I вариант

                 II вариант

Исследовательские работы учащихся на урок..

ЗАЧЕМ В ШКОЛЕ ИЗУЧАЮТ ЛОГАРИФМЫ?

Если в XVI в. логарифмы появились как средство для упрощения вычислений, то нужны ли они сегодня, когда вычислительная техника доста­точно развита, чтобы справляться с самыми слож­нейшими расчетами? Ведь не изучаются же в современной школе такие старин­ные средства для упрощения вычислений, как про­стейшие счетные приборы, не изучаются древние алгоритмы умножения и деления чисел, извлече­ния квадратных и кубических корней и пр. Так зачем изучают логарифмы сегодня? Попробуем от­ветить на этот интересный вопрос.

Во-первых, уже умеем записать решение показательного уравнения, например уравнения 2^х = 5. А значит, знание логарифмов позволит им решать задачи, сводящиеся к простейшим показа­тельным уравнениям.

Во-вторых, ло­гарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисле­ния.

В третьих, частое применение находит логарифмическая функция. Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. Мате­матики, выделяя самые существенные черты того или иного наблюдаемого в природе явления, вводя числовые характеристики и связывая эмпиричес­кие данные с помощью различных математических зависимостей, тем самым составляют математиче­скую модель явления. Изучение этой модели поз­воляет людям больше узнать о природном явлении, глубже уяснить его природу и свойства. Ряд явле­ний природы помогает описать именно логарифми­ческая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются имен­но к логарифмической функции. Одним из наибо­лее наглядных примеров такого обращения являет­ся логарифмическая спираль.

Уравнение логарифмической спирали в поляр­ной системе координат (рис. 1) имеет вид 

                r = а^j , где а > 0

Переписав уравнение в виде

j = log_ar, мы ви­дим, что величина а полярного угла пропорциональ­на логарифму радиус-вектора. Отсюда и происхо­дит название логарифмическая спираль.

Логарифмическую спираль можно увидеть на рис. 1. Спираль в одну сторону развертывается до бес­конечности, а вокруг полюса, напротив, закручи­вается, стремясь к нему, но не достигая [рисунок сделан для аÎ(0,1)].

                                                Рис. 2

Известно, что живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях — взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытяги­ваться в длину, им приходится скручиваться, при­чем рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с ее первоначальной формой (рис. 2).

А такой рост может совершаться лишь по лога­рифмической спирали или ее некоторым простран­ственным аналогам. Поэтому раковины многих мол­люсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логариф­мической спирали (рис. 3). Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соот­ношения формы и роста. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гёте считал ее даже математиче­ским символом жизни и духовного развития.

Слайд 6

 Слайд 7

По логарифмической спирали очерчены не толь­ко раковины. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. В подсолнухе (рис. 4) семечки расположены по ду­гам, близким к логарифмической спирали. По ло­гарифмическим спиралям закручены и многие га­лактики, в частности Галактика, которой принад­лежит Солнечная система (рис. 5).

 Слайд 8

ХИЩНЫЕ ПТИЦЫ ЛЕТЯТ К СВОИМ ЖЕРТВАМ ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ СПИРАЛИ.

Тайна того, почему хищные птицы приближаются к своим жертвам по спирали, возможно, решена. Оказывается, они делают такие виражи, чтобы максимально использовать свое острое поперечное зрение.

Ученый Вэнс Тукер из Университета Каролины, долго был озадачен тем, как хищные птицы, приближается к своим жертвам. В изучении соколов в Штате Колорадо, он и его коллеги, обратили внимание, что птицы почти всегда начинают следовать изогнутым маршрутом, как только они приближаются к своей потенциальной добыче на 1,5 километра.

Раньше