Используемые учебники и учебные пособия:
v\:* {behavior:url(#default#VML);} o\:* {behavior:url(#default#VML);} w\:* {behavior:url(#default#VML);} .shape {behavior:url(#default#VML);} Normal 0 false false false MicrosoftInternetExplorer4 /* Style Definitions */ table.MsoNormalTable {mso-style-name:"Обычная таблица"; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; mso-style-noshow:yes; mso-style-parent:""; mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-para-margin:0cm; mso-para-margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:10.0pt; font-family:"Times New Roman"; mso-ansi-language:#0400; mso-fareast-language:#0400; mso-bidi-language:#0400;} table.MsoTableGrid {mso-style-name:"Сетка таблицы"; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; border:solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-border-insideh:.5pt solid windowtext; mso-border-insidev:.5pt solid windowtext; mso-para-margin:0cm; mso-para-margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:10.0pt; font-family:"Times New Roman"; mso-ansi-language:#0400; mso-fareast-language:#0400; mso-bidi-language:#0400;}
Тема:
«Решение уравнений и их систем с параметрами».
Цель: формирование умения проводить исследование задач с параметрами и представлять защиту своего проекта; формирование коммуникативной компетенции - умения работать в группе и рефлексии собственной деятельности.
Эпиграфы к уроку:
«Помните терему Виета!
Не делите на ноль!
Не извлекайте корень
четной степени из отрицательного числа!» (надписи в древней гробнице, перевод с клинописного (шутка))
«…что за прелесть эти задачи с параметрами!
Каждая из них – поэма!» (из разговора двух математиков)
Вступительное слово учителя.
Друзья! Мы заканчиваем с вами изучение первого раздела образовательного модуля «Уравнения и неравенства». До этого мы изучили образовательный модуль «Числовые множества. Тождественные преобразования алгебраических выражений». Вы познакомились со следующими дидактическими единицами: комплексные числа; теорема Безу; схема Горнера; деление многочленов «уголком»; соединения и бином Ньютона; треугольник Паскаля; обобщенная Теорема Виета; метод интервалов; симметричность в уравнениях (возвратные уравнения); преобразования графиков функций; метод Гаусса; метод Крамера (метод матричного исчисления).Это позволило расширить ваши знания сверх обязательной программы и решать более сложные задания, которые в тестах ЕГЭ имеют высокий уровень (С).К ним традиционно относятся задачи с параметрами. Ведь в каждой из них необходимо провести мини научное исследование с применением знаний из разных разделов, тем, блоков.
Нетрадиционность наших занятий состоит не только в том, что мы изучаем что-то новое сверх программы, но и в том, что мы учимся не по отдельно взятому пособию, а имеем целый арсенал источников. В конце изучения первого модуля проводились исследования различных источников информации – пособий для поступающих в вузы, учебно-тренировочных материалов для подготовки к ЕГЭ и учебников для профильной школы с целью поиска и решения задач, в которых встречаются изученные ранее дидактические единицы. Эти исследования закончились защитой проектов «Школа-вуз», «ЕГЭ» и «Профильная школа». К сегодняшнему занятию подготовка велась в группах, объединенных одной общей проблемой, решение которой не зависело от источника получения информации. В результате мы имеем группы:
1. Уравнения высших степеней и прогрессии.
2. Системы уравнений.
3. Модули и графики.
В каждой группе распределены роли:
· выступающих с защитой своего проекта,
· статиста- фиксирующего вклад каждого члена группы в совместную деятельность,
· контролеров- проверяющих решение предложенных своим оппонентам заданий,
· практиков-реализующих исполнение предложенного другими группами задания.
Итак, перед вами задачи
· выступить со своим проектом,
· принять активное участие в обсуждении,
· решить задачи, предложенные оппонентами и защитить свое решение.
Каждый вид деятельности будет оцениваться по 10-ти балльной шкале. Во время урока работает экспертная комиссия, которая оценивает работу групп по следующим критериям:
|
виды деятельности и критерии оценивания
|
1-я группа
|
2-я группа
|
3-я группа
|
примечания
|
|
1. выступление группы
· грамотность
· доступность изложения
· различные способы решения
· наглядность
|
|
|
|
|
|
2. Участие группы в обсуждении
· вопросы
· поправки
· добавления
|
|
|
|
|
|
3. Решение задач оппонентов
· правильность
· рациональность
· качество защиты своего решения
|
|
|
|
|
Затем ученик-статист собирает сведения, заполняет таблицу и подсчитывает средний балл каждой группы.
|
вид деятельности
|
1 группа
|
2 группа
|
3 группа
|
|
выступление
1 эксперт
2 эксперт
3 эксперт
|
|
|
|
|
участие в обсуждении
1 эксперт
2 эксперт
3 эксперт
|
|
|
|
|
решение задач
1 эксперт
2 эксперт
3 эксперт
|
|
|
|
|
средний балл
|
|
|
|
Этот балл имеет право получить каждый член группы, однако в группе свой статист производит оценку работы каждого ученика и может «перебросить» баллы от одного ученика к другому так, чтобы средний балл остался прежним.
