, отрабатывая отдельные детали в случаях, не столь эмоционально напряженных, как экзамен или итоговая контрольная работа. Психотехнические навыки сдачи экзаменов не только повышают эффективность подготовки к экзаменам, позволяют более успешно вести себя во время экзамена, но и вообще способствуют развитию навыков мыслительной работы, умению мобилизовать себя в решающей ситуации, овладевать собственными эмоциями.
Опыт проведения ЕГЭ говорит о том, что предварительное знакомство школьников со структурой ЕГЭ, содержанием и требованиями, которые предъявляются к оформлению решения и ответов, очень помогает при выполнении самого экзамена. Знакомить со структурой тестовых заданий необходимо уже школьников среднего звена.
Структура составляемых тестов должна быть максимально приближена к структуре ЕГЭ, т.е. должна состоять из трёх категорий «А», «В», «С».
Главная психологическая трудность для школьника состоит в том, что заданий много, и необходимо самому выбирать задания, с которыми он может справиться за ограниченное количество времени.
При решении заданий категории «А» предлагаются ответы, но несмотря на это 100%-й уверенности, что ваш ответ верен, нет, так как ответы записаны с учётом типичных ошибок. Если же ответа нет вообще, то надо собраться и решать задачу заново.
В категории «В» нет никаких ответов, поэтому при правильном решении нельзя ошибаться в арифметике или просто сделать ошибку при решении, так как никто решения не увидит, а ошибка сводит на нет все усилия.
Задачи категории «С» несколько сложнее. При выполнении заданий этой части требуется записать полное и логически обоснованное решение, оформить его нужно особенно тщательно.
Со всеми этими разнообразными требованиями необходимо знакомить школьника, начиная со среднего звена.
Принципы построения методической подготовки к ЕГЭ.
<!--[if !supportLists]-->§ <!--[endif]-->Выстраивать подготовку по тематическому принципу, соблюдая «правило спирали» - от простых типовых заданий до заданий со звездочками, от комплексных типовых заданий до заданий раздела С.
<!--[if !supportLists]-->§ <!--[endif]-->На этапе подготовки тематический тест должен быть выстроен в виде логически взаимосвязанной системы, где из одного вытекает другое, т.е. правильно решенное предыдущее задание готовит понимание смысла следующего; выполненный сегодня тест готовит к пониманию и правильному выполнению завтрашнего.
<!--[if !supportLists]-->§ <!--[endif]-->Все тесты следует проводить в режиме «теста скорости», т.е. с жестким ограничением времени. Занятия по подготовке к тестированию нужно стараться проводить в форсированном временном режиме с подчеркнутым акцентированием этого контроля времени на протяжении всего занятия. Иными словами, следует все время поглядывать на часы и громко отмечать время. На примере этих занятий школьник должен убедиться в том, что за данный промежуток времени он может успеть сделать намного больше, чем он привык делать на обычных уроках. Этот режим очень тяжел школьникам на первых порах, но, привыкнув к нему, они затем чувствуют себя на ЕГЭ намного спокойнее и собраннее. Всем ясно, что интеллект, как и мышцы, нужно тренировать – от этого он только сильнее становится.Нужнопостоянно повышать нагрузки и скорость выполнения заданий.
<!--[if !supportLists]-->§ <!--[endif]-->Отсюда вытекает следующий принцип максимализации нагрузки как по содержанию, так и по времени для всех школьников в равной мере. Это необходимо, поскольку тест по определению требует ставить всех в равные условия и предполагает объективный контроль результатов. Иными словами, слабый ученик не получит скидку на ЕГЭ по причине того, что он слабый, как это учитель иногда делает в текущем учебном процессе, давая школьникам разноуровневые контрольные работы. Иными словами, дифференциация в принципе не предполагается при проведении ЕГЭ. А ее систематическая практика в текущем учебном процессе сильно вредит подготовке к ЕГЭ.
Приучать учащихся к работе с тестами надо постепенно.
Структура тестов.
5-6 классы.
1.Тест должен быть рассчитан не более чем на 10-15 мин и содержать не более 10-15 вопросов. На первых порах могут быть предложены задания, состоящие из нескольких утверждений, из которых ученик должен выбрать верное и поставить «+».
2. Далее, могут быть предложены задания с выбором ответа. Количество вариантов ответа не должно превышать 3-х.
3. Вопросы могут сопровождаться рисунками и необходимо выбрать тот,
который соответствует верному ответу.
4. Необходимо приучать ученика чувствовать время.
5. Проверку выполнять сразу же после выполнения всех заданий теста.
7-9 классы
1. Учителю стоит увеличить количество вопросов и вариантов ответов.
2. Можно предложить ученикам разделить вопросы на 3 уровня сложности.
3. Целесообразно включить в работу самостоятельное составление тестов учащимися по данной теме (с разделением по сложности).
4. Необходимо больше внимания уделять скорости выполнения заданий.
Наша задача: сделать все возможное, чтобы приучить учащихся к мысли о ЕГЭ. И начинать это следует именно со среднего звена. При этом нельзя превращать все школьное обучение в натаскивание детей на тесты. Надо оставить время, для того, чтобы научить размышлять и доказывать теорему и формулировать мысль. И потому на уроке должны остаться все формы обучения и проверки, включая традиционную контрольную работу.
Любые учебные или подготовительные материалы к любому экзамену по математике объединяет очень простой, но важный тезис: ДЛЯ УСПЕШНОЙ ПОДГОТОВКИ К СДАЧЕ ЭКЗАМЕНА НАДО САМОСТОЯТЕЛЬНО РЕШАТЬ ЗАДАЧИ.
Основные усилия при подготовке к экзамену, на мой взгляд, должны состоять не в поиске «волшебного» набора задач, готовящих к ЕГЭ, а в продуманном, уверенном и осознанном решении уже известных типов задач. При подготовке к экзамену организую систематическое повторение по темам. После повторения темы проводим пробный тест. Результаты фиксируем в специальной таблице, высчитывая процент выполнения теста каждым учеником. Из такой таблицы сразу видно, какие темы запущены у большинства учащихся, какие темы надо отработать индивидуально.
Структура экзамена указывает на то, что целесообразно организовать итоговое повторение по содержательным блокам. Можно выделить следующие содержательные блоки: « Выражения и преобразования», « Уравнения и неравенства», «Функции», « Числа и вычисления», «Геометрические фигуры и их свойства», « Измерение геометрических величин».
Но даже умения решать задания по всем основным темам не достаточно. Очень важно «видеть» тест и как можно эффективнее его выполнять
Также важно правильно настроить учащихся на выполнение экзаменационной работы, предложить им правильную стратегию. Можно предложить им некоторые советы.
Совет 1.Для успешного выполнения заданий части 1 оптимальна следующая стратегия: последовательно читайте условия задач и, если есть уверенность, что умеете ее решать – делайте сразу, если же есть сомнения, то переходите к следующей. Все «пропущенные» задачи пройдите второй раз.
Совет 2.Если вы уверены, что сможете решить данную задачу, то решайте, не особенно торопясь – обидно получить 0 баллов из-за ошибки по невнимательности или описки.
Совет 3.Не стоит просто угадывать, если вы не знаете, как решать задачу, или не уверены в решении. Имеет смысл внимательно оценить ответы, отбросив явно нелепые, а из оставшихся выбрать наиболее правдоподобный (на ваш взгляд). Иногда после такой операции «отбрасывания » остается лишь один- два варианта ответа.
Совет 4.если после второго прохода остались «белые пятна», то не следует сразу заполнять их «наугад». Постарайтесь вернуться к ним в конце всей работы.
Совет 5.если вам кажется, что вопрос слишком прост, не ищите подвоха – в части 1 действительно простые вопросы.
Совет 6.В конце экзамена, если у вас остались «белые пятна» в этой части, то проставьте «крестики»- ответы случайным образом (за ошибку штрафы не предусматриваются).
Мастер – класс по теме «Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ »
Подготовила учитель математики МОУ СОШ №3 Иванова Любовь Николаевна
В кодификаторе элементов содержания по математике для составления контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2009 года предусмотрены
элементы 3.4 Первообразная. Задача о площади криволинейной трапеции.
3.1.11.11 Распознавание графиков элементарных функций
На примере урока изучения нового материала по теме «Площадь криволинейной трапеции» я хочу показать как на различных этапах урока можно проводить повторение ранее изученного материала и нового материала.
<!--[if !supportLists]-->1. <!--[endif]-->Постановка целей и задач. Мотивация учебной деятельности
Наш урок я бы хотела начать со словН.И.Лобачевского
Мы убедились в этом еще раз, когда изучали производные и их применение в физике и математике. Основоположники дифференциального и интегрального исчисления –
Ньютон и Лейбниц.
Цели урока:
<!--[if !supportLists]-->1. <!--[endif]-->Ввести понятие площади криволинейной трапеции и формулу Ньютона-Лейбница.
<!--[if !supportLists]-->2. <!--[endif]-->Развивать логическое мышление, память и математическую речь.
<!--[if !supportLists]-->3. <!--[endif]-->Воспитывать самодисциплину труда и взаимоуважение.
2. Актуализация опорных знаний.
В части 1 ЕГЭ предусмотрены задания с выбором ответа, поэтому повторение ранее изученного материала провожу с помощью мультимедийной установки, что позволяет наглядно представить материал и сразу проверить ответ учеников. Для ответов ученики используют набор цифр 1-4.
3. Объяснение нового материала.
Использовать слайды и учебник. Учащиеся самостоятельно рассматривают доказательство теоремы о площади криволинейной трапеции.
Затем учащиеся самостоятельно выполняют задания с последующей проверкой. Подобные задания включаются в экзаменационные работы.
В конце урока провожу первичный контроль знаний с помощью самостоятельной работы. Правильность выполнения ученики могут проверить, используя слайды презентации.
4. Итог урока. Домашнее задание.
Рефлексия с участниками мастер-класса.
-Что нового для себя вы сегодня узнали?
-Что вы будете использовать в своей работе?
- Каковы ваши пожелания мне?
Благодарю за внимание и желаю вам и вашим ученикам успехов в подготовке и успешной сдаче экзаменов.
(см. приложение №1)
Материалы, составленные учителями МОУ СОШ №1, Батищевой О.Н. и Галайчук В.Г. для пробного экзамена в форме ЕГЭ в 11 классе
При выполнении заданий А1 –А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак «х» в клеточку, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа..
Ответом на задания В1 – В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке строго по образцу из верхней части бланка. Единицы измерения писать не нужно.
В8. Функция <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->определена на всей числовой прямой и является четной
периодической функцией с периодом, равным 6. На отрезке [-3;0]
функция задана формулой <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->. Определите количество нулей
этой функции на отрезке [-8;4].
В9. На распродаже после Нового года цена сервиза дважды снижалась на одно и то
же число процентов. На сколько процентов снижалась цена сервиза
каждый раз, если до снижений она составляла 5000 рублей, а после двух
снижений сервиз продали за 3200 рублей?
В10. Через середину ребра АА1 правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 проведена плоскость, параллельная скрещивающимся диагоналям АВ1 и А1С боковых граней. Найдите градусную меру острого угла между этой плоскостью и плоскостью АВС основания призмы, если АВ= 4, АА1=2.
В11. Основание равнобедренного треугольника равно 24 см, а его площадь
равна 108 см2. Найдите расстояние между центром описанной<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->около
треугольника окружности и центром окружности, вписанной в этот
треугольник.
Для записи ответов на задания С1 – С2 используйте бланк ответов №2. запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.
С1. Найдите наибольшее значение функции <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
При выполнении заданий А1 –А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак «х» в клеточку, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа..
Ответом на задания В1 – В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке строго по образцу из верхней части бланка. Единицы измерения писать не нужно.
В8. Функция <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->определена на всей числовой прямой и является четной
периодической функцией с периодом, равным 6. На отрезке [0;3]
функция задана формулой <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->. Определите количество
нулей этой функции на отрезке [-5;4].
В9. Для определения оптимального режима повышения цен социологи
предложили фирме с 1 января повышать цену на один и тот же товар в
двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого
месяца (начиная с февраля) на 2%, а в другом - через каждые два месяца,
в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же число процентов,
причем такое, чтобы через полгода ( 1 июля ) цены снова стали
одинаковыми . На сколько процентов надо повышать цену товара через
каждые два месяца во втором магазине?
В10. Через середину ребра АА1 прямой треугольной призмы АВСА1В1С1
проведена плоскость, параллельная скрещивающимся диагоналям АВ1 и
А1С боковых граней. Найдите косинус угла между этой плоскостью и
плоскостью АВС основания призмы, если треугольник АВС –
При выполнении заданий А1 –А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак «х» в клеточку, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа..
на промежутке [-4;5]. Укажите все значения<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, для которых выполняется
Ответом на задания В1 – В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке строго по образцу из верхней части бланка. Единицы измерения писать не нужно.
В8. Функция <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->определена на всей числовой прямой и является четной
периодической функцией с периодом, равным 8. На отрезке [0;4]
функция задана формулой <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->. Определите количество
нулей этой функции на отрезке [-4;5].
В9. Банк предлагает клиентам два вида вкладов. Первый «До востребования»
со следующим порядком начисления процентов: каждые 6 месяцев счет
увеличивается на 10 % от суммы, имеющейся на счету клиента в момент
начисления. Второй вклад «Номерной» с ежегодным начислением
процентов по вкладу. Сколько процентов годовых должен начислять банк
по второму вкладу, чтобы равные суммы, положенные клиентом на каждый из
указанных счетов, через два года оказались снова равными?
В10. Через середину ребра АА1 прямой треугольной призмы АВСА1В1С1
проведена плоскость, параллельная скрещивающимся диагоналям АВ1 и
А1С боковых граней. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и
плоскостью АВС основания призмы, если треугольник АВС –
При выполнении заданий А1 –А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак «х» в клеточку, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа..
Ответом на задания В1 – В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке строго по образцу из верхней части бланка. Единицы измерения писать не нужно.
В8. Функция <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->определена на всей числовой прямой и является четной
периодической функцией с периодом, равным 8. На отрезке [-4;0]
функция задана формулой <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->. Определите количество
нулей этой функции на отрезке [-2;7].
В9. В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от
инфляции была обязана в начале каждого квартала повышать сотруднику
зарплату на 3%. Однако в связи с финансовыми затруднениями она смогла
повышать ему зарплату только раз в полгода ( вначале следующего
полугодия). На сколько процентов фирма должна повышать зарплату
каждые полгода, чтобы 1 января следующего года зарплата сотрудника
была равна той зарплате, которую он получил бы при режиме повышения,
предусмотренной договором?
В10. Через середину ребра АА1 прямой треугольной призмы АВСА1В1С1
проведена плоскость, параллельная скрещивающимся диагоналям АВ1 и
А1С боковых граней. Найдите синус угла между этой плоскостью и
плоскостью АВС основания призмы, если треугольник АВС –
В11. Из точки М к окружности, радиус которой равен 6 см, проведены
касательная, касающаяся окружности в точке С, и секущая, проходящая
через центр О окружности и пересекающая ее в точках А и В так, что
МА<МВ и МО= <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->см. ТочкаNделит дугу АС окружности в отношении
AN:NC= 1:2. Найдите площадь треугольникаCON.
Для записи ответов на задания С1 – С2 используйте бланк ответов №2. запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.
С1. Найдите наименьшее значение функции <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
При выполнении заданий А1 –А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак «х» в клеточку, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа..
Ответом на задания В1 – В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке строго по образцу из верхней части бланка. Единицы измерения писать не нужно.
В8. Функция <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->определена на всей числовой прямой и является четной
периодической функцией с периодом, равным 6. На отрезке [0;3]
функция задана формулой <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->. Определите количество
нулей этой функции на отрезке [-7;4].
В9. Заработная плата служащего, равная 7000 рублей, повышалась два раза,
причем во второй раз процент, на который она была повышена, был в два
раза больше, чем в первый.На сколько процентов повышалась заработная
плата в первый раз, если после второго повышения она составила 9240
рублей?
В10. Основание прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 – равнобедренный
треугольник АВС, в котором АВ=АС, ВС=4, боковое ребро АА1 равно 5.
Найдите объем призмы, если угол между плоскостью А1ВС и плоскостью
АВС основания призмы равен 45о.
В11. Равнобедренная трапеция АВСDописана около окружности. Боковая
сторона трапеции равна 10, а основания относятся как 1:4. Найдите
площадь трапеции.
Для записи ответов на задания С1 – С2 используйте бланк ответов №2. запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.
С1. Найдите значение аргумента, при котором функция <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, принимает наибольшее значение.
Точка х=1 принадлежит интервалу(-1;2), поэтому для нахождения наибольшего значения функции найдем ее значения в стационарной (критической ) точке х=1 и на концах отрезка [-1;2].
Таким образом, наибольшее значение заданной функции равно 4.
Ответ: 4
Баллы
Критерии оценки выполнения задания С1
2
Приведена верная последовательность всех шагов решения:
1) найдена область определения функции и упрощена формула, задающая функцию;
2) найдено наибольшее значение функции.( В 4 варианте – наименьшее значение функции, а в 5 варианте – значение аргумента, при котором данная функция принимает наибольшее значение
Все преобразования и вычисления выполнены верно.Получен верный ответ
1
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущена вычислительная ошибка или описка в шаге 2), не влияющая на правильность дальнейшего хода решения.
В результате этой описки или ошибки может быть получен неверный ответ.
0
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.
Приведена верная последовательность всех шагов решения:
1) уравнение сведено к равносильной ему системе, состоящей из уравнения и необходимого количества неравенств;
2) решена полученная система.
Все преобразования и вычисления выполнены верно.
Получен верный ответ.
