9кл. Тема: «Определение числовой последовательности»

Цели уроков:

• Формирование представления о числовой последовательности как функции с натуральным аргументом.
• Формирование знаний о способах задания числовых последовательностей, умений находить члены последовательности по предложенной формуле, а также умений находить саму формулу, задающую последовательность.
• Развитие умений применять ранее изученный материал.
• Развитие умений анализировать, сравнивать, обобщать.
• Привитие санитарно-гигиенических навыков, пропаганда здорового образа жизни.

Ход уроков

1. Организационный момент.
2. Повторение видов функций.
3. Подготовка к восприятию новых знаний.
4. Изучение нового материала.
5. Закрепление.
6. Знаменитые последовательности.
7. Дополнительные задачи.
8. Домашнее задание.
9. Подведение итогов урока.

Оборудование и материалы.

• Мультимедийный проектор.
• Экран.
• Презентация.
• Организационный момент

 

1. Актуализация знаний учащихся

 

1.Теоретический опрос (работа с классом)

• что такое функция?
• дать определение области определения функции, области значения функции
• каковы способы задания функции?
• приведите примеры известных вам функций, назовите их области определения (слайды 2-3)

2.Индивидуальная работа у доски по карточкам

• построить график функции у=6/х, х(0;
• построить график функции у=6/х, х(0;
• построить график функции у=6/х.
• построить график функции у=6/х, хN

 

1. Изучение нового материала

(Чертежи на доске) Вопросы для обсуждения выполненных чертежей:

• Чем отличаются выполненные графики функций?
• Назовите область определения каждой функции
• Область определения четвертой функции множество N. Как это повлияло на график?

Вывод: если область определения функции N, то график функции состоит из отдельных точек, и такие функции называют функцией натурального аргумента.

Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием " числовая последовательность", узнаем, какие могут быть последовательности, познакомимся со знаменитыми последовательностями.

Последовательность - одно из самых основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д.

Пример. Во многих семьях есть обычай, своего рода ритуал: в день рождения ребёнка родители подводят его к дверному косяку и торжественно отмечают на нём рост именинника. Ребёнок растёт, и на косяке с годами возникает целая лесенка отметок. Три, пять, два: Такова последовательность приростов от года к году. Но есть и другая последовательность, и именно её члены аккуратно выписывают рядом с засечками. Это - последовательность значений роста. Слайд презентации.

Две последовательности связаны друг с другом.

Вторая получается из первой сложением.

Рост - это сумма приростов за все предыдущие годы.

Рассмотрим ещё несколько задач.

Задача 1. На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе в 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день?

(Ответы учащихся записываются на доске: 500, 530, 560, 590, 620).

 Это примеры функций, заданных на множестве натуральных чисел-числовые последовательности.

Ставится цель урока:Найти способы нахождения любого члена последовательности.

Задачи урока:Выяснить, что такое числовая последовательность и как задаются последовательности.

Изучение нового материала.

Определение: Числовая последовательность- это функция, заданная на множестве натуральных чисел (слайд: последовательности составляют такие элементы природы, которые можно пронумеровать).

Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

1, 2, 3, 4, 5, : - последовательность натуральных чисел;

2, 4, 6, 8, 10, :- последовательность четных чисел;

1, 3, 5, 7, 9, : - последовательность нечетных чисел;

1, 4, 9, 16, 25, : - последовательность квадратов натуральных чисел;

2, 3, 5, 7, 11, : - последовательность простых чисел;

1, , , , :- последовательность чисел, обратных натуральным.

Число членов каждого из этих рядов бесконечно; первые пять последовательностей - монотонно возрастающие, последняя - монотонно убывающая.

Обозначение: у₁, у_2, у_3, у_4, у_5,:

1, 2, 3, 4, 5, :п,:-порядковый номер члена последовательности.

(у_п)- последовательность, у_п- п-ый член последовательности.

(а_п)- последовательность, а_п - п-ый член последовательности.

а_п-1 -предыдущий член последовательности,

а_{п+1 -} последующий член последовательности.

№ 15.1; № 15.2 (устно)

Последовательности бывают конечными и бесконечными, возрастающие и убывающие.

Задание. Записать первые 5 членов последовательности:

От первого натурального числа увеличение на 3.

От 10 увеличение в 2 раза и уменьшение на 1.

От числа 6 чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза.

Эти числовые ряды тоже называются числовыми последовательностями.

5. Знаменитые последовательности:

Числа Фибоначчи — элементы числовой последовательности

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, …

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи) Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности

Треугольник Паскаля. Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси

 

1. Способы задания последовательностей:

Словесный-способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность. .

Аналитический -последовательность задана аналитически, если задана формула ее n-го члена: y_n =f(n).

Пример. y_n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y1 = 3; y_n = y_n–1 + 4, еслиn = 2, 3, 4,….

2. Закрепление.

с_п = . Запишите первые 5 членов последовательности.

(По одному человеку решают у доски, остальные - в тетради).

: 74, 81, 88, 95, 102, : Задайте формулу п-ого члена.

(у_п = у_п-1 + 7).

№15.5; № 15.11

3. Дополнительные задачи.

Запишите первые пять членов последовательности, заданной таким описанием: каждый член последовательности на 1 больше соответствующего члена ряда Фибоначчи.

Запишите первые пять членов последовательности, заданной формулой а_п = (-3)^п-1.

Запишите первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно:

а_{1 =} 4, а_п+1 = а_п + 2.

Домашнее задание. №15.12(б), №15.4(в), читать стр136-145

Подведение итогов урока.

Итак, мы разобрали понятие последовательности и способы её задания. Ответьте на вопросы:

1. Что такое последовательность?
2. Какие виды последовательностей вы узнали?
3. Какие способы задания вы узнали?
4. О каких ученых и их трудах вы узнали?

Литература.

1. О.В. Занина , И.Н. Данкова. Поурочные разработки по алгебре. 9 класс.
2. Л.А. Тапилина, Т.Л. Афанасьева. Алгебра. 9 класс. Поурочные планы.
3. Энциклопедический словарь юного математика.
4. А.Г.Мордкович. Алгебра в 2-ух частях