Таблица статисту группы
|
фамилия, имя ученика
|
итоговый балл за занятие
|
|
1.
2.
…
|
|
Ход работы:
1. Отчет групп
1-ая группа:
Найти значение параметра 
, при котором корни уравнения 
образуют арифметическую прогрессию и найти эти корни.
Решение.
Пусть 
d –разность арифметической прогрессии, x+d, x, x-d корни уравнения и члены арифметической прогрессии. Согласно обобщенной теореме Виета:
(x+d) + (x-d) + x = - 12, откуда следует, что x = - 4 это один из корней исходного уравнения. Подставив его в исходное уравнение имеем:
- 64 + 192 – 20 + =0, т.е. = - 108.
Подставив найденное значение параметра, найдем другие корни уравнения 
. Воспользовавшись схемой Горнера ( или делением «уголком» ) определим коэффициенты и разложим многочлен, стоящий в левой части уравнения на множители.
|
|
1
|
12
|
5
|
- 108
|
|
- 4
|
1
|
8
|
- 27
|
0
|
В результате получим:
Ответ: при = - 108, 
, 
Члены других групп задают вопросы и получают задание от первой группы.
Задание для второй и третьей группы :
Найти значение параметра , при котором корни уравнения 
образуют геометрическую прогрессию и найти эти корни.
(1 или 2 человека в группе приступают к поиску решения этого задания)
Ответ: 
2-ая группа:
Найти значение параметра при котором система уравнений 
имеет более одного решения.
Решение.
Если две прямые имеют более одной общей точки, то они совпадают и система линейных уравнений имеет бесконечно много решений. Значит, должно выполняться условие 
или по формулам Крамера 
. Выбирая второй способ решения имеем:
Следовательно, при 
система уравнений имеет более одного решения.
Ответ:
Эта группа рассматривает также случаи, когда система не имеет решений или имеет единственное решение на примере следующих заданий:
1).Найти наибольшее целое , при котором система 
не имеет решений.
Решение.
Это возможно при выполнении условий
В результате получаем ответ: при =2
2). При каких значениях параметра система имеет единственное решение.
Для ответа на этот вопрос достаточно проверки условия 
Другим группам предлагается задание:
При каких значениях параметра система 
имеет единственное решение.
3-я группа.
Найти значения параметра , при которых уравнение 
имеет ровно два решения.
Решение.
предлагаются два способа решения:
1-ый аналитический и 2-ой графический.
1 способ.
ОДЗ. 
Находим промежутки знакопостоянства подмодульного выражения и решаем уравнение, пользуясь определением модуля.
1) при 
<1 и >7 имеем 
уравнение имеет два различных решения, если дискриминант больше нуля, т.е. >-9, но с учетом ОДЗ имеем .
2) при 1< <7 имеем 
, 
уравнение имеет два различных решения, если дискриминант больше нуля, т.е. <9, но с учетом ОДЗ имеем 0 
<9
При = 0 исходное уравнение имеет два корня, а при = 9 три различных корня.
Рассмотрим решения на оси параметров. SHAPE \* MERGEFORMAT
Ответ: при >9 и =0 уравнение имеет два различных решения.
2 способ.
Найдем точки пересечения графика функции 
с осью ОХ ( 
), координаты вершины параболы ( 
) и построим схематично график функции 
.
Графически 
это семейство прямых, параллельных оси ОХ
Из рисунка видно, что графики имеют ровно две общие точки только при условии >9 и =0
SHAPE \* MERGEFORMAT 
Задание оппонентам: найти значения параметра , при которых уравнение 
имеет ровно три решения.
Ответ: 
4
После выступления групп по мере подготовленности на доску выносятся решения предложенных для самостоятельного решения заданий. Контролеры проверяют правильность решения и сообщают об этом экспертам..
Затем слово предоставляется экспертам, статисту и статистам групп для подведения итогов и оценки работы. Учащиеся высказывают свое мнение о работе на занятии.
Домашним заданием после таких занятий является самостоятельный поиск и решение подобных или других интересных заданий с параметрами и обсуждение их на следующих занятиях.