1
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
Допущена вычислительная ошибка или описка в шаге 2), не влияющая на правильность дальнейшего хода решения.
В результате этой ошибки или описки может быть получен неверный ответ.
0
Все случаи решения, которые не соответствуют критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.
Часть 3
С3. Найдите все значения параметра <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, при каждом из которых значение выражения <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->не равно значению выражения<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->ни при одном значении переменной <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->.
Решение.Так как <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, то условие исходной задачи равносильно следующему: найдите все значения параметра а, при каждом из которых система<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]--> не имеет решения.
Приведена верная последовательность всех шагов решения:
1) задача сведена к исследованию корней уравнения четвертой степени на соответствующем промежутке;
2) задача сведена к исследованию корней квадратного уравнения<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->на соответствующем промежутке;
3) получено условие на параметр а, при котором квадратное уравнение<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->имеет корень на соответствующем промежутке; получен искомый ответ исключением найденного промежутка из множества действительных чисел.
Все преобразования и вычисления верны.Получен верный ответ.
3
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
В шаге 3 содержится неточность: потеряно значение у=-1.
Ответ получен и либо верен, либо отличается от верного из-за допущенной в шаге 3) неточности.
2
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
В шаге 2 содержится неточность: не исключено значение х=0.
В шаге 3 содержится неточность: потеряно значение у=-1.
Ответ получен и либо верен, либо отличается от верного из-за допущенной в шаге 3 неточности.
1
Приведены шаги 1 и 2 решения, а шаг 3 отсутствует, содержит ошибки или не доведен до конца.
0
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1-4 балла.
С4.В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно 12. через вершины А и С1 призмы проведена плоскость, пересекающая боковое ребро ВВ1в точке К, а боковое реброDD1в точкеL. Найдите объем пирамидыA1AKC1L.
Решение.Построим линейный угол двугранного угла между плоскостью АКС1Lи плоскостью АВСD.ПустьA1H— высота пирамидыA1AKC1L,проведенная из ее вершиныA1на основание AKC1L,а точка М — точка пересечения прямойA1Hи плоскости АВCD.Обозначим через а — прямую, по которой плоскостьARC1Lпересекается с плоскостью АВСD. Докажем, что <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->НАМ — линейный угол двугранного угла между плоскостьюAKC1Lи плоскостью АВСD. ПрямаяA1Hперпендикулярна плоскостиAKC1L,поэтому она перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности, прямойa.ПрямаяA1A,содержащая боковое ребро прямой призмы, перпендикулярна плоскостиABCDоснования призмы, поэтому она перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности, прямой а.
Таким образом, плоскость А1AHперпендикулярна прямой а, поэтому прямые АМ и АН также перпендикулярны прямойa, а величина угла НАМ равна величине угла<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->между плоскостямиAKC1Lи АВСD.Проекцией основания пирамидыA1AKC1Lна плоскость АВСDявляется квадрат АВСD,площадь которогоSABCD= 36. Тогда <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, а искомый объем пирамиды <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
В прямоугольном треугольнике АА1М отрезок АН является высотой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе. Отсюда следует, что <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->АМН=9О°—<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->АА1Н=9О°—<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->АМН=<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->и А1Н=АА1cos<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->. Окончательно получаем: <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
Ответ: 144.
Допустимы одна описка и / или негрубая ошибка в вычислениях, не влияющая на правильность хода решения. В результате этой описки и / или ошибки возможен неверный ответ.
2
Приведены шаги решения 2) и 3).
Допустимо отсутствие утверждений, составляющих ключевые моменты а) и б) решения.
Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок.
Допустимы описки и / или негрубые ошибки в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения.В результате этого возможен неверный ответ.
1
Ход решения правильный, но решение не завершено: имеется шаг 2) решения, который описан словесно или ясно отраженили виден на чертеже.
0
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок 1 – 4 баллов
Все преобразования и вычисления верны.Получен верный ответ.
3
Приведена верная последовательность всех шагов решения. В шаге 3) допустима лишь констатация неравенства<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->.
Допустима одна описка и / или негрубая вычислительная ошибка в одном из шагов 2) или 3), в результате чего может быть получен верный ответ.
2
Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Выполнены верно шаги 1) и 2): задача сведена к решению уравнения<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->. Обоснован ключевой момент а). Допустимо, что дальнейшее исследование уравнения не завершено.
Допустимы 1-2 негрубые ошибки или описки в вычислениях в шаге 3), не влияющие на правильность дальнейшего хода решения.В результате решение может быть не завершено.
1
Ход решения верный. Выполнен верно шаг 1): исследование функцииfи получено неравенство<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->.
Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено.
0
Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.
Шкала перевода первичных баллов в пятибалльную оценку:
Интервал первичных баллов
0 - 8
9 - 15
16 - 23
24 - 37
Отметка
«2»
«3»
«4»
«5»
<!--[if !supportLists]-->2. <!--[endif]-->Использование ИКТ технологий на уроках математики при подготовке учащихся 9 классов к итоговой аттестации в новой форме
(опыт работы учителей МОУ СОШ №2)
Введение ЕГЭ по математике в 11-х классах и новой формы государственной аттестации в 9-х классах показало необходимость перемен в традиционных педагогических технологиях, во всех формах обучения математике и в осуществлении контроля за уровнем подготовки учащихся.
Преодолевая за счет определенной системы упражнений психологическую интерференцию, учитывая преемственность в обучении, нужно искать и новые формы промежуточной аттестации по математике.
Цель промежуточной аттестации — осуществление контроля степени усвоения материала в объеме обязательного минимума содержания образования.
Одна из особенностей новых форм аттестации заключается в использовании тестовых технологий, которые позволяют увеличить число вопросов, выносимых на экзамен, разнообразить виды заданий, Проверяя темсамым более широкий круг знаний и умений учащихся. Поэтому одной из задач учителей математики является внедрение тестовых технологий в учебный процесс. Тестпредусматривает проверкузнаний учащихся по основным разделам программы в каждой параллели,причем как на базовом, так и на повышенном уровнях. Система заданий адаптирована для каждой возрастной категории.
При подготовке к промежуточной аттестации учащихся по математике в новой форме учителя используют следующие приемы:
<!--[if !supportLists]-->2)<!--[endif]-->использование на уроках для устной разминки заданий части А;
<!--[if !supportLists]-->3)<!--[endif]-->проведение устных и.письменных тестов (с выбором ответов) (от 15 до 30 мин);
<!--[if !supportLists]-->4)<!--[endif]-->формирование умения рассуждать по тестовым вопросам двумя путями: а) от вопроса к ответу; б) от предлагаемых ответов к вопросу методом исключения неверных ответов;
<!--[if !supportLists]-->5)<!--[endif]-->формирование навыков техники сдачи тестов (самоконтроль времени, оценка трудности заданий и разумный их выбор, прикидка границ результатов, подстановка как прием проверки, метод исключения неверных ответов, «спиральное» движение по тесту);
<!--[if !supportLists]-->6)<!--[endif]-->проведение самостоятельных, зачетных и контрольных работ в форме тестов,
Благодаря проводимой работе учащиеся психологически готовы к сдаче экзаменов в форме ЕГЭ. Результатами работы является улучшение качества знаний выпускников.
Тесты для 5-8 классов
Общая характеристика содержания иструктуры работы
Содержание переводных материалов соответствует«Обязательному минимуму содержания основного общего образования по математике» (приказ МО от 19,05.98 № 1276).
Работа состоит из двух частей.
ЧастьIнаправлена на проверку достижения уровня базовой подготовки.Она содержит задания, предусматривающие три формы ответа:
<!--[if !supportLists]-->•<!--[endif]-->задания с выбором ответа из четырех предложенных (6—7 заданий);
<!--[if !supportLists]-->•<!--[endif]-->задания с кратким ответом (2-3 задания);
<!--[if !supportLists]-->•<!--[endif]-->задания на соотнесение (1 задание).
Количество заданий в первой части работы в 5-6-х классах — не более 10, в 7-8-х классах — не более 12 заданий.
С помощью этих заданий проверяется знание и понимание важныхэлементов содержания (понятия, их свойства, приемы решения задач и т.д.), владение основными алгоритмами, умение применить знанияк решению математических задач, не сводящихся к прямому применению алгоритма, а также применение знаний в простейших практических ситуациях. При выполнении заданий первой части учащиеся должны продемонстрировать определенную системность знаний ишироту представлений, умение переходить с одного математическогоязыка на другой, узнавать стандартные задачи в разнообразных формулировках.
ЧастьIIсостоит из трех заданий с развернутым ответом и направлена на дифференцированную проверку повышенного уровня владения материалом.
Все задания этой части носят комплексный характер. Они позволяютпроверить владение формально-оперативным алгебраическим аппаратом,способность к интеграции знаний из различных тем школьного курса, владение исследовательскими навыками, а также умение найти и применить нестандартные приемы рассуждений. При выполнении второй части работы учащиеся должны продемонстрировать умение математически грамотно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования.
Задания во второй части расположены по нарастанию сложности — от относительно простых задач до достаточно сложных, требующих свободного владения материалом курса и высокого уровня математического развития.
При этом время, отводимое на решение заданий первой части ограничено: на нее отводится 40 мин в 5-6-х классах, а в 7-8-х классах — 60 мин,
Учащимся выдаются тексты первой и второй частей работы, которые выполняются последовательно. По истечении указанного времени учащиеся сдают первую часть работы и приступают к выполнению заданий второй части. Те, кто справился с заданиями первой частиза более короткое время, могут приступить к выполнению заданий второйчасти, не дожидаясь установленного срока.
Система оценивания выполнения отдельных заданий и работы в целом
Для оценивания результатов выполнения работ учащимися применяются два количественных показателя: традиционная отметка («2», «3», «4» и «5») и рейтинг: от 0 до 22 баллов (5—6-е классы), от 0 до 24 баллов (7—8-е классы); назначение рейтинга — расширение диапазона традиционной отметки.
Рейтинг формируется путем подсчета общего количества баллов, полученных учащимися за выполнение первой и второй частей работы. Закаждое верно решенное задание первой части учащемуся начисляется1 балл. Во второй части работы около каждого задания указано количество баллов, которые засчитываются в рейтинговую оценку ученика приверном выполнении этого задания и характеризуют относительную сложность этого задания в работе.
Критерии оценивания
Отметка
Количество баллов
5-6-е классы
7-8-е классы
«3»
5-9
6-11
«4»
10-16
12-18
«5»
17-22
19-24
8 класс
Вариант 1
ЧастьI
1.Представьте число -0,125 в виде квадрата или куба.
А. (-0.25)2. Б. (-0,5)3. В. (-0,25)3. Г. Представить нельзя.
3.(6 баллов) Катер проплывает 8 км против течения и еще 30 км по течению за то же время, за которое плот может проплыть по этой реке 4 км.Скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч. Найдите скорость течения реки.
Мастер-класс по теме « Числовые промежутки»
Цоры представляют собой компьютерную поддержку курса математики, создающая принципиально новые возможности для организации усвоения содержания курса. Они позволяют и обогатить содержание, и обеспечить новые активные формы и способы овладения этим содержанием. Не подменяя собой учебник или другие учебные пособия, электронное издание обладает собственными дидактическими функциями. Цоры повышают интерес учащихся к математике, познавательную активность.
В качестве иллюстрации этого предлагаю фрагмент урока закрепления знаний по теме «Числовые промежутки».
Ставим цель: научиться изображать числовые промежутки, обозначать их, задавать числовые промежутки неравенствами и находить пересечения с помощью компьютера.
Работать будем с диском «Математика 5-11»
АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ
Давайте вспомним, что мы знаем о числовых промежутках
РАБОТА С ДИСКОМОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Такой промежуток называется отрезком, и читается … как? И этот промежуток удовлетворяет неравенству…
Следующий промежуток называется интервалом и читается… как? Для этого множества чисел выполняется неравенство.
Следующий промежуток – полуинтервал, для этого интервала выполняется нестрогое неравенство, аналогично для строгих.
ЗАКРЕПЛЕНИЕ МАТЕРИАЛА
Прежде, чем приступить к выполнению упражнений познакомимся с инструментарием на примере задания №5
Используя координатную прямую, найдите пересечение числовых промежутков.
На панели инструментов выбираем кнопку «отрезок», ведем курсор к числовой прямой, появляется перо ставим точку левой кнопкой мыши….выбираем цвет….. промежуток ( ) является пересечением промежутков( ) ( ), записываем ответ, готово
А теперь пройдемте в соседнюю аудиторию за компьютеры, для того чтобы каждый из вас мог сам поработать с диском. В результате этой работы мы сформируем навыки изображения числовых промежутков, их обозначения, задавания числовых промежутков неравенствами и нахождения пересечения с помощью компьютера.
Выполняем задания №1 (а), №2 (а), №3, №6 (а).
А теперь посмотрим результаты. Нажмите кнопку «результат», кому колобок улыбается четыре раза получает оценку 5, а кому три раза – оценку 4. Поднимите руку, кто получил оценку 5, а кто – 4. Молодцы!
РЕФЛЕКСИЯ
Итак, подведем итоги.
Что нового для себя вы почерпнули из сегодняшнего урока?
Закончите фразу
Сегодня на уроке мне понравилось…
Мне хотелось бы…
Компьютер мне помог… в чем?
Таким образом, цель нашего урока можно считать достигнутой.
А кто заинтересовался этим диском, может взять его в медиатеке.
ТЕМА: Сложение и умножение числовых неравенств.
Иванова Наталия Владимировна, учитель математики МОУ СОШ №2
ЦЕЛЬ:рассмотреть теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств и научить применять их при оценке выражений, закрепить свойства неравенств; развивать навыки самостоятельной деятельности, самоконтроля и самооценки; воспитывать ответственность за результаты своего труда.
ХОД УРОКА
IОрганизационный момент
IIМотивация учебной деятельности
Сегодня на уроке каждый из вас будет зарабатывать баллы и в зависимости от количества набранных баллов выставит себе отметку за урок.
Вы знаете, что девятиклассники будут сдавать экзамен по новой форме…Такой же экзамен на следующий год предстоит сдавать и вам.
Я предлагаю примерные тестовые задания из экзаменационных работ по изучаемой нами теме.(задания проецируется на экран)
Прочитайте внимательно первое задание из своего варианта и выберете вариант ответа, верный на ваш взгляд.
Итак, в тетрадях записываем номер задания и выбранный вами вариант ответа, то есть букву. Аналогично остальные задания.
А теперь проверим, совпадают ли выбранные вами варианты ответов с правильными.
(ответы на экране)
За каждый совпадающий ответ ставим один балл.
VИзучение нового материала
Тема сегодняшнего урока: «Сложение и умножение числовых неравенств». Мы рассмотрим теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств и, будем учиться применять их при оценке выражений.
Рассмотрим теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств.
Теорема 5
Еслиa<bc<d,тоa+c<b+d
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->Прибавив к обеим частям неравенства а <bчисло с, получим а + с <b+ с,Прибавив к обеим частямнеравенства с<dчислоb,получимb+ с <b+d.Изнеравенств а + с <b+ сиb+ с <b+dследует, чтоа + с <b+d.
Теорема справедлива и в случае почленного сложения более чем двух неравенств.
Таким образом,
если сложить почленно верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.
Теорема 6
Если а <bи с <d,где а,b, сиd— положительные числа, тоас <bd.
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->Умножив обе части неравенства а <bна положительное число с, получим ас <bс,Умножив обе части неравенства с <dна положительное числоb, получимbс <bd.Из неравенств ас <bсиbс <bdследует, что ас <bd.
Теорема справедлива и для почленного умножения более чем двух неравенств указанного вида.
Таким образом,
если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, то получится верное неравенство.
Заметим, что если в неравенствах а<bи с <dсреди чисел а,b, сиdимеются отрицательные, тонеравенство ас<bdможет оказаться неверным. Так, перемножив почленно верные неравенства-3< -2 и -5 < 6, получим неравенство 15 < -12, которое не является верным.
Следствие
Если числа а иbположительны и а <b, то ап<bп(п— натуральное число).
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->Перемножим почленно п верных неравенств а<b,в которых а иb— положительные числа, получим верное неравенство ап <bп.
Доказанные свойства используются для оценкисуммы, разности, произведения и частного.
Пример. Известно, что 15< х <16 и2<y<3. Требуется оценить сумму х + у, разностьх- у,произведение ху и частное <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->.
1. Оценим сумму х + у.
Применив теорему о почленном сложении неравенств к неравенствам 15<х и 2<у, а затем к неравенствам х < 16 и у< 3, получим 17< х + у и х+у<19.Результат можно записать в виде двойного неравенства 17 < х + у < 19. Запись обычно ведут короче:
15<x<16
2< у<3
17<x+y<19
2.Оценим разность х- у.
Для этого представим разность х- у в виде суммы х + (-y).Сначала оценим выражение -у. Так как2 < у<3,то-2 >-у> -3,т. е. -3< -у< -2. Применимтеперь теорему о почленном сложении неравенств:
15<x<16
-3<-y<-2
12<x-y<14
<!--[if !supportLists]-->3. <!--[endif]-->Оценим произведение ху.
Так как каждое из чисел х и у заключено между положительными числами, то они также являются положительными числами. Применив теорему о почленном умножении неравенств, получим:
Тема урока: Линейное уравнение с двумя переменными
Цели урока: 1. Ввести понятие линейного уравнения с двумя переменными, его решения;
2. Ввести определение равносильных уравнений;
3. Научить находить решения уравнений;
4. Закрепить вычислительные навыки учащихся.
ЦОР: Презентация МПП, ЭУМ «Выбор графика линейной функции»- практика, «Линейное уравнение с двумя переменными и его график»- теория, «Линейное уравнение с двумя переменными и его график»-практика.
Ход урока:
План проведения урока реализован с помощью презентации МРР
Определение целей урока (слайд 1, 2)
Этап актуализации знаний;.
А) построить график функции у = 2х – 4.(проверка на слайде 3)
Б) ответить на вопросы, какая связь существует между формулой, задающей линейную функцию, и расположением ее графика;
В) устное решение упражнений (решение заданий, аналогичным экзаменационным заданиям ГИА в 9 классе) (слайды 3- 7 )
Г) электронный учебный модуль «П Выбор графика линейной функции » (слайд 8 с гиперссылкой на соответствующий ЭУМ)
Объяснение нового материала (слайд 9)
(Используется электронный учебный модуль «Линейное уравнение с двумя переменными и его график», фрагменты 1-4). Параллельно выполняются соответствующие упражнения (переход от презентации к ЭУМ и обратно осуществляется через «экран»-«смена программ»):
Фрагмент 1, записали определение, № 1092 устно, привели примеры двух линейных уравнений с двумя переменными (слайд 10);
Фрагмент 2, №№ 1094, 1096 (слайд 11);
Фрагмент 3, №1099;
Фрагмент 4, № 1102(а) (слайд 12)
Рассмотреть еще раз фрагменты 1-3.
4. Физкультминутка
5. .Закрепление нового материала (слайд 14 с гиперссылкой на соответствующий ЭУМ)
При выполнении заданий используется электронный учебный модуль «П1 Линейное уравнение с двумя переменными и его график», задания №№ 1-3.
6 Контроль усвоения нового материала
Ответы на контрольные вопросы (слайд 15)
Дайте определение линейного уравнения. Приведите пример.
Что называется решением уравнения с двумя переменными? Является ли пара значений переменных х=7, у=3 решением уравнения 2х + у = 17?
7. Рефлексия (слайд 16)
- Сегодня на уроке я узнал…я научился… и т.п.
Затем, по щелчку мыши: с какой из картинок вы ассоциируете свое состояние в конце сегодняшнего урока?
8. Домашнее задание (слайд 17)
п.39 №№ 1093 (устно), 1101, 1104а/б
(см. презентации в приложении №2)
<!--[if !supportLists]-->3. <!--[endif]-->Организация проектной деятельности учащихся при изучении математики
(из опыта работы учителя МОУ ООШ №11, Вартанян Н. Ф.)
Аннотация
«Два мира есть у человека-
Один, который нас творил.
Другой, который мы от века
Творим по мере наших сил».
(Н. Заболоцкий).
Междисциплинарный проект «Цифры и числа. Просто. Сложно. Интересно» рассматривает историю возникновения и развития понятия числа.
Несомненно, что для школьной математики число является тем понятием, с которого начинается обучение и которое сопровождает школьника до конца обучения.
Задача проекта: сопроводить изучение школьного курса математики обзором исторического развития науки; формированием у учащихся целостного общего представления о важнейших её разделах; пробуждением интереса к данной проблематике; представление интереса к данной проблематике; представление определённых сведений, которые могли бы стать основой для дальнейшего более детального изучения.
Известный физик М. Лауэ в несколько афористичной форме дал такое определение образованию: «Образование есть то, что остаётся у человека, когда всё выученное уже забыто».
А что остаётся у человека после того, как всё выученное в школе забыто? У него остаются определённые привычки, убеждения, установки, навыки и главным образом способности – эти бесценные приобретения подлинного образования.
Поэтому важнейшей задачей обучения является развитие у учащихся их способностей.
Возраст учащихся школы таков, что он стимулирует к выявлению собственных сил: физических, умственных, психических. Не всегда эти силы прилагаются в нужном направлении, и от меня как учителя зависит многое. Для воспитания интереса к математике и развития правильных взглядов
на возникновение и развитие математических идей полезно довести до сознания школьников решение важного вопроса: откуда берутся математические понятия, идеи, теории?
Дети должны знать, что настоящее науки развилось из прошлого, так же как будущее разовьётся из настоящего; в какой-то мере в этом будущем отразится и прошлое науки.
Математизация знаний в наше время совершает своеобразный победный марш. Математика превратилась в важнейшее орудие всего научно-технического прогресса.
Исходя из этого, я и выбрала – основополагающим вопросом своего проекта следующий:
Правит ли число миром?
Основные цели моего проекта:
<!--[if !supportLists]-->1. <!--[endif]-->Дидактические:формирование компетентности в сфере познавательной деятельности; навыков самостоятельной работы с большими объёмами информации; умений выделять основное и представлять его кратко и доступно, умений и навыков математического моделирования различных явлений и широкое использование этих моделей как внешних опор для внутренней мысленной деятельности, для развития научно-теоретического стиля мышления.
<!--[if !supportLists]-->2. <!--[endif]-->Образовательные:добиваться, чтобы каждый ученик научно правильно понимал своеобразие отражения математикой простейших законов о количественных соотношениях и имел ясное представление об истории, происхождении и развитии этих знаний; имел достаточную математическую подготовку для изучения других учебных дисциплин, а также для продолжения образования и самообразования.
<!--[if !supportLists]-->3. <!--[endif]-->Воспитательные:способствовать формированию коммуникативной культуры учащихся, умений намечать пути решения проблем; разбудить дремлющие силы самого ученика, вызвать у него ненасытную жажду знаний, желание самосовершенствоваться.
Методические задачи проекта:
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->Сопровождать изучение школьного курса математики обзором исторического развития математики; формировать у учащихся целостное общее представление о важнейших её разделах;
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->Пробудить интерес к данной проблематике, а затем дать определённые сведения, которые могли бы стать основой для дальнейшего более детального изучения;
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->Создать определённую эмоциональную атмосферу вокруг ученика, которая характеризуется потребностью учащегося в усвоении учебного материала, уважением и откровенным восхищением высокими человеческими качествами творцов наук: настойчивостью, изобретательностью, мудростью, творческой одержимостью.
Возрастная категория:учащиеся 5-8 кл.
Предметная область:математика, частично физика, география, астрономия, биология.
Участники проекта:учитель математики, учащиеся, родители, коллеги
Типология проекта:учебно-информационный.
Длительность проекта:2 месяца (декабрь-январь)
Соответствующие разделы учебной программы:
Класс
Содержание изучаемого материала
5
<!--[if !supportLists]-->1. <!--[endif]-->Натуральные числа и шкалы
<!--[if !supportLists]-->11. <!--[endif]-->Ищем необычное в обычных числах
<!--[if !supportLists]-->12. <!--[endif]-->Пятое математическое действие
Наметив этот круг проблемных тем и тем для исследований учения (примерный) далее я составила следующий план работ над проектом. Он включает в себя три этапа.
I.– Мотивационный этап.
На этом этапе ученики должны осознать, почему и для чего им нужно изучить данную тему программы, что именно им придётся изучить и освоить, какова основная учебная задача предстоящей работы. Дети под моим руководством выясняют, готовы ли они к изучению данной темы, чего им недостаёт, что именно они должны проделать (все и каждый в отдельности), чтобы с успехом выполнить учебную задачу.
Учебные действия на этом этапе:
<!--[if !supportLists]-->1. <!--[endif]-->Создание учебно-проблемной ситуации
Приёмы:
а)постановка перед учащимися задачи, решение которой возможно лишь на основе изучения данной темы;
б)беседа, рассказ учителя о теоретической и практической значимости предстоящей темы;
в) рассказ об истории возникновения и развития основных понятий данной темы.
<!--[if !supportLists]-->2. <!--[endif]-->Постановка и формулирование основной учебной задачи, которая должна быть решена в процессе изучения данной темы. Учебная задача показывает учащимся тот ориентир, на который они должны направлять свою деятельность в процессе работы над темой. Она тем самым создаёт основу для постановки каждым учеником перед собой определённых целей, направленных на изучение данного учебного материала.
<!--[if !supportLists]-->3. <!--[endif]-->Самоконтроль и самооценка возможностей предстоящей деятельности. После того, как основная учебная задача будет сформирована, понята и принята учащимися, они переходят к составлению и обсуждению плана предстоящей работы.
Я как учитель, сообщаю им время, отведённое на выполнение задачи. Это создаёт у учащихся ясную перспективу.
II. этап – операционно-познавательный
Здесь учащиеся познают и осваивают содержание темы, овладевают учебными действиями и операциями, входящими в это содержание.
Деятельность детей приобретает теоретический, исследовательский характер.
III. этап – рефлексивно-оценочный
На этом этапе учащиеся учатся анализировать свою деятельность, оценивать её, сопоставлять: результаты этой деятельности с поставленными учебными задачами, как частными, так и основными.
Исследовательская деятельность учащихся, реализующих проект:
Группа учащихся
Тема исследовательской деятельности
Результат
5 класс
Жуков А.
Букин М.
Что может математика
Сообщение
6 класс
Перегудова Е.
Шаповалова Е.
Отрицательные числа.
Путь к признанию.
Сообщение
Головкина Т.
Кирошка А.
Делимость чисел. Решето Эратосфена
Реферат
Огульков Е.
Сухоносов Р.
Зачем нужны дробные числа?
Реферат
7 класс
Голубева Т.
Шихова А.
Пятое математическое действие.
Я знакомлюсь с числами – великанами.
Презентация
8 класс
Исаков С.
Довгалёв А.
Как с помощью математики можно проверить исторические утверждения.
Доклад с презентацией
Головкин В.
Коломейцев С.
Открытие метода координат – революция в познании мира.
Презентация
Чилингарян А.
Зюзина Ю.
Математика на шахматной доске
Буклет
Организация работы над проектом – совместно-распределённая деятельность учащихся.
<!--[if !supportLists]-->1. <!--[endif]-->Вводная часть
1 неделя
а) Постановка конкретной познавательной задачи (проблемной ситуации)
б) Инструктаж о последовательности работы
в) Раздача дидактического материала по группам или подбор источников информации – самостоятельно.
<!--[if !supportLists]-->2. <!--[endif]-->Групповая работа
а) Организация групп. Знакомство с материалом
б) Планирование работы в группе
в) Распределение заданий внутри группы
<!--[if !supportLists]-->3. <!--[endif]-->Самостоятельная деятельность учащихся
(1 месяц).
а) Индивидуальное выполнение задания. Работа с различными источниками информации.
б) Обсуждение индивидуальных результатов работы в каждой группе. Подведение итогов задания группы.
4. Оформление результатов. (1 неделя).
– Создание презентаций, буклетов, публикаций.
5. Заключительная часть. (1 неделя).
а) Сообщения о результатах работы групп.
б) Анализ выполнения познавательной задачи.
в) Общий вывод о групповой работе и достижении поставленной цели.
(Разрешение проблемной ситуации).
Для осуществления контроля над деятельностью групп учащихся привлекаю следующие его виды:
Какие из учебных тем охватит проект:-
<!--[if !supportLists]-->1. <!--[endif]-->Натуральные числа и шкалы.
-формирование у учащихся умений и навыков математического моделирования различных явлений и ситуаций как внешних опор для внутренней мыслительной деятельности, для развития научно-теоретического стиля мышления.
Какие компетентности формирует ваш проект:
В сфере самостоятельной деятельности: - коммуникативную, информационную, функциональную.
Основанные на усвоении способов приобретения знаний из различных источников информации: - коммуникативную.
Какие методические задачи ставите в своём проекте:
<!--[if !supportLists]-->1. <!--[endif]-->Формировать у учащихся целостное общее представление о важнейшем разделе математики – теории чисел.
<!--[if !supportLists]-->2. <!--[endif]-->Научить школьников применять различные приёмы вычислительной деятельности.
<!--[if !supportLists]-->3. <!--[endif]-->Учить ставить перед собой задачи и решать их.
<!--[if !supportLists]-->4. <!--[endif]-->Учить находить, обрабатывать и обобщать полученную в результате проведённых исследований информацию.
Выводы.
В своей проектной работе целью обучения было, прежде всего, развитие у учащихся самообразовательной активности, направленной на освоение нового опыта. Работая в учебных проектах, дети учились проводить исследования, а, действуя за компьютером, вынуждены были чётко и кратко излагать свои мысли в письменном виде и прибегать к математическому моделированию, получать и перерабатывать большое количество текстовой, цифровой и графической информации, анализировать эту информацию и представлять новые идеи и проблемы. Особое внимание в учебном проекте было обращено на организацию взаимодействия детей в группах при проведении различных исследований.
На вопрос «Что предпринять для того, чтобы у учеников возникли мотивы для формирования устойчивого познавательного интереса к учебной деятельности?» - есть ответ! Надо, чтобы ученик начал действовать так, чтобы сама эта деятельность вызвала интерес. Если ученик в процессе этой деятельности испытал положительные эмоции удовлетворения, радости, азарта, то я могу ожидать, что у него обязательно, пусть постепенно, но возникнут потребности в такой деятельности, а, значит, сформируется устойчивый познавательный интерес.
Работа над проектом продолжается. Впереди ещё много неизведанного для детей, да и для учителя тоже.
(см. презентации проектов в приложении №3)
<!--[if !supportLists]-->4. <!--[endif]-->Применение технологии уровневой дифференциации в личностно ориентированном обучении математике
(из опыта работы учителей МОУ СОШ №6)
Концепция общего среднего образования определила основные направления перестройки школы. Среди них дифференциация обучения выделяется как составная часть и необходимое условие гуманизации и демократизации образования. В концепции отмечено, что дифференциация обучения является залогом максимального развития детей с самыми разными способностями.
В преподавании математики дифференциация имеет особое значение, что объясняется спецификой этого предмета. Математика объективно является одной из самых сложных школьных дисциплин и вызывает субъективные трудности у многих школьников. В то же время имеется большое число учащихся с явно выраженными способностями к этому предмету. Разрыв в возможностях восприятия курса учащимися, находящимися на двух "полюсах", весьма велик. Дифференцированное обучение нельзя рассматривать исключительно с позиции интересующихся математикой учащихся и по отношению лишь к старшему звену школы.
Ориентация на личность ученика требует, чтобы дифференцированное обучение математике учитывало потребности всех школьников – не только сильных, но и тех, кому этот предмет дается с трудом или чьи интересы лежат в других областях.
Дифференцированная форма учебной деятельности учащихся предусматривает их самостоятельную работу по дифференцированным заданиям. Дифференцированные задания – задания, построенные с учетом особенностей типологической группы учащихся, то есть группы объединенной “одинаковым” уровнем знаний и умений по предмету (теме, разделу) и уровнем их усвоения.
Реально в каждом классе выделяется четыре типологических группы учащихся, названные условно А, В, С, Д.
К группе А относятся учащиеся, знающие “сверхпрограмму”, в В – с хорошим уровнем знаний и умений, к С – с минимальным уровнем знаний и умений, к Д – не достигшие минимальных знаний и умений.
Итак, в соответствии с указанными группами при организации дифференцированной формы учебной деятельности разрабатываются четыре варианта дифференцированных заданий. При этом рассматриваются два вида дифференцированной формы учебной деятельности: групповая и индивидуальная работа учащихся.
Необходимость организации групповой и индивидуальной форм деятельности учащихся на уроке математики следует из требований развивающего характера обучения и принципа индивидуального подхода к каждому учащемуся с целью максимального его развития.
Дифференцированные формы учебной деятельности могут быть успешно организованы на любом этапе урока математики. Приведу несколько примеров из своей работы.
Уроки, на которых разбирается новая тема, я обычно строю так: сначала объясняю новый материал, делаю записи на доске, использую все средства наглядности, затем повторяю объяснение с применением карточек-консультантов.
В этой карточке содержатся все узловые моменты изучаемой темы, а также алгоритм решения заданий. Для иллюстрации приведу пример карточки.
Алгебра, 7 класс, тема: Решение систем линейных уравнений.
1.Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую.
2.Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение.
3.Решить получившееся уравнение с одной переменной.
4.Найти соответствующее значение второй переменной.
Способ сложения
1.Умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.
2.Сложить почленно левые и правые части уравнений системы.
3.Решить получившееся уравнение с одной переменной.
4.Найти соответствующее значение второй переменной.
Ответ: х=…, у=…
Карточки-консультанты с зашифрованной на них информацией помогут учащимся эффективнее усваивать новый учебный материал. При этом пассивное обучение сменяется на уроке активной мыслительной деятельностью всех учащихся. Таким образом, карточки как средство индивидуализации обучения могут в корне улучшить условия для сознательного усвоения всеми школьниками изучаемого материала.
В своей работе я очень часто использую коллективные формы учебного труда (парные, групповые).
Приведу еще один пример дифференцированной формы обучения при изучении темы “Произведение разности двух выражений на их сумму” (алгебра, 7 класс). Каждый ученик получает индивидуальное задание. На доске записывается тема урока, цель, поставленная перед учащимися.
Вариант А.
1.Выполните умножение двух выражений и проанализируйте полученные результаты.
2.Используя результаты задания 1, не выполняя умножения, запишите ответ: а) (а-b)(a+b); б) (8х-5у)(8х+5у); в) (6у-7)(6у+с).
3.Подставьте вместо знака * пропущенные выражения так, чтобы получилось верное равенство
а)(х-5)(х+5)=(*);
б) (3-а)(*)=9-а2.
4.Подведите итоги своей работы:
а) запишите тождество (а-b)(а+b)=…
б) чему равно произведение суммы и разности двух выражений?
в) как найти произведение суммы и разности двух выражений?
Вариант Д.
1.Выполните умножение двух выражений и проанализируйте полученные результаты
а)(х-7)(х+7);
б)(2а-b)(2а+b);
в) (4х-6у)(4х+6у).
ОБРАЗЕЦ. (х-7)(х+7)=х х+7х-7х-7 7=х2-49.
Выполните аналогично остальные примеры и заполните таблицу.
Что дано
Что получилось
Как получилось
Произведение суммы и разности двух выражений
(х-7)(х+7)
(2а-b)(2а+b)
(4х-6у)(4х+6у).
Разность квадратов
х2-49
х х – 7 7
2.Используя результаты задания 1, не выполняя умножения, запишите ответ:
а)(а-b)(a+b);
б)(х-у)(х+у);
в) (3а-4b)(3a+4b).
3.Подставьте вместо знака * пропущенные выражения так, чтобы получилось верное равенство
а) (a-4)(*)=a2-16;
б) (2b-3)(2b+3)=(*).
4.Подведите итоги своей работы:
а)запишите тождество (а-b)(а+b)=…
б)прочитайте правило в учебнике;
в) как найти произведение суммы и разности двух выражений?
Известно, что самостоятельная работа является эффективным средством организации учебно-познавательной деятельности школьников и контроля за ней. В практике обучения математики хорошо зарекомендовали себя самостоятельные работы, для выполнения которых требуется 15-20 минут. В течение этого времени учитель проверяет усвоение изучаемого материала, что позволяет вовремя ликвидировать пробелы в знаниях. В классе обычно существует не более 5-6 “однородных” групп учащихся.
Следовательно, вариантов самостоятельной работы должно быть 5-6. Каждой группе с одним “показателем” усвоения материала предоставляется свой вариант. Наиболее эффективны самостоятельные работы с единой основой, которая в зависимости от уровня подготовки учащихся корректируется с помощью наборов указаний к выполнению предложенного упражнения. При подготовке упражнений исходим из трех уровней усвоения знаний.
Первый - состоит в осознании восприятия информации и ее запоминании. Второй - представляет собой усвоение способов применения знаний по образцу, включая легко опознаваемые вариации этого образца. Третий - заключается в готовности обучающегося творчески применить усвоенную информацию в новой незнакомой ему ситуации. Эти уровни усвоения, которых необходимо добиться при изучении того или иного материала на определенном этапе. Приведу пример такой самостоятельной работы (геометрия, 7 класс, тема “Признаки равенства треугольников”).
Вариант 1.
Отрезки АВ и СD не лежат на одной прямой и имеют общую середину – точку О. Докажите равенство треугольников АОD и ВОС.
Вариант 2.
Отрезки АВ и СD не лежат на одной прямой и имеют общую середину – точку О. Докажите равенство отрезков АD и ВС.
Вариант 3.
Отрезки АВ и СD не лежат на одной прямой и имеют общую середину – точку О. Выделите соответствующие равные элементы в треугольниках АОD и ВОС.
Вариант 4.
Отрезки АВ и СD не лежат на одной прямой и имеют общую середину – точку О. Пусть точки М и N середины отрезков ВС и АD соответственно. Докажите, что отрезки ОМ и ON равны.
Вариант 5.
Отрезки АВ и СD не лежат на одной прямой и имеют общую середину – точку О. Пусть точки М и N середины отрезков ВС и АD соответственно. Докажите, что отрезки ОМ и ON равны.
Указание.
1) докажите равенство треугольников АОD и ВОС;
2) докажите равенство треугольников СОМ и DON.
Вариант 6.
Отрезки АВ и СD не лежат на одной прямой и имеют общую середину – точку О. Пусть точки М и N середины отрезков ВС и АD соответственно. Докажите, что отрезки ОМ и ON равны.
Типичная контрольная работа состоит из вариантов, которые примерно одинаковы по трудности. В свою очередь в каждый вариант входят задания, проверяющие, овладел ли ученик каким - либо точно определенным знанием. Но выполнение или невыполнение, какого – либо задания показывает не реально достигнутый учеником уровень овладения проверяемым умением, а лишь достижение заранее заданного, одинакового для всех уровней. Таким образом, оценка ученика всего лишь отражает вероятность того, что из некоторого набора умений и навыков, проверяемого контрольной работой, ученик овладел не менее, чем некоторым определенным количеством. Зная только оценку за контрольную работу по данной теме невозможно определить характер действительных знаний и умений ученика, если это оценка не “5”.
Если же варианты контрольной работы различны по трудности, то они вызывают следующие возражения. Во-первых, распределение вариантов среди учащихся дифференцируют их по уровням еще до проверки работ, а тогда непонятно, зачем вообще нужна эта контрольная работа.
Во-вторых, учащиеся, решившие с одинаковой оценкой разные варианты, выполнили совсем разную по трудности работу.
Предложение относительности содержания контрольных работ по математике сводятся к следующему:
1) все варианты должны быть равносильными, хотя в разных вариантах допустимы задания с несложными формулировками;
2) каждый вариант распределяется по уровням, каждый из которых охватывает все проверяемые умения и навыки. Таких уровней три: минимальный, средний и продвинутый. Приведу пример одного варианта контрольной работы (алгебра, 8 класс).
Минимальный уровень.
1.Докажите неравенство (2х-3)(3х+5)<(6х-5)(х+1).
2.Известно, что 3<x<4. Оцените значение каждого из выражений (х-3) и 2х.
Уровень I.
3.Оценть периметр и площадь прямоугольника со сторонами х см и у см,
если 4,6<х<4,7; 2,3<у<2,4.
4.При всех ли значениях р верно неравенство (р-1)(р+4)<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--> р2-3р?
Проведение таких контрольных работ свидетельствует о резком повышении активности обучаемых. Урок в целом становится эффективнее.
В своей работе на уроках геометрии, я применяю зачетную систему проверки и оценки знаний учащихся.
Уроки делятся на несколько видов: лекции, практические занятия, консультации и зачетный урок. Приведу пример итогового зачета в 7 классе по теме “Параллельные прямые”.
Вариант 1.
<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->1.Какие прямые называются параллельными? Какие два отрезка называются параллельными?
2.Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->1. Что такое секущая? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых секущей.
2. Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
2. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей, внутренние накрест лежащие углы равны.
3. Прямые а и b параллельны, с – секущая прямая. Известно, что <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->2 на 26° больше <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->1. Найдите <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->3.
2. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180° .
3. Прямые а и b параллельны, с – секущая прямая. Известно, что <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->2 в Класс делится на группы: I – сильные учащиеся, II – средние, III – слабые. Каждый ученик получает карточку. Первая группа готовится к ответу у доски, а вторая и третья – готовятся на местах. По мере подготовки учащиеся начинают отвечать, после ответа у доски теоретического материала, учащиеся решают задачу на местах.
От учащихся первой группы требуется четкий рассказ, доказательство теоремы, знаний определений. От учащихся второй группы – четкий рассказ, доказательство теоремы (при доказательстве допускаются некоторые неточности). От учащихся третьей группы требуется рассказ по всем вопросам (доказательство по возможности). Многие учащиеся испытывают большие затруднения в усвоении программы. Именно поэтому я стала проводить такие зачеты. Пока отвечают учащиеся первой группы, учащиеся второй и третьей групп могут что-то вспомнить, если послушают рассказ отвечающих.
Для эффективностидифференцированного обучения можно использовать элементы модульной технологии. Действительно, при модульном обучении каждый ученик включается в активную и эффективную учебно-познавательную деятельность. Здесь идет индивидуализация контроля, самоконтроля, коррекции, консультирования, степени самостоятельности.
Важно, что ученик имеет возможность в большей степени самореализоваться и это способствует мотивации учения. У школьников формируются такие качества как самостоятельность и коллективизм.
Принципиально меняется и положение учителя в учебном процессе. Прежде всего, изменяется его роль. Задача учителя - обязательно мотивировать учащихся, осуществлять управление их учебно-познавательной деятельностью через модуль и непосредственно консультировать школьников. Учитель как бы беседует с учеником, активизирует его на рассуждения, поиск, догадку, подбадривает, ориентирует на успех.
Определение истинного уровня знаний каждого ученика, нацеливание их на максимальное использование и развитие собственных способностей не только дает учителю реальную картину знаний, но и предоставляет возможность самому ученику объективно их оценить.
В завершении хочу сказать, что не считаю свою систему обучения идеальной. Все время что-то изменяю, изучаю новые методы, ищу новые подходы, иногда возвращаюсь к прошлому, т.к. в истории преподавания математики немало интересного.
Самое главное - вызвать у учеников интерес к предмету и пробудить желание заниматься математикой в дальнейшем.
МАСТЕР-КЛАСС
Учитель математики: Ледовская Евгения Николаевна
Урок математики в 7 классе по теме: «Разложение многочлена на множители с помощью различных приемов и их комбинаций».
Вступительное слово.
Считаю, что без уроков обобщающего повторения, нельзя считать процесс усвоения учащимися учебного материала завершенным. Такие уроки ориентированы не просто на закрепление, упорядочение уже достигнутого уровня знаний и умений, а на их качественное улучшение, на ликвидацию возможных пробелов, поэтому важно активное участие каждого ученика.
Тема урока: «Разложение многочлена на множители с помощью
различных приемов и их комбинаций».
Цели урока: 1. Систематизировать, расширить и углубить знания, умения
применять различные способы разложения
многочленов на множители и их комбинации.
<!--[if !supportLists]-->2. <!--[endif]-->Способствовать развитию наблюдательности, умения
анализировать, сравнивать, делать выводы.
<!--[if !supportLists]-->3. <!--[endif]-->Побуждать учеников к само - , взаимоконтролю, вызывать у
них потребность в обосновании своих высказываний.
Оборудование:экран, мультимедиа, набор карточек с текстами заданий,
Сообщение темы урока, целей урока, его места в системе уроков, формы контроля знаний учащихся и их оценки. Работа состоит из пяти этапов. Результаты каждого этапа ученики заносят в индивидуальные оценочные листы. Оценка за урок будет зависеть от суммыn набранных баллов по всем заданиям.
Из каждого слагаемого, входящего в многочлен выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые. Таким общим множителем может быть быть не только одночлен, Нои многочлен.
Члены многочлена на основе переместительного и сочетательного законов сложения группируются так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель.Этот общий множитель, являющийся многочленом выносится за скобки.
Жил Диофант в Александрии на Средиземноморском побережье Египта вIIIвеке н.э. Он первым совершил по-настоящему серьезный шаг в таком разделе математики, как решение уравнений. Им придуманы обозначения для неизвестных величин. Именно Диофант ввел и два основных приема решения уравнений – перенос неизвестных в одну сторону уравнения и приведение подобных членов, используя вынесения общего множителя за скобки. В средневековой Европе мысли Диофанта получили большое распространение и развитие. ВXVII–XVIIIвеке буквами для обозначения неизвестных стали пользоваться уже все математики.
В оценочную ведомость учащимся, верно выполнившим это задание, предложено внести 2 балла.
Используя мультимедиа, осуществить самопроверку и учитывая коэффициент участия в работе выставить в оценочную ведомость количество баллов.
/Слайд № 7/
<!--[if !supportLists]-->1. <!--[endif]-->в1 балл
<!--[if !supportLists]-->2. <!--[endif]-->Представление многочлена в виде произведения одночлена и многочлена называется вынесением общего множителя за скобки.1 балл
Класс разбит на три команды. В каждой команде ученики, сидящие на одном ряду. На последней парте каждого ряда находится лист с четырьмя заданиями по два задания на каждую парту. Все эти задания на экране каждый ученик работает самостоятельно, пока к нему не придет лист с заданиями. Ученики, получившие лист, выполняют два задания (разрешается совместная работа) и передают лист впереди сидящим ребятам, после чего подключаются к работе всего класса. Работа считается оконченной, когда учитель получит три листа по количеству рядов с выполненными заданиями.
Взаимопроверка осуществляется с использованием мультимедиа, причем ассистент первого ряда проверяет задания второго ряда, ассистент второго ряда проверяет задания третьего ряда. Ассистент третьего ряда проверяет задания первого ряда. В это время каждый ученик проверяет у себя и выставляет в оценочную ведомость количество баллов.
На практике чаще всего приходится использовать комбинации различных приемов разложений многочлена на множители. Совокупность различных приемов разложения на множители позволяет легко и изящно проводить арифметические вычисления, решать уравнения и задачи на делимость, доказывать тождества.
/Слайд № 10/
Разложить на множители многочлен и указать приемы разложения, которые при этом использовались.
Учащиеся проверяют задания и выставляют результат в оценочную ведомость. Считают общее количество набранных баллов и выставляют себе итоговую оценку.
VII. Подведение итогов уроков.
Рефлексия с использованием вопросов:
<!--[if !supportLists]-->1. <!--[endif]-->Какие задачи стояли перед нами в начале урока? Можно ли считать, что мы их решили?
<!--[if !supportLists]-->2. <!--[endif]-->Что нового вы узнали на уроке?
<!--[if !supportLists]-->3. <!--[endif]-->Какие задачи позволяет решать умение разлагать многочлены на множители?
<!--[if !supportLists]-->4. <!--[endif]-->Кто может самостоятельно применять изученные способы разложения многочлена на множители?
<!--[if !supportLists]-->5. <!--[endif]-->Кому еще нужна помощь?
VIII. Домашнее задание:если вы получили «2» или «3» , то № 998 (а,в),
№ 1002,
если вы получили «4», то № 1007,
№ 1092 (а),
если вы получили «5», то № 1085 (а,в),
№ 1089 (а,
Урок обобщающего повторения по теме: «Задачи на проценты»
11класс
Разноуровневое обобщающее повторение по теме:« Решение задач на проценты».
Умение решать задачи – практическое искусство,
подобное плаванию или катанию на лыжах,
или игре на фортопиано: научиться этому
можно, лишь подражая избранным
образцам и постоянно тренируясь.
Д. Пойа
Урок 1.«Решение базовых задач на проценты».
Цель:
Повторить, обобщить знания и умения учащихся по решению задач базового уровня, связанные с повседневным использованием процентных вычислений в настоящее время, формировать у учащихся умения решать задачи на нахождение части и числа по его части, устранить пробелы в знаниях по решению задач на проценты.
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->нахождение дроби от числа,
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->нахождение числа по его дроби.
Процентомназывают одну сотую часть числа.
1% от числа а, это<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->или 0,01а.
Так 1% равен сотой части величины, то вся величина равна 100%.
Процентами очень удобно пользоваться на практике когда хотим выразить части целых чисел в долях. Чаще всего проценты используются при денежных расчётах. Если необходимо найти проценты от данного числа, то это число принимаем за 100%.
<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->III.Устная работа по решению простейших задач.(5 минут).
На интерактивной доске записаны задания с закрытыми ответами( рис.1,3). После того, как ответ будет произнесён, можно ответ открыть для проверки правильности решений (рис.2,4).
Сегодня на уроке мы будем заниматься практическим искусством – решать задачи с помощью ранее повторенных правил. Вам будут предложены задачи базового уровня, которые встречаются на МЭ и ЕГЭ. Тексты задач проектируются на интерактивной доске и в виде раздаточного материала лежат на каждой парте ( количество задач дано с избытком ).
Задание №1.
Ученики посадили 50 деревьев, 30 из них берёзы.Сколько % составляют берёзы?
1)
92
2)
80
3)
60
4)
0,8
Задание №2.
Сколько процентов от суммы чисел 18, 10, 22 составляет число 17?
1)
0,34%
2)
34%
3)
17%
4)
50%
Задание №3.
В двух отделах магазина было одинаковое число продавцов. Через полгода в первом отделе продавцов стало в 1,5 раза , а во втором – на 100% больше, чем первоначально.В каком отделе продавцов стало больше?
1)
Во втором=
2)
Стало поровну
3)
В первом
4)
Для ответа недостаточно данных
Задание №4. В саду 400 плодовых деревьев, состав которых представлен на диаграмме. Сколько груш произрастает в саду?
В магазине цену товара снизили с 400р до 360 р. На сколько процентов снижена цена?
1)
x²+0,8x=324
2)
х-0,8x=324
3)
х+0,8x=324
4)
х=324-324·0,8
Задание №6.
Цену на костюм снизили на 15%, в результате чего он стоит теперь 1700рублей.Сколько стоил костюм до снижения цен?
<!--[if !supportLists]-->V. <!--[endif]-->Разноуровневая работа с классом.
После разобранных обязательных задач для слабых учащихся предлагается в тренировочном режиме тест для отработки элементарных умений и навыков двух вариантах ( приложение №1). На выполнение данного теста отводится 13 минут. В конце урока проводится проверка теста с помощью интерактивной доски(2 мин).
В это же время с учащимися средней группы рассматриваются задачи повышенной сложности ( 7 мин) и в конце урока им предлагается самостоятельная работа ( 8 мин, приложение №2). Самостоятельные работы сдаются учителю на проверку.
Задание 7.Прочитайте условие задачи: « В пятых и шестых классах школы учатся 324 ученика. Число учащихся пятых классов составляет 80% числа учащихся шестых классов. Сколько шестиклассников учатся в школе?»
Какое уравнение соответствует условию задачи, если х – число шестиклассников.
1)
x²+0,8x=324
2)
х-0,8x=324
3)
х+0,8x=324
4)
х=324-324·0,8
Задание 8.
Цена товара сначала повысилась на 10%, а затем его новая цена снизилась на 10%(от новой цены). Сравните последнюю цену товара с его первоначальной ценой.
Задание 9.Цена мобильного телефона была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повышалась цена мобильного телефона каждый раз, если его первоначальная стоимость 6000р., а окончательная 6615р.?
Подведение итогов урока. Задание на дом.
В домашнее задание входят задачи не решенные на уроке.
Приложение №1.
Вариант 1.
1.Запишите в виде процентов 0,23 .
1)
123%
2)
2,3%
3)
23%
4)
0,23%
2. Найдите 30% от 50 рублей.
1)
15руб.
2)
1,5 руб.
3)
20 руб.
4)
100 руб.
3.На сколько процентов число 500 больше 400.
Ответ:________.
4.Найдите значение величины, если 3,5% её равны 1,05.
1)
10
2)
35
3)
30
4)
300
5.Плата за коммунальные услуги составляет 800руб. Сколько придётся платить за коммунальные услуги после их подорожания на 6%.
1)
48 руб.
2)
480 руб.
3)
806 руб.
4)
848 руб.
6.Число дорожно-транспортных происшествий в летний период составило 0,7 их числа в зимний период. На сколько процентов уменьшилось число дорожно-транспортных происшествий летом по сравнению с зимой?
1)
На 70%
2)
На 30%
3)
На 7%
4)
На 3%
7..Результаты контрольной работы 9 классов школы №10 представили в виде диаграммы.Сколько учащихся получили отметку «3», если всего работу писало 350 учеников?
4.Найдите значение величины, если 2,8% её равны 1,96.
1)
7
2)
70
3)
0,7
4)
700
5.При покупке стиральной машины стоимостью 6500р.покупатель предъявил вырезанную из газеты рекламу дающую право на 5% скидки.Сколько он заплатил за машину.
1)
325 руб.
2)
3250 руб.
3)
6175 руб.
4)
6495 руб.
6.После уценки телевизора его новая цена составила 0,8 старой. Сколько процентов от старой цены составляет новая?
1)
0,8%
2)
8%
3)
20%
4)
80%
7.Статистику по изучению учащимися школы иностранных языков представили в виде диаграммы. Сколько учащихся изучают немецкий язык, если всего в школе 700 учеников?
№1. Из сахарной свеклы выходит 16% сахара. Сколько тонн сахара получиться из 625 т свеклы?
№2. Цена акции предприятия увеличилась на 1/2 % .Сколько стоит акция, если ее прежняя стоимость 5000рублей?
№3. Цену на товар сначала снизили на 20%, а затем ещё на 15%. После этого товар стал стоить 238 руб. какова была первоначальная стоимость товара?
2 вариант.
№1. Фасоль содержит 23% белка. Сколько кг белка содержит 12 кг фасоли?
№2. На кануне Нового года каждый сотрудник получил премию, составляющую 140% от его месячного заработка. Какую премию получил сотрудник, если его зарплата 6200 рублей.
№3. Через год цену на товар повысили на 20%, ещё через год новую цену подняли на 10%, и товар стал стоить 1056 рублей.Какова была первоначальная стоимость товара?
( см. презентации в приложении №4)
<!--[if !supportLists]-->6. <!--[endif]-->Развитие познавательных и исследовательских способностей учащихся
( из опыта работы учителей МОУ СОШ №16)
Исследовательская деятельность учащихся
(учитель информатики Семенов Н.Г.)
Под исследовательской деятельностью понимается деятельность учащихся, связанная с решением учащимися творческой, исследовательской задачи с заранее неизвестным решением (в отличие от практикума, служащего для иллюстрации тех или иных законов природы) и предполагающая наличие основных этапов, характерных для исследования в научной сфере, нормированную исходя из принятых в науке традиций: постановку проблемы, изучение теории, посвященной данной проблематике, подбор методик исследования и практическое овладение ими, сбор собственного материала, его анализ и обобщение, собственные выводы. Любое исследование, неважно, в какой области естественных или гуманитарных наук оно выполняется, имеет подобную структуру. Такая цепочка является неотъемлемой принадлежностью исследовательской деятельности, нормой ее проведения
Учебное исследование и научное исследование. Главным смыслом исследования в сфере образования есть то, что оно является учебным. Это означает что его главной целью является развитие личности учащегося, а не получение объективно нового результата, как в "большой" науке. Если в науке главной целью является производство новых знаний, то в образовании цель исследовательской деятельности - в приобретении учащимся функционального навыка исследования как универсального способа освоения действительности, развитии способности к исследовательскому типу мышления, активизации личностной позиции учащегося в образовательном процессе на основе приобретения субъективно новых знаний (т. е. самостоятельно получаемых знаний, являющихся новыми и личностно значимыми для конкретного учащегося).
Поэтому при организации образовательного процесса на основе исследовательской деятельности на первое место встает задача проектирования исследования. При проектировании исследовательской деятельности учащихся в качестве основы берется модель и методология исследования, разработанная и принятая в сфере науки за последние несколько столетий. Эта модель характеризуется наличием нескольких стандартных этапов, присутствующих в любом научном исследовании независимо от той предметной области, в которой оно развивается. При этом развитие исследовательской деятельности учащихся нормируется выработанными научным сообществом традициями с учетом специфики учебного исследования – опыт, накопленный в научном сообществе, используется через задание системы норм деятельности.
Развитие субъект-субъектных отношений при развитии исследовательской деятельности. В типичной образовательной ситуации, которая, как правило, определяет характер учебного процесса, реализуется стандартная позиционная схема «учитель» – «ученик». Первый транслирует знания, второй их усваивает; все это происходит в рамках отработанной классно-урочной схемы. При развитии исследовательской деятельности эти позиции сталкиваются с реалиями: нет готовых эталонов знания, которые столь привычны для классной доски: явления, увиденные в живой природе чисто механически не вписываются в готовые схемы, а требуют самостоятельного анализа в каждой конкретной ситуации. Это инициирует начало эволюции от объект-субъектной парадигмы образовательной деятельности к ситуации совместного постижения окружающей действительности, выражением которой является позиционная пара «коллега-коллега». Вторая важнейшая позиционная пара – «наставник-младший товарищ» предполагает ситуацию конструктивного сотрудничества учителя и ученика.
Современное понимание смысла исследовательской деятельности учащихся. В развитии исследовательской деятельности учащихся в России имеются давние традиции. Так, во многих регионах создавались и функционировали юношеские научно-технические общества и малые академии наук (Новосибирск, Симферополь и др.). Деятельность многих юношеских научно-технических обществ нередко сводилась к реализации в среде старших школьников модели функционирования академических исследовательских коллективов, реализации в упрощенном виде исследовательских задач лабораторий научно-исследовательских институтов. Главной целью этой деятельности являлась подготовка абитуриентов для вузов и формирование молодой смены для научно-исследовательских институтов. На деле это означало профориентацию и начальное профессиональное образование в области науки, реализацию учебно-воспитательного процесса в более индивидуализированном виде в дополнительно вводимой предметной области. В современных условиях, когда актуален вопрос о снижении учебной нагрузки детей, значение термина «исследовательская деятельность учащихся» приобретает несколько иное значение. В нем уменьшается доля профориентационного компонента, факторов научной новизны исследований, и возрастает содержание, связанное с пониманием исследовательской деятельности как инструмента повышения качества образования.
Отличие исследовательской деятельности от проектной и конструктивной. Главным результатом исследовательской деятельности является интеллектуальный, творческий продукт, устанавливающий ту или иную истину в результате процедуры исследования и представленный в стандартном виде. Необходимо подчеркнуть самоценность достижения истины в исследовании как его главного продукта. Часто в условиях конкурсов и конференций можно встретить требования практической значимости, применимости результатов исследования, характеристику социального эффекта исследования (например, природоохранный эффект). Такая деятельность, хотя часто называется организаторами исследовательской, преследует иные цели (сами по себе не менее значимые) – социализации, наработки социальной практики средствами исследовательской деятельности.
Специфика реализации исследовательских задач в школе. Не менее важные ограничения накладывают на тематику, характер и объем исследований требования возрастной психологии. Для юношеского возраста характерны еще невысокий общий образовательный уровень, несформированность мировоззрения, неразвитость способности к самостоятельному анализу, слабая концентрацией внимания. Чрезмерный объем работы и ее специализация, которые приводят к уходу в узкую предметную область, могут нанести вред общему образованию и развитию, которые являются безусловно главной задачей в этом возрасте. Поэтому далеко не каждая исследовательская задача, привнесенная из науки, пригодна для реализации в образовательных учреждениях. Такие задачи должны удовлетворять определенным требованиям, исходя из которых возможно установить общие принципы проектирования исследовательских задач учащихся в различных областях знания.
Классификация задач по сложности. Среди требований, предъявляемых к задачам, такие, как ограниченность объема экспериментального материала, математического аппарата обработки данных, ограниченность межпредметного анализа. По степени сложности анализа экспериментальных данных мы разделяем задачи на задачи практикума, собственно исследовательские и научные.
Задачи практикума служат для иллюстрации какого-либо явления. В этом случае изменяется какой-либо параметр (например, температура) и исследуется связанное с этим изменение, например, объема.Результат стабилен и не требует анализа.
Исследовательские задачи представляют собой класс задач, которые применимы в образовательных учреждениях. В них исследуемая величина зависит от нескольких несложных факторов (например, загрязненность местности в зависимости от расстояния до трубы завода и метеоусловий). Влияние факторов на исследуемую величину представляет собой прекрасный объект для анализа, посильного учащимся.
В научных задачах присутствуют много факторов, влияние которых на исследуемые величины достаточно сложно. Анализ таких задач требует широкого кругозора и научной интуиции и неприменимы в образовательном процессе.
Представление исследований. Представление исследования, имеет решающее значение во всей работе. Наличие стандартов представления является характерным атрибутом исследовательской деятельности и выражено достаточно жестко в отличие, например, от деятельности в сфере искусства. Таких стандартов в науке несколько: тезисы, научная статья, устный доклад, диссертация, монография, популярная статья. В каждом из стандартов определены характер языка, объем, структура. При представлении руководитель и учащийся должен с самого начала определиться с тем жанром, в котором он работает, и строго следовать его требованиям. Наиболее популярными на современных юношеских конференциях являются жанры тезисов, статьи, доклада. При этом в этих формах может быть представлены и не исследовательские работы, а, например, рефераты или описательные работы.
Классификация творческих работ учащихся в области естественных и гуманитарных наук. Анализ представляемых на конференции и конкурсы работ позволяет выделить следующие их типы:
Проблемно-реферативные - творческие работы, написанные на основе нескольких литературных источников, предполагающие сопоставление данных разных источников и на основе этого собственную трактовку поставленной проблемы.
Экспериментальные - творческие работы, написанные на основе выполнения эксперимента, описанного в науке и имеющего известный результат. Носят скорее иллюстративный характер, предполагают самостоятельную трактовку особенностей результата в зависимости от изменения исходных условий.
Натуралистические и описательные - творческие работы, направленные на наблюдение и качественное описание какого-либо явления. Могут иметь элемент научной новизны. Отличительной особенностью является отсутствие корректной методики исследования. Одной из разновидностей натуралистических работ являются работы общественно-экологической направленности. В последнее время, по-видимому, появилось еще одно лексическое значение термина “экология”, обозначающее общественное движение, направленное на борьбу с антропогенными загрязнениями окружающей среды. Работы, выполненные в этом жанре, часто грешат отсутствием научного подхода.
Исследовательские - творческие работы, выполненные с помощью корректной с научной точки зрения методики, имеющие полученный с помощью этой методики собственный экспериментальный материал, на основании которого делается анализ и выводы о характере исследуемого явления. Особенностью таких работ является непредопределенность результата, который могут дать исследования.
Развитие познавательных способностей учащихся
(Белоконь Н.В.)
Для развития познавательных способностей учащегося
способного:
-логически мыслить;
-самостоятельно добывать знания;
-адаптироваться к современным условиям жизни;
-быть коммуникабельным и коммуникативным.
Убеждена, что это все возможно реализовать только путем развития познавательной активности и самостоятельной деятельности учащихся на уроках , именно поэтому ставлю для себя задачи:
-включить каждого ученика в самостоятельную деятельность, обеспечивающую формирование и развитие познавательных потребностей;
-развить у учащихся самостоятельность и научить самостоятельно овладевать знаниями;
Могу смело заявить, что эффективность процесса обучения математике в наше время определяется многими факторами. Именно моя задача, прежде всего, воспитать активно мыслящую личность. От моего умения управлять процессом формирования знаний учащихся, развитием их мышления, во многом зависит, сможет ли ученик творчески подойти к изучаемому материалу. Я должна обеспечить не только простое запоминание материала, но и привить учащимся навыки и умения самостоятельно добывать знания.
В процессе обучения на всех уровнях, стараюсь поддерживать интерес к предмету через дифференцированный подход, ведь весь класс не представляет однородную массу. Для разных категорий учащихся ставлю разные цели: одни ученики должны достичь базового уровня математической подготовки, другие, проявляющие интерес к математике и обладающие хорошими математическими способностями, должны добиться более высоких результатов. Таким ученикам нужны разнообразные, нестандартные задания. Во время выполнения заданий тренировочного характера, я всегда даю более сложные задания.
Понятно, что мне как и любому другому учителю, хотелось, чтобы мои ученики быстро считали, умели аргументировать свои действия при решении любого задания, владели умениями решать основные типы задач и уравнений, что необходимо и при решении заданий повышенной сложности.
Мне удалось преодолеть эти трудности , но не дополнительными занятиями после основных уроков, которые утомляют и приносят не столько пользу, наоборот вред здоровью, а с помощью введения в урок игровых моментов. Используемые мной элементы игровых технологий прекрасно вписываются в учебный процесс, позволяют активизировать деятельность школьников и добиваться быстрого темпа урока. Ведь игра – творчество, игра – труд
Так в 6 классе в устную работу включаю задания, в которых надо найти ошибку, отгадать зашифрованное слово.
При прохождении темы « Формулы пути, скорости, времени» предлагаю учащимся самостоятельную работу, для выполнения которой надо отправиться в « космическое путешествие», ну, а время полета будет использовано для дальнейшего совершенствования и углубления знаний, итак,
1задание-путь до первой межзвездной станции
2задание-путь до второй межзвездной станции
3задание-обратный путь до Земли
Необходимо завершить весь полет, а значит выполнить все задания и всем вернуться.
Приведу пример 1задания:
<!--[if !supportLists]-->1. <!--[endif]-->Расстояние от Земли до Солнца 150000км. За какое время дойдет до Земли солнечный свет, если его скорость 300000км/с?
<!--[if !supportLists]-->2. <!--[endif]-->Во время солнечного затмения в 1981 году лунная тень прошла по территории нашей страны за 105 мин 7350 км С какой скоростью перемещалась тень луны?
<!--[if !supportLists]-->3. <!--[endif]-->Летчик – космонавт П.Р. Попович находился в полете 70 часов, скорость его корабля была 8 км/с .Какой путь прошел его космический корабль?
Аналогичного характера и 2 и 3 задания.
В конце урока вместе с детьми делаем вывод, что узнали, чего добились, какую новую информацию для себя получили, какие формулы помогли вернуться назад? Что понадобилось, чтобы вернулись все?
Такой подход позволяет мне больше спросить учащихся, заставить их говорить, быть активнее, уметь работать самостоятельно и быстро.
В процессе игры у детей вырабатывается привычка сосредоточиться , мыслить самостоятельно, развивается внимание, стремление к знаниям.
Увлёкшись, дети не замечают , что учатся, познают, работают самостоятельно, пополняют запас представлений. Даже самые пассивные из детей включаются в игру с огромным желанием, прилагают все усилия, чтобы не подвести товарищей по игре. Во время игры дети, как правило, очень внимательны, сосредоточены и дисциплинированы.
Так же убедилась, что одним из средств активизации познавательной деятельности школьников является широкое использование их жизненного опыта. Большую роль при этом играют практические работы, а также решение задач с практическим содержанием.
При объяснении темы «Координатная плоскость» в 6 классе начинаю с вопроса: можете ли вы указать из своей жизненной практики примеры, где положение объекта задаётся при помощи чисел. Учащиеся по очереди называют примеры: место в кинозале, положение фигуры на шахматной доске, широта и долгота места на карте и др. Предлагаю после закрепления данной темы на компьютере выполнить практическую работу. Построить фигуру в координатной плоскости по заданным координатам. Ребята смогли и сами придумать задания .
В старших классах, для того, чтобы больше сэкономить времени для решения дополнительных, нестандартных задач, применяю метод крупноблочного изучения. Убедилась, что при таком подходе, учащиеся с большим интересом решают самостоятельно задачи, причем на решение каждой из них уходит гораздо меньше времени, чем при обычном проведении урока.
Опыт работы позволил мне сделать соответствующие выводы, что одним из путей развития творческой активности учащихся является умело организованная система самостоятельных работ на уроках математики и если эту систему вводить продуманно, то учащиеся быстро осваиваются с ней и она становится для них привычной и дети смогут в полной мере испытать чувства эмоционального удовлетворения от сделанного, радость победы над преодолениями трудностей, счастье познания нового, интересного, что приведёт их к возникновению потребностей в творчестве, познании.
Цель:углубить и расширить знания по теме:«Логарифмы».
Задачи:
-познакомиться с историей возникновениялогарифмов и числа е;
-рассмотреть свойства и график логарифмическойфункции;
-показать применение логарифмов в музыке, физике,астрономии;
-рассмотреть применение логарифмов валгебраических головоломках и софизмах.
Введение.
Пятым действием в математике наряду со сложением,вычитанием, умножением и делением считаетсявозведение в степень.
Действие - возведение в степень - имеет два обратных. Если ав=с, то определение числа а есть одно обратное действие - извлечение корня; нахождение же в - другое, логарифмирование.
В школьном курсе математики учащиеся получают лишь основы учения о логарифмах.
Потому меня заинтересовали вопросы: когда и кем были придуманы логарифмы?; для решения каких задач?; в каких областях, кроме математики, применяются логарифмы?
Ответы на эти вопросы попытаюсь раскрыть в своейработе.
Изобретение логарифмов.
Изобретение логарифмов, название их и первые таблицы логарифмов принадлежат шотландскому любителю математики Джону Неперу(1550-1617), хотя раньше его составил первыетаблицы логарифмов также любитель математики - часовщик и мастер астрономических приборов швейцарец И.Бюрги (1552-1632), работавший вычислителем с астрономом И.Кеплером.Однако таблицы Бюрги были опубликованы в 1620 г., а таблицыНепера появились в 1614 г. Вычислением логарифмических таблиц эти талантливые люди занимались параллельно, но независимо один от другого. При составлении таблиц оба они руководствовались идеей, высказанной ещё Архимедом, а затемболее подробно исследованной М.Штифелем в работе «Общаяарифметика»(1544). М.Штифель, сопоставив арифметическую игеометрическую прогрессии, указал многие свойства изависимости двух этих рядов, а затем написал: «Можно было бынаписать целую книгу об этих замечательных свойствах числовых рядов, однако этим ограничусь и пройду мимо сзакрытыми глазами». И он действительно пошел мимовозможности применить свойства указанных прогрессий для совершенствования вычислений.
Разработка идеи Архимеда и Штифеля приводит к понятиюлогарифма. Из различных систем логарифмов замечательны две:логарифмы с иррациональным основанием е=2,7182818284...,которые носят названиенатуральных,и системы логарифмов с основанием 10, называемыедесятичнымилогарифмами.
Логарифмическая функция. Число е.
Уравнение х=ау при х > 0 имеет один вещественный корень. Этоткорень называют логарифмом числа х по основанию а.
Записывают такую зависимость формулойy=logaxи называют логарифмической функцией.
График логарифмической функции - кривая, симметричная графику показательной функции у=ах относительно биссектрисы первого координатного угла хОу.
Зная свойства показательной функции, легко установить свойствалогарифмической функции. Вот некоторые из них:
1) Область определения логарифмической функции - множество всех положительных чисел, а множество всех действительныхчисел служит областью значений этой функции.
2)logaa=l.
3) Если х > 1, тоlogax>0, и , наоборот, если х<1, тоlogax<0.
Допустим, в равенстве х=ауу получает последовательно значения:
0,1,2,3,4,..., у,у+1,(2)
тогда х выразится так:1,а',a2,aJ,a4,...,ay, ау+1. (3)
Ряд (2) - прогрессия арифметическая, а ряд (3)- прогрессиягеометрическая. Члены арифметической прогрессии являются, посути, логарифмами по основанию а. Но в те времена показателистепени ещё не употреблялись.
Непер и Бюрги должны были решить, какое число взять за основание, чтобы ряд (3) был гуще, т.е. чтобы разность между двумя соседними членами была по абсолютному значению возможно меньше. Зная, что любая степень 1 равна 1,математики предположили, что числа вида 1+0,0001 или 1-107при последовательном возведении в степени 1,2,3,...,nдадут числа, достаточно близкие по своему значению друг к другу. Поэтому Непер воспользовался последовательностью чисел<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->=0,9999999, а Бюрги-1+10"4. Иными словами, первыйиспользовал равенство<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, а второй -<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->.И.Бюрги начал свои вычисления и составление таблиц, логарифмов в 1603 г. Он составил таблицу степеней<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, при этом в неявном виде он допускал непрерывность между рядами (2) и (3). В 1611 г. Бюрги завершил составление таблиц ипо настоянию И.Кеплера решил их опубликовать, но напечатаныони были только в 1620 г. под названием «Таблицы арифметической и геометрической прогрессий с обстоятельнымнаставлением, как ими пользоваться при всякого рода вычислениях». Однако таблицы Бюрги не получили широкогораспространения, так как прежде появились таблицы Непера.Непер составил таблицу логарифмов синусов. Взяв знаменателемпрогрессии число<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, он получил убывающий ряд, что позволило внести в таблицу больше чисел, среди которых два соседних составляли небольшую разность<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->. Допустим,разность значений рядом стоящих членов последовательности хки хк+1 будет<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, причем им будут соответствовать в другойпоследовательности члены у и у+1, тогда<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, но ау=х, поэтому<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->. У Непера<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->.
Обычный член последовательности (4) можно представить в виде<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, где<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->. Иначе говоря, эта последовательность выступает в виде степеней числа<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->. Таким образом,zесть логарифм числаx по основанию<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->. Следовательно, неперовы логарифмы, преобразование которых мы выполнили, - это частный случай натуральных логарифмов, с основанием<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->.
Во втором издании Неперова «Описание удивительного канона логарифмов» (1618), вышедшим после смерти автора, сделано дополнение, в котором вычислено несколько натуральных логарифмов. В сделанном дополнении можно усмотреть подход к внедрению предела<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->при<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->. В том же году некоторые натуральные логарифмы были найдены Райтом. Позже англичанин Джон Спейдель опубликовал в 1620 году «Новые логарифмы», которые содержали натуральные логарифмы чисел от 1 до 1000. достаточно полные таблицы натуральных логарифмов появились только в 1770 году. Таблицы Непера значительно упрощали труд вычислителя, но они все же были далеки от совершенства, что признавал и сам автор. Поэтому он вместе со своим другом профессором Генри Бриггсом (1561 – 16310 занялся составление десятичных логарифмов. Вычисление этих логарифмов закончил после смерти Непера Бриггс и опубликовал в 1624 году в «Логарифмической арифметике». Четырехзначные десятичные логарифмы Бриггса содержали целые числа от 1 до 20000. в 1628 году голландский математик Адриан Влакк дополнил труды Непена и Бриггса – он создал десятичные таблицы целых чисел от 1 до 100000. на основе этих таблиц в 1703 году были напечатаны в России «Таблицы логарифмов и синусов, тангенсов и секансов тщанием и за освидетельствованием математических и навигационных школ учителей Андрея Фархварсона, Стефана Гвина и Леонтия Магницкого». Многолетний труд талантливых и трудолюбивых математиков, затраченный на составление таблиц, впоследствии сторицей окупился тем, что тысячам вычислителей сохранил многие годы их жизни, сэкономив время при выполнении разнообразных сложных расчетов.
Таблицы логарифмов и логарифмическая линейка. Сконструированная на их основе Оутредом (1574 – 1660), свыше 230 лет оставались надежным аппаратом для приближенных, но быстрых вычислений. Они в значительной мере содействовали ускорению научного и технического прогресса. Однако с появление ЭВМ, которые способны ускорять процесс вычислений в миллионы раз, а особенно с изобретением компьютеров логарифмические таблицы практически потеряли свое значение вычислительного аппарата.
Натуральные логарифмы имели и продолжают иметь не только практическое значение, ни и чисто теоретическое в математическом анализе. В концеXVII и в началеXVIIIвеке трудами И. Ньютона и Г. Лейбница были заложены основы математического анализа. Дальнейшая разработка и совершенствование математического анализа произошли благодаря усилиям Л. Эйлера, Н. Абеля, Ж. Даламбера, О. Коши. В работах этих математиков описано учение о рядах логарифмов. Используя разложение в ряд, оказалось возможным быстрее и с заранее намеченной точностью находить пределы значений различных величин. Оказалось, что двучлен, взятый за основание натурального логарифма<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, при<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->стремится к определенному пределу. Коутс (Котес) в 1714 году нашел, что этот двучлен можно представить в виде непрерывной дроби.А Эйлер выразил его так:<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->;
Указанный ряд позволяет вычислить ее с любой степенью точности. Приn=12! Для ряда (5) е= 2,718281183… .
Число е можно определить уровнемln=1.
Замечательным свойством обладает график функции<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->. Если построить график функции<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->и найти, под каким углом крива, соответствующая этой функции. Пересечет ось Оy, окажется, что угол между осью Оу и касательной к кривой выразится числом около<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->. График функции<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->пересечет ту же ось под углом<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->. Можно предположить, что существует функция, график которой пересекает ось Оу под углом<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->. Оказывается, этой функцией будет<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->.
С серединыXVII века появилось предположение, что число е, так же как число<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, иррационально. Однако доказать эту догадку долгое время даже не пытались. После того как Л. Эйлер доказал, что<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, и высказал предположение – числа е и<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->трансцендентны, И. Ламберт в работах «Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга» (1766) и в «Мемуаре о некоторых замечательных свойствах круговых и логарифмических трансцендентных количеств», отправляясь от разложения в непрерывную дробь числа е и<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, воспользовавшись приемом Эйлера, доказал, что числа е и<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->иррациональны.
Эрмит, опираясь на предшествующие исследования, в 1873 году доказал трансцендентность числа е, т.е. число е не может быть корнем никакого алгебраического уравнения.
Особый интерес к числам е и<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, проявившийся вXVIII столетии, был вызван исключительной ролью, которую эти числа стали играть в математическом анализе. Они входят в большое число различных формул. Логарифмы по основанию е позволяют выражать математическую зависимость, которая характеризует разнообразные химические, физические процессы. Число е входит в барометрическую формулу, в формулу Эйлера, в формулу радиоактивного распада и возраста Земли, в формулу колебания маятника в воздухе, в формулу Циолковского для скорости ракеты, в формулу колебательных явлений в радиоконтуре, в формулу роста клеток. По-видимому, этим объясняется название «натуральные логарифмы», т.е. естественные. Термин «натуральные логарифмы» ввел П. Ме6нголи (1659), вслед за ним этим термином воспользовался Н. Меркатор (1668). Принятое ныне определение логарифма дано в работах Л. Эйлера. Число е назвали в честь Непера «неперовым числом».
Логарифмы на эстраде
Самый поразительный из номеров, выполняемых перед публикой профессиональными счетчиками, без сомнения следующий. Предуведомленный афишей, что счетчик-виртуоз будет извлекать в уме корни высоких степеней из многозначных чисел, вы заготовляете дома путем терпеливых выкладок 31-ю степень какого-нибудь числа и намерены сразить счетчика 35-знасным числовым линкором. В надлежащий момент вы обращаетесь к счетчику со словами:
- А попробуйте извлечь корень 31-степени из следующего 35-значного числа! Запишите, я продиктую.
Виртуоз-вычислитель берет мел, но прежде чем вы успели открыть рот, чтобы произнести первую цифру, у него уже написан результат: 13.
Не зная числа, он извлек из него корень, да еще 31-й степени, да еще с молниеносной быстротой!..
Вы изумлены, уничтожены, а между тем во всем этом нет ничего сверхъестественного. Секрет просто в том, что существует только одно число, именно 13, которое в 31-й степени дает 35-значный результат. Числа, меньше 13, дают меньше 35-цифр, больше – больше.
Откуда, однако, счетчик знал это? Как разыскал он число 13? Ему помогли логарифмы, д в у з н а ч н ы е логарифмы, которые он помнит наизусть для первых 15 – 20 чисел. Зная твердо логарифмы 2, 3, 7, вы уже знаете логарифмы чисел первого десятка; для второго десятка требуется помнить логарифмы еще четырех чисел. Как бы то ни было, эстрадный вычислитель мысленно располагает следующей табличкой двузначных логарифмов:
Числа
Логарифм
Числа
Логарифм
2
0,3
11
1,04
3
0,48
12
1,08
4
0,6
13
1,11
5
0,7
14
1,15
6
0,78
15
1,18
7
0,85
16
1,2
8
0,9
17
1,23
9
0,95
18
1,26
Изумивший вас математический трюк состоял в следующем:
Искомый логарифм может заключаться между 1,09 и 1,13. в этом интервале имеется логарифм только одного целого числа, именно 1,11 – логарифм 13. таким путем и найден ошеломивший вас результат. Конечно, чтобы быстро проделать все это в уме, надо обладать находчивостью и сноровкой профессионала, но по существу дело, как видите, достаточно просто. Вы и сами можете теперь проделывать подобные фокусы, если не в уме, то на бумаге. Пусть вам предложена задача: извлечь корень 64-й степени из 20-значного числа.
Не осведомившись о том, что за число, вы можете объявить результат извлечения: корень равен 2.
В самом деле<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->; он должен, следовательно, заключаться между 0,29 и 0,32. такой логарифм для целого числа только один: 0,3…, т.е. логарифм числа 2.
Вы даже можете окончательно поразить загадчика, сообщив ему, какое число он собирался вам продиктовать: знаменитое «шахматное» число<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->.
Логарифмы на животноводческой ферме
Задача.
Количество так называемого «поддерживающего» корма пропорционально наружной поверхности тела животного. Зная его, определите калорийность поддерживающего корма для вола, весящего 420 кг, если при тех же условиях вол 630 кг весом нуждается в 13500 калориях.
Решение.
Чтобы решить эту практическую задачу из области животноводства, понадобится, кроме алгебры, привлечь на помощь и геометрию. Согласно условию задачи искомая калорийность х пропорциональна поверхности (s) вола, т.е.<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, где<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->- поверхность тела вола, весящего 630 кг. Из геометрии мы знаем, что поверхности (s) подобных тел относятся, как квадраты их линейных размеров (1), а объемы и веса – как кубы линейных размеров. Поэтому<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, откуда<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->.
С помощью логарифмических таблиц находим: х=10300. вол нуждается в 10300 калориях.
Логарифмы в музыке
Музыканты редко увлекаются математикой; большинство из них, питая к этой науке чувство уважения, предпочитают держаться от нее подальше. Между тем музыканты – даже те, которые не проверяют, подобно Сальери у Пушкина, «алгеброй гармонию», - соприкасаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими страшными вещами, как логарифмы.
Позволю себе по этому поводу привести отрывок из статьи покойного физика профессора А. Эйхенвальда.
«Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом ничего не имеют общего. Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприменимой».
Музыкант играя, по клавишам современного рояля, играет собственно говоря ,на логарифмах… И действительно, так называемые «Ступени» темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Только основание этих логарифмов равно 2, а не 10, как принято в других случаях.
Положим, что нотаdо самой низкой октавы – будем называть нулевой октавой – определенаnколебаниями в секунду. Тогдаdо первой октавы будет делать в секунду 2nколебаний, аm-й октавы<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->колебаний и т.д. Обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерамиp, принимая основной тонdо каждой октавы за нулевой; тогда, например, тонsolбудет 7-ой,laбудет 9-ой и т.д.; темперированный хроматической гамме каждый последующий тон имеет в<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->большее число колебаний, чем предыдущий, то число колебаний любого тона можно выразить формулой<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->.
<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, а принимая число колебаний самого низкогоdо за единицу (n=1) и переводя все логарифмы к основанию, равному 2 или принимаяlg2=1, имеем:<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->.
Отсюда видим, что номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков. Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой характеристику, а номер звука в данной октаве – мантиссу этого логарифма.
Например, в тонеsolтретьей октавы, т.е. в числе<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, число 3 есть характеристика логарифма числа колебаний этого тона, а<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->- мантисса того же логарифма при основании 2; число колебаний, следовательно, в<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, т.е. в 11,98 раза больше числа колебаний тонаdо первой октавы.
Звезды, шум и логарифмы.
Заголовок этот, связывающий столь, казалось бы, несоединимые вещи, не притязает быть пародией на произведения Козьмы Пруткова; речь, в самом деле, пойдет о звездах и о шуме в тесной связи с логарифмами.
Шум и звезды здесь объединяются потому, что и громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом – по логарифмической шкале.
Астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т.д.
Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Звезда, например, третьей величины ярче звезды первой величины в<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, т.е. в 6,25 раза. Иначе говоря, оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.
Сходным образом оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости служит «бел», практически его десятая доля, «децибел».
Последовательные степени громкости – 10 децибел, 20 децибел и т.д.- составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Энергия этих шумов составляет прогрессию геометрическую со знаменателем 10. Разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов 10. Значит, громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы. Рассмотрим несколько приемов.
Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь – в 6,5 бела, рычанье льва – в 8,7 бела. Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в
Шум, громкость которого больше 8 бел, признается вредным для человеческого организма. Указанная норма на многих заводах превосходится: здесь бывают шумы в 10 и более бел; удары молотка в стальную плиту порождают шум в 11 бел. Шумы эти в 100 и 1000 раз сильнее допустимой нормы и в 10 – 100 раз громче самого шумного места Ниагарского водопада (9 бел).
Случайность ли то, что и при оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет, то и другое – следствие общего закона, гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.
Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии.
Логарифмы в электроосвещении.
Задача.
Причина того, что наполненный газом лампочки дают более яркий свет, чем пустотные с металлической нитью из такого же материала, кроется в различной температуре нити накала. По правилу, установленному в физике, общее количество света, испускаемое при белом калении, растет пропорционально 12-ой степени абсолютной температуры. Зная это, проделаем такое вычисление: определим, во сколько раз «полуваттная» лампа, температура нити накала которой<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->абсолютной шкалы испускает больше света, чем пустотная с нитью, накаленной до<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->.
Решение.
Обозначив искомое отношение черезx, имеем уравнение
Наполненная газом лампа испускает свет в 4,6 раза больше, нежели пустотная. Значит, если пустотная дает свет в 50 свечей, то наполненная газом при тех же условиях даст 230 свечей.
Сделаем еще расчет: какое повышение абсолютной температуры (в%) необходимо для удвоения яркости лампочки?
Наконец, третье вычисление: насколько (в%) возрастает яркость лампочки, если температура ее нити (абсолютная) поднимается на 1%.
Решение.
Выполняя с помощью логарифмов вычисление
x=1,01¹²,
находим:
x= 1,13.
Яркость возрастает на 13%.
Проделав вычисление для повышения температуры на 2%, найдем увеличение яркости на 27%, при повышении температуры на 3%-увеличение яркости на 43%.
Завещания на сотни лет.
Многие из вас знают легенду об изобретателе шахматной игры, который потребовал себе в награду пшеничные зерна. Число зерен составлялось путем последовательного удвоения единицы: за первое поле шахматной доски изобретатель потребовал 1 зерно, за второе – 2 и т.д., все, удваивая, до последнего, 64 – го поля.
Однако с неожиданной стремительностью числа растут не только при последовательном удвоении, но и при гораздо более умеренной норме увеличения. Капитал, приносящий 5%, увеличивается ежегодно в 1,05 раза. Как будто не столь заметно возрастает. А между тем по прошествии достаточного промежутка времени капитал успевает вырасти в огромную сумму. Этим объясняется поражающее увеличения капиталов, завещанных на весьма долгий срок. Кажется странным, что, оставляя довольно скромную сумму, завещатель делает распоряжения об уплате огромных капиталов. Известно завещание знаменитого американского государственного деятеля Веньямина Франклина. Оно опубликовано в «Собрании разных сочинений Веньямина Франклина». Вот извлечение из него: «Препоручаю тысячу фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут давать их с процентами, по 5 на сто в год, в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через сто лет возвысится до 131 000 фунтов стерлингов. Я желаю, чтобы тогда 100000 фунтов употреблены были на постройку общественных зданий, остальные же 31000 фунтов отданы были в проценты на 100 лет. По истечении второго столетия сумма возрастает до 4060000 фунтов стерлингов, из коих 1060000 фунтов оставляю в распоряжении бостонских жителей, а 3000000 – правлению Массачузетской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов».
Оставляя всего 1000 фунтов, Франклин распределяет миллионы. Здесь нет, однако, никакого недоразумения. Математический расчет удостоверяет, что соображения, завещателя вполне реальны. 1000 фунтов, увеличиваясь ежегодно в 1,05 раза, через 100 лет должны превратиться в
После сокращения на 1g <!--[if supportFields]>QUOTE <![if gte vml 1]> <![endif]><![if !vml]><![endif]><![endif]--><!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if supportFields]><![endif]-->имеем: 2>3. В чем ошибка этого доказательства?
Решение.
Ошибка в том, что при сокращении на 1g <!--[if supportFields]>QUOTE <![if gte vml 1]> <![endif]><![if !vml]><![endif]><![endif]--><!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if supportFields]><![endif]-->не был заменен знак неравенства (> на <); между тем необходимо было это сделать, так как 1g <!--[if supportFields]>QUOTE <![if gte vml 1]> <![endif]><![if !vml]><![endif]><![endif]--><!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if supportFields]><![endif]-->есть число отрицательное. Если бы логарифмировали по основанию не 10, а другом, меньше чем <!--[if supportFields]>QUOTE <![if gte vml 1]> <![endif]><![if !vml]><![endif]><![endif]--><!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if supportFields]><![endif]-->, то 1g <!--[if supportFields]>QUOTE<![if gte vml 1]> <![endif]><![if !vml]><![endif]><![endif]--><!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if supportFields]><![endif]-->был бы положителен, но неправильно было бы тогда утверждать, что большему числу соответствует больший логарифм.
Алгебраическая головоломка.
Закончу свой реферат алгебраической головоломкой. Предлагается задача: любое данное число, целое и положительное, изобразить с помощью трех двоек и математических символов.
Решение сначала покажу на частном примере. Пусть данное число 3. Тогда задача решается так:<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->.
Легко удостовериться в правильности этого равенства.
причем число радикалов равно числу единиц в заданном числе.
Заключение.
Работа над рефератом «Седьмое математическое действие» позволила мне расширить и углубить знания по теме: «Логарифмы».
Изучая дополнительную литературу, я сделала для себя много открытий о применении логарифмов в различных областях науки.
Я узнала, какую роль играют логарифмы в астрономии, физике и банковском деле.
Изумление и восхищение логарифмами высказал современник Непера Бригг следующим образом: «Своим новым и удивительными логарифмами Непер заставил меня усиленно работать и головой и руками».
Такое же восхищение и изумление вызвало и у меня применение логарифмов в различных областях науки.
Литература.
<!--[if !supportLists]-->1) <!--[endif]-->Москва «Наука» 1978 г. Я.И. Перельман «Занимательная алгебра».
<!--[if !supportLists]-->2) <!--[endif]-->Москва «Просвещение» 1983 г. Г.И. Глейзер. «История математики в школе.IX–X классы».
1. Опыт работы учителя математики Ледовской Евгении Николаевны по теме «Активизация познавательной деятельности учащихся на уроках математики для создания личностно – ориентированной ситуации»
Для современного общества характерны новые черты личности. Её развитие сегодня невозможно без владения необычайно высоким уровнем и большим, постоянно меняющимся объемом знаний. Поэтому, начиная с 2000 года, в стране развернулась широкомасштабная программа по модернизации образования, в том числе осуществляется претворение в жизнь рекомендаций по реализации приоритетного национального проекта «Образование». На первый план выходит личностно – ориентированное обучение, основанное на глубокой дифференциации и индивидуализации. Свою главную учительскую, а вообще и человеческую, задачу я вижу в том, чтобы помочь ученику стать свободной, творческой и ответственной личностью. А вот вызвать и поддержать такое желание – это для меня задача трудная и интересная, тем более, что в каждом классе её приходится решать по-своему. Активизация познавательной деятельности учащихся, развитие способности мыслить свободно, без страха, творчески – очень важная педагогическая задача.
Учебник – важный источник знаний учащихся. Он выступает как эффективное средство закрепления изложенного материала и активизации умственной деятельности школьников, ведь работа над учебником неизбежно связана с применением метода сравнения, с аналитической деятельностью мышления. Познавательный интерес, качество знаний во многом зависят от степени владения учащимися рациональными методами работы с учебником, книгой, справочной и иной литературой. Уже с пятого класса я систематически организую работу по развитию у детей умения читать и понимать текст, не пропуская новые слова, выделять в тексте главное, учу воспроизводить встречающиеся в учебнике элементы рассуждений, доказательств. Эта работа позволяет формировать навыки и приёмы работы с книгой. Планируя уроки математики, выделяю те разделы или отдельные вопросы, которые ученики будут изучать самостоятельно. Формы организации этой работы могут быть следующими: самостоятельное чтение и выделение основных моментов и главной мысли в тексте; самостоятельное изучение пункта с предварительной постановкой учителем вопросов; самостоятельное изучение и составление плана ответа; самостоятельное изучение и конспектирование материала; самостоятельное изучение и составление тезисов.
В своей работе для активизации познавательной деятельности учащихся использую и такую форму организации элемента урока, как взаимообучение и взаимоконтроль (уроки общения). На таком уроке каждый ученик изучает новый материал с соседом по парте. Ребята читают учебник (тему), сами отвечают на вопросы, решают задачи, примеры, проверяя друг друга.
Перед этим я провожу инструктаж о порядке работы:
- прочитайте заданный пункт;
-подготовьте ответы на вопросы, записанные на доске;
-помогите подготовиться своему соседу;
- ответьте соседу на все вопросы и выслушайте его ответы на них, исправляя ошибки;
- сообщите учителю о своей готовности и готовности соседа отвечать на вопросы;
- говорите при этом тихо.
Ученики приступают к работе. Первые подготовившиеся ребята отвечают материал учителю. Затем они назначаются ассистентами и проверяют другие пары. Ученики, хорошо ответившие ассистентам, также становятся ассистентами и опрашивают других учащихся.
Такая работа развивает математическую речь учащихся, приучает работать с учебником, воспитывает чувство взаимопомощи. Эта организация равноправного партнёрского общения в ходе учебного взаимодействия обеспечивает личностно-ориентированную направленность урока.
Одним из способов, дающих возможность держать внимание всего класса, и при этом способствующим развитию мышления учащихся является лабораторно-практическое занятие. Выполняя задания по построению тех или иных геометрических фигур, ребята, кроме того, учатся работать с чертёжными инструментами, опытным путём устанавливают свойства простейших геометрических фигур, формулируя их в виде некоторых суждений. Факты, полученные в результате самостоятельной экспериментальной работы, дольше удерживаются в памяти. Вот пример лабораторных работ:
Тема «Треугольник».
1. Начертите какой-нибудь треугольник, обозначьте его АВС.
2. Измерьте длины всех его сторон.
3. Сравните длину какой-либо его стороны с суммой длин других его сторон.
Сделайте вывод.
Вывод: В треугольнике АВС сумма длин двух любых его сторон больше
длины третьей его стороны.
Для управления познавательной деятельностью учеников сочетаю индивидуальную, парную, групповую формы работы на уроке. Остановлюсь на групповой форме работы, которую использую на своих уроках. Класс разбивается на несколько групп по 4 - 6 человек. Дети в группах с разным уровнем развития. В группе назначается (или выбирается) старший, который помогает учителю в организации работы, проставляет оценки в оценочную ведомость. Все группы получают задания. Задания выполняют все в группе, при этом идёт обсуждение, спор, опрос друг друга, решение задач различными способами с последующим обсуждением и т.д. Каждый участвует в работе, вносит свой посильный вклад; сильный объясняет слабому, каждый поднимается на ступеньку выше. Затем группа должна защитить перед классом своё решение.
Выслушав все группы или часть групп, учащиеся приходят к общему выводу. Таким образом, все ученики всё полезное время потратили на достижение главной цели урока. Я как учитель только направляю работу, частично помогаю, корректирую. При групповой работе создаются следующие условия:
- понимание ученика и уважение к нему (он чувствует себя значимым, полезным, с ним совещаются, разговаривают);
- помощь со стороны учащихся и учителя при необходимости. Помощь незаметная, грамотная, посильная;
- каждый ученик в конце урока получает удовлетворительную оценку за свой труд. Существует два вида оценки: самооценка (с/о) и оценка группы ( о/г ). Ученик сам себе выставляет оценку за работу на каком-то этапе урока, критерии самооценки предлагает учитель. Оценка группы выставляется после обсуждения членами группы, вклада каждого ученика при изучении какого-либо вопроса.
Одним из способов активизации познавательной деятельности учащихся на уроке, который я нередко применяю в своей работе, является создание проблемной ситуации. Мыслить человек начинает, когда у него появилась потребность что-то понять. Мышление обычно начинается с вопроса, с удивления или недоумения, с противоречия, то есть с проблемы.
Я использую проблемные ситуации совершенно разной природы, это может быть и недостаток или несоответствие знаний, средств и способов их применения, и необходимость произвести какие-то неизвестные действия для достижения цели, и выбор между несколькими объектами. Главное, не просто увидеть проблему, а понять и захотеть её решить. Далее учащиеся сами (конечно, под моим контролем ) должны пройти ряд этапов:
- проанализировать ситуацию;
- точно сформулировать учебно-познавательную проблему;
- грамотно выдвинуть гипотезу;
- проверить, хватит ли им знаний для решения проблемы ( на этом этапе я особенно слежу внимательно, чтобы ученик, попав в положение невозможности разрешения вопроса, не отчаялся, надо вовремя прийти ему на помощь).
Следующий шаг – это доказательство гипотезы на основе полученных знаний. Когда результат получен, и ученик гордится своими достижениями, я могу считать свою работу выполненной. Ведь школьник почувствовал прелесть открытия, а значит, познакомился с живой математикой.
Для активизации познавательной деятельности на своих уроках применяю игру. Считаю, что правильно подобранные и хорошо организованные дидактические игры, используемые мною на уроках, способствуют всестороннему, гармоничному развитию школьников, помогают выработать необходимые в жизни и учёбе навыки и качества. Игры способствуют развитию у ребят памяти, внимания, творческого воображения, воспитанию у них наблюдательности, привычки к самопроверке, учат подчинять свои действия поставленной задаче, доводить начатую работу до конца. В играх важным стимулом является элемент соревнования, так как в соревнованиях проявляются активность ученика и воля к победе. Увлёкшись, дети не замечают, что учатся. Познают, запоминают новое, ориентируются в необычных ситуациях, пополняют запас представлений, понятий, развивают фантазию. Даже самые пассивные ребята включаются в игру с огромным желанием. Прилагая все усилия, чтобы не подвести товарищей по игре. Включение в урок дидактических игр и игровых моментов делает процесс обучения интересным и занимательным, создаёт у детей бодрое настроение, облегчает преодоление трудностей в усвоении учебного материала, поддерживает и усиливает интерес детей к учебному труду.Считаю игру могущественным незаменимым рычагом умственного развития ребёнка.
Приведу примеры игровых моментов, используемых мною при проведении уроков:
<!--[if !supportLists]-->1. <!--[endif]-->Игра « Найти ошибку». Эту игру я использую и в ходе проверки домашнего задания, и на этапе актуализации знаний в ходе устной работы, и при закреплении изученного материала. Например, при изучении правила деления обыкновенных дробей для проверки усвоения материала предлагаю заранее заготовленные выполненные задания:
Ребята, один ученик в каждом из данных примеров допустил ошибку. Давайте ему поможем. С помощью учащихся исправляются ошибки и записываются верные решения.
Дифференциация в образовании есть средство реализации личностно-ориентированного подхода к учащимся. Закрепление и применение знаний в условиях дифференцированного обучения предоставляет мне широкую возможность активизировать познавательную деятельность учащихся, приобщить к особенностям учебной работы отдельных детей или их групп.
При закреплении и применении знаний важное место занимают различные виды самостоятельной работы учащихся, Преобладающей формой дифференциации самостоятельных работ является вариативно-групповая. Предлагаю 3-4 варианта самостоятельной работы. Знакомлю весь класс с заданиями. Ученики обдумывают и выбирают для себя посильный вариант. Каждый вариант предназначен для определённой группы учащихся.
Отдельным группам даю разъяснение возможных затруднений с целью предотвращения ошибок. Этот приём характерен для этапа первичного закрепления, когда происходит по сути «доусвоение» нового материала, и выявляются проблемы. Дозированная помощь может быть включена в текст самого дифференцированного задания, которое чаще всего даётся на карточках. В качестве вспомогательного средства использую образцы выполнения заданий, схемы, чертежи, начало решения, алгоритм пошагового решения, указание на страницу учебника, где можно найти справку.
Результативность работы
Год обучения
Качество знаний
Обученность
2005 -2006 уч.год
41,2%
100%
2006 -2007 уч.год
43,7%
98%
2007 -2008 уч.год
43,8%
100%
30 % моих выпускников мотивированы на продолжение обучения после окончания школы в ВУЗах по специальностям, при получении которых профилирующим предметом является математика.
Из числа выпускников последних трех лет пять учащихся награждены серебряными медалями.
2. Активизация познавательной деятельности учащихся на уроках математики.
Задача развития навыков мышления – одна из главных задач в школе. Математика – область знаний, осваивая которую, ученик учится думать. Большинству выпускников школ она ни когда не понадобиться в чистом виде, но практика мышления, которую ученики приобрели, изучая математику, является прочным фундаментом любой сферы деятельности. Не зря еще древние греки видели в геометрии не обходимую пропедевтику для философии, об этом свидетельствует известная надпись на дверях Академии Платона, запрещавшая переступать порог всякому, кто чужд геометрии.
Современный учитель – это тот, кто учит самому учению. Учит не столько действовать, сколько планировать будущее действие, ставить цель и искать способы ее достижения. Поэтому учитель сегодня должен не только хорошо владеть учебным материалом, но и творчески подходить к каждому уроку, постоянно находиться в поиске новых методов и приемов, хорошо знать психологию ученика.
2.Цель и задачи .
Главная цель моей деятельности – создание условий для раскрытия индивидуальных способностей учащихся, формирование у них умений самостоятельно учиться; планировать, организовывать корректировать, контролировать и оценивать свою учебно-познавательную деятельность.
Свои задачи я вижу в том, чтобы уроки математики помогали:
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->воспитывать гражданина, способного к активной жизненной позиции;
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->осознавать необходимость математических знаний для становления личности;
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->развивать творческие способности учащихся;
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->формировать навыки самостоятельной деятельности и объективного оценивания каждым учащимся своих знаний и умений
3.Ведущая педагогическая идея.
Ведущей идей моего опыта является отказ от авторитарного характера обучения в пользу поисково-творческого исключение учебных перегрузок школьников и создание условий для сохранения здоровья учащихся.
4.Теоретическая база опыта.
В своей педагогической деятельности опираюсь на идеи дидактической системы обучения Ю.А. Макарова, основной целью которой является индивидуализация обучения, технологию укрупнения дидактических единиц П. М. Эрдниева.
5. Технологии обучения.
На протяжении многих лет снижается интерес к математике. Все меньше школьников участвуют в олимпиадах, конференциях, конкурсах, идут на факультативы и спецкурсы по математике. От части это объясняется общим снижением интереса к учебе, обусловленным целым рядом причин.
Даже при высокой квалификации учителя с большим опытом работы времени едва хватает на изучение нового материала. На закрепление и отработку умений времени почти нет. Два-три урока резерва не спасали положение, так как часто и их не остается. При разных способностях детей, не всем под силу выполнять домашнее задание - происходила перегрузка и как следствие- нежелание учиться. В связи с этим я поняла, что необходимо создавать условия для самореализации каждого учащегося, организовать обучение как совместную поисковую деятельность учителя и ученика, направленную на постижение последним тайн изучаемой науки в процессе решения цепи учебных проблем. Важность этих проблем и обусловила выбор темы моего самообразования.
Педагогическое мастерство учителя, на мой взгляд, и состоит в том, чтобы умело сочетать различные формы работы: классную, групповую и индивидуальную, учитывая при этом общее для класса, типичное для групп и индивидуальное для отдельных учащихся.. Ведь полноценный урок ориентирован на развитие интеллектуальных, творческих возможностей каждого ученика, его индивидуальных особенностей и на его активную роль в процессе обучения.
В моей работе основными принципами обучения являются:
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->принцип доступности учебного материала;
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->принцип наглядности и связь учебного материала с жизнью;
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->ведущая роль теоретических знаний;
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->принцип индивидуализации и дифференциации обучения;
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->принцип многократного повторения учебного материала;
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->на уроке главным должен быть ученик с его вопросами и проблемами.
2.Технология опыта.
Активизировать познавательную деятельность учащихся, я думаю, необходимо на всех этапах урока, во время проведения оргмомента и устной работы, при изучении теории и на уроках закрепления.
1Я считаю, что важно, особенно в 5-6 классах, не только дать детям твердые знания, но и не отпугнуть школьников холодной строгостью царицы наук, увлечь их этим предметом. Большое значение имеет начало урока . Как быстро настроить детей на работу, но сделать это без понуканий и строгости? Я часто провожу оргмомент в виде математической зарядки. Готовлю несколько карточек с простейшими примерами. Примеры даю с ответами. На одних ответы верные, на других - нет. Каждое упражнение зарядки состоит из двух движений. Я поочередно показываю классу карточки, а ученики в ответ делают определенное движение. Например, если ответ верный – руки вверх, неверный – руки вперед. Сначала дети не могут собраться, не попадают в ритм. Но постепенно сосредотачиваются, а темп зарядки убыстряется. И в результате через 2-3 минуты получаю класс, полностью подготовленный к работе. Зарядка может состоять из 2-3 упражнений и проводиться по самым разным темам. Составление комплексов упражнения поручаю детям, они это делают с большим увлечением.
Очень помогают активизировать учащихся в первые минуты урока быстрые диктанты. От обычных математических диктантов их отличают три особенности. Первая – задания не одинаковой трудности. Сначала предлагаю очень легкие, потом все сложнее и сложнее. Второе отличие – меняющийся темп диктанта. Сначала он медленный, затем убыстряется. Третья особенность – одновременно с классом у доски работают два ученика. Это дает возможность детям проверить свои ответы.
В курсе математики очень много серьезных правил и определений. Как добиться от ребенка заинтересованного, увлеченного изучения этих правил? Мне помогает в этом игра в математические карты. Разбиваю класс на группы по 4 – 5 человек, каждой группе даю карточки с заданиями, например: сформулировать такое то правило или дать такое то определение. Карта считается битой, если на вопрос, стоящей в ней, дан правильный ответ. Битая карта откладывается в сторону. Если ответ не верный, то карта остается у игрока, который дал этот ответ. В результате проигрывают те, у кого останутся карты . В ходе такой игры я не только контролирую теоретические знания учащихся и организую постоянное повторение, но и веду тематический учет знаний, причем на игру требуется не более 5 мин урока.
2 Изучение теории – один из наиболее трудных вопросов преподавания математики. Повышению активности учащихся при изучении теории способствует такая методика, при которой учитель направляет деятельность учащихся постановкой соответствующих заданий для самостоятельной работы, проводит контроль за этой деятельностью и дает необходимые консультации. Покажу как я это делаю на примере изучения теоремы Пифагора.
Я провожу доказательство этой теоремы на основе следующих вопросов и заданий для самостоятельной работы учащихся.
- Нарисуйте в тетрадях прямоугольный треугольник. Обозначьте катеты этого треугольникаa,bи гипотенузу с.
- Постройте квадрат, сторона которого равна а+b.
- На сторонах квадрата отметьте по одной точке делящей эти стороны на отрезки а иbтак, чтобы к каждой вершине квадрата примыкали отрезки а иb.
- Соедините отрезками точки, расположенные на соседних сторонах квадрата. Посмотрите, на какие фигуры при этом разобьется исходный квадрат. Покажите, что полученные треугольники равны исходному прямоугольному треугольнику. Укажите признак равенства треугольников.- Чемуравны стороны полученного внутреннего четырехугольника? Чему равны углы этого четырехугольника? Какой из этого вывод о внутреннем четырехугольнике можно сделать.
- Рассмотрим теперь вопрос о том, как связаны между собой площади полученных треугольников и квадратов. Обозначьте:S– площадь исходного квадрата,S1 – площадь исходного треугольника,S2- площадь внутреннего квадрата. Учитывая, что исходный квадрат составлен из четырех равных треугольников и внутреннего квадрата, установите связь между их площадями и выразитеSчерезS1 иS2.
-Зная стороны прямоугольного треугольника и квадратов, напишите формулы для их площадей.
-Подставьте полученные формулы в равенство для площадей. Какое равенство при этом получается? Раскрывая квадрат и приводя подобные члены, окончательно получаем равенствоc<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->=a<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->+b<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->.
В процессе работы над доказательством теоремы Пифагора я не делаю на доске никаких записей, а использую это время для индивидуальной работы с учащимися, проверяя правильность выполнения заданий и проводя консультации.
3.При закреплении изученного материала стараюсь использовать разнообразные виды работы для активизации учебной деятельности школьников, воспитания у них активности, самостоятельности мышления, умения применять знания в процессе обучения. Остановлюсь на тех приемах, которые я применяю чаще других и которые дают положительный эффект в обучении. Это дидактическая игра, семинар, зачет, тестирование, творческая работа и т. д.
а) Дидактическая игра, игровой компонент, соревнование, дух творчества и игры должны присутствовать органически практически на всех уроках, особенно в среднем звене. Тогда урок вызовет интерес , желание работать и знать предмет.
При изучении тем « Натуральные числа», «Действия с десятичными дробями», « Дроби» использую математическое лото. При изучение темы «Решение задач на движение» провожу урок – путешествие. Опишу один из таких уроков – урок – путешествие по теме « Сложение, вычитание и округление десятичных дробей». Цель урока: закрепление пройденного материала подготовка к работе.
Сообщаю учащимся о том, что мы сегодня отправляемся в путешествие в страну десятичных дробей. Всякое путешествие требует закалки и тренировки, то проведем разминку. Решаем устно примеры (записаны на доске).
Первый этап путешествия будет проходить на катере и, чтобы оно прошло успешно нужно в каждой команде избрать капитана. Капитан за три минуты должен найти скорость катера по течению реки и против течения. Предлагаю задачи типа: собственная скорость катера 15 км/ч, а скорость течения 3,5 км/ч. Найти скорость катера по течению реки и против течения.
Пока капитаны выясняют, с какой скоростью они будут двигаться, остальные ребята идут в кассу покупать билеты. На доске записаны примеры в три столбика. По цепочке каждая команда решает примеры из своего столбика. Если кто-то не может решить устно можно это сделать письменно. Если пример решен не верно, то члены команды могут его исправить, тем самым они помогут своему товарищу приобрести билет.
Итак, все заняли свои места на катере, плывем по течению реки. Капитаны докладывают, с какой скоростью они двигаются. Все члены команд должны принять участие в движении катера, а для этого не обходимо подбросить горючего. Каждый правильно решенный пример – это бочка горючего. На заранее заготовленных листочках написаны задания типа: округлить до десятых 6,713; 0,849; 9,25; 0,25; 3,481 и т. д.
Катер первый сел на мель. Чтобы снять его с мели, надо решить с комментированием № 1168( в) из учебника « Математика»; а чтобы снять с мели катер № 2, требуется решить с комментированием №1170 (а).
Завершая путешествие, каждая команда должна решить задачу: какой путь они прошли, если двигались 2 ч по течению реки и 3 ч против течения?
Подобный урок можно провести при решение любых задач на движение, ведь можно не только плыть, но и лететь, ехать, идти, все зависит от фантазии.
При решении задач на сравнение на уроке рассматриваю ситуации: «В магазине», « На рынке», « В библиотеке» и другие, что позволяет учащимся не только самостоятельно представить ситуацию, но и активизировать мыслительную деятельность.
б) Уроки – семинары. Провожу семинары различных типов. Наиболее распространенными являются семинары, посвященные повторению, углублению и обобщению пройденного материала. Эффективность семинарского занятия в значительной мере зависит от организации его подготовки. На подготовку к семинару отвожу не менее двух недель. Учащимся сообщаю тему семинара, основные вопросы теории, по которым будет проведен опрос; указываю номера задач из учебника, приемами решения которых должны овладеть все учащиеся; даю набор нестандартных упражнений, в процессе решения которых необходимо проявить элементы творчества. Учащимся предлагаю самим подобрать упражнения и показать на семинаре рациональные способы их решения. Распределяются индивидуальные и групповые задания: подготовить сообщения по истории возникновения и развития математических понятий, показать связи курса математики с другими дисциплинами, рассказать о применении рассматриваемых вопросов на практики и др.
в) Тематические зачеты. Эта форма итогового контроля нашла широкое применение в моей работе. Зачеты провожу по каждой главе учебника, они имеют двухуровневую структуру ( обязательная часть и задачи повышенной сложности). Ученики работают в индивидуальном темпе. Те, кто выполнил обязательную часть работы после моей проверки, могут приступить к заданиям повышенной сложности. Если ученик получил на зачете не ту оценку которую хотел, то даю возможность исправить эту оценку, пересдав зачет в дополнительное время. Открытость требований, их посильность, возможность повторно ответить неусвоенный материал позволяет вовлечь даже слабых учеников в процесс учебного труда. Поднимается у учащихся интерес к учению, повышается уверенность в собственных силах, работа приносить результат, а значит и удовлетворение.
г) Тематические тесты. В практику моей работы все чаще входит проверка знаний учащихся посредством в последнее время в отечественной и зарубежной практики тестового контроля накопился богатый опыт как по отбору содержания, контролируемых с помощью теста, результатов обучения, так и по использованию различных форм тестовых заданий. Выбор той или иной формы задания определятся целями проверки. Например, если нужно проконтролировать овладение учащимися стандартными методами решения какой – либо математической задачи. Достаточно очевидно, что в этой ситуации мне важно получить информацию о том, получен учеником правильный ответ или нет, и совсем не имеет значение, где и какая сделана ошибка. В таком случае в тесте предлагаю задание, в которых ученик должен самостоятельно дать только краткий ответ. В каждом тесте около 20 – 30 % от общего числа заданий предлагаю выполнить с полной записью решений. Именно с помощью таких заданий я могу проверить логику рассуждений, обоснованность выводов, правильность употребления математической терминологии и символики.
д) Проектные и творческие работы. Обычно я к урокам обобщения и систематизации знаний предлагаю учащимся выполнить проектные и творческие работы: компьютерные презентации или веб – странички об истории развития этой темы, о применении изучаемого материала в других областях знаний. Выполнение творческих заданий предполагает использование учащимися информационно – коммуникационных технологий, освоение проектно – исследовательской деятельности: работу с Интернет – ресурсами, создание презентаций. Затем эти работы представляются и защищаются перед учащимися класса, коллективно анализируются и рецензируются в результаты выполнения.
Такой вид работы развивает творческие, исследовательские способности учащихся, повышает их активность, способствует приобретению навыков, которые могут оказаться весьма полезными в жизни. Информационные технологии создают условия для самовыражения учащихся: плоды их творчества могут оказаться востребованными, полезными для других. Подобная перспектива создает сильнейшую мотивацию для их самостоятельной познавательной деятельности в группах или индивидуально.
е) Связь с другими дисциплинами. При решении задач, имеющих не интересный, тривиальные и не несущие какой- либо информации тексты, часто наблюдается у учащихся быстрое утомление, а вследствие этого – потеря интереса. Это снижает эффективность работы учащегося. Я считаю, что поправить это положение помогает ведение задач, содержание которых связано с материалом, изучаемым по другим дисциплинам. Приведу примеры таких задач, которые я использую на своих уроках.
Историко-математические задачи.
Изучение по истории древнего мира темы « Греко-персидские войны» позволило составить следующую оригинальную задачу:
Царь поострил своих воинов треугольником, и треугольная фаланга двинулась на врага. Каждый воин занимал место площадью 1,7901 кв.м. Основание фаланги составляло 45,9 м; а высота, проведенная к основанию, равнялась 23,4 м. Сколько всего было воинов? Как звали царя? Где произошло сражение, его итоги?
Литературно-математическая задача.
В литературном произведении описываются события, происходившие на Половецкой земле в году А, в году Б для Екатерины 2 была сделана рукописная копия произведения, а в году С произведение было впервые издано. В году Д рукопись погибло в московском пожаре. Найти А, Б, С, Д. О каком произведении идет речь?
На рисунке показано продольное сечение корня растения. Высота зоны роста корняBCDMDM=3см ,ширина зоны ростаBM=2*OM=4.2см, уголOMHравен 30,HM=2.4 см. Суммарная площадь зоны роста и корневого чехликаCDMABравна 18,3 кв. см. Наитии площадь продольного сечения корневого чехликаBHMA.
С целью интенсификации процесса обучения на уроках также использую технические средства обучения, различные таблицы и другие обучающие и контролирующие материалы: опорные схемы, опорные таблицы. Их применение позволяет увеличить объем рассматриваемого на уроке учебного материала, способствует лучшему его усвоению.
Зачет по теме: « Смежные и вертикальные углы».
( Геометрия 7 класс)
Вариант 1.
Обязательная часть.
<!--[if !supportLists]-->1. <!--[endif]-->отрезки АВ и СД пересекаются в точке О. чему равны углы АОС и АОД, если угол ВОД равен 40?
<!--[if !supportLists]-->3. <!--[endif]-->В треугольнике АВС вершина В соединена с точкой М, лежащей на стороне АС. Известно, что треугольники АВМ и СВМ равны. Доказать, что прямые ВМ и АС перпендикулярны.
Вариант 2.
Обязательная часть.
<!--[if !supportLists]-->1. <!--[endif]-->Один из углов, получившихся при пересечении двух прямых, равен 30.Чему равны остальные углы?
<!--[if !supportLists]-->2. <!--[endif]-->МК – биссектриса угла АМВ. Известно, что угол АМК равен 40.Найти угол АМВ.
Дополнительная часть.
<!--[if !supportLists]-->3. <!--[endif]-->Доказать, что два смежных угла не могут быть оба острыми.
Вариант 3.
Обязательная часть.
<!--[if !supportLists]-->1. <!--[endif]-->стороны АВ и СВ треугольника АВС продолжены за точку В. Известно, что угол АВС равен 50.Чему равны остальные углы при вершине В?
<!--[if !supportLists]-->2. <!--[endif]-->Полупрямая АД является биссектрисой угла ВАС. Найти угол ВАС, если угол САД равен50.
Дополнительная часть.
<!--[if !supportLists]-->3. <!--[endif]-->Доказать, что два смежных угла не могут быть оба тупыми.
Вариант 4.
Обязательная часть.
<!--[if !supportLists]-->1. <!--[endif]-->Точка В лежит на прямой АС между точками А и С. Проведена полупрямая ВД.Найти угол ДВС, если угол АВД равен 40.
<!--[if !supportLists]-->2. <!--[endif]-->Полупрямая ВС является биссектрисой угла МВК, равного 126. Чему равны углы МВС и СВК?
Дополнительная часть.
<!--[if !supportLists]-->3. <!--[endif]-->Доказать, что биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны.
Лист самоконтроля по теме: «Аксиомы стереометрии».
<!--[if !supportLists]-->1. <!--[endif]-->На какие части делится школьный курс геометрии?
<!--[if !supportLists]-->2. <!--[endif]-->Что такое планиметрия?
<!--[if !supportLists]-->3. <!--[endif]-->Что такое стереометрия?
<!--[if !supportLists]-->4. <!--[endif]-->Приведите примеры геометрических тел.
<!--[if !supportLists]-->5. <!--[endif]-->Назовите основные геометрические фигуры в пространстве.
<!--[if !supportLists]-->6. <!--[endif]-->Сколько аксиом стереометрии вы знаете?Назовите их.
<!--[if !supportLists]-->7. <!--[endif]-->Сколько следствий из аксиом вы знаете?Назовите их.
<!--[if !supportLists]-->8. <!--[endif]-->Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и только одну.
<!--[if !supportLists]-->9. <!--[endif]-->Докажите, что через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и только одну.
<!--[if !supportLists]-->10. <!--[endif]-->Сколько способов заданий плоскости вы знаете?Назовите их.
Лист самоконтроля по теме: « Перпендикулярность прямых и плоскостей».
<!--[if !supportLists]-->1. <!--[endif]-->Дайте определение перпендикулярности прямых в пространстве.
<!--[if !supportLists]-->2. <!--[endif]-->Сформулируйте определение перпендикулярности прямой и плоскости.
<!--[if !supportLists]-->3. <!--[endif]-->Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
<!--[if !supportLists]-->4. <!--[endif]-->Докажите, что если прямая перпендикулярна двум пересекающимся, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
<!--[if !supportLists]-->5. <!--[endif]-->Сформулируйте свойство перпендикулярности прямой и плоскости.
<!--[if !supportLists]-->6. <!--[endif]-->Докажите, что если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
<!--[if !supportLists]-->7. <!--[endif]-->Докажите, что две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
<!--[if !supportLists]-->8. <!--[endif]-->Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость?
<!--[if !supportLists]-->9. <!--[endif]-->Что такое наклонная, опущенная изданной точки на плоскость?
<!--[if !supportLists]-->10. <!--[endif]-->Что такое проекция наклонной?
<!--[if !supportLists]-->11. <!--[endif]-->Сформулируйте и докажите теорем о трех перпендикулярах.
<!--[if !supportLists]-->17. <!--[endif]-->Чему равна боковая поверхность усеченной пирамиды?
<!--[if !supportLists]-->18. <!--[endif]-->Чему равна полная поверхность усеченной пирамиды?
<!--[if !supportLists]-->19. <!--[endif]-->Сформулируйте определение правильного многогранника.
<!--[if !supportLists]-->20. <!--[endif]-->Назовите пять типов правильных многогранников.
<!--[if !supportFootnotes]-->
<!--[endif]-->
<!--[if !supportFootnotes]-->[1]<!--[endif]--> Неточностью в обоснованиях является замена свойства на определение или признак, или наоборот, а также неверные названия теорем или формул.
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->,
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->.
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->.
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> \s <![endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->х2+<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->у2) (<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->х+у)(*)=<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->х2-у2.
<!--[endif]-->х+b)(*)=<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->х2-b2.
<!--[endif]-->ACD=<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->АОD=<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]-->
<!--[endif]--> р2-3р?
<!--[endif]-->0, b<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->.
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<![endif]>
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<![endif]>
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<![endif]>
<!--[endif]-->
<![endif]>
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
<!--[endif]-->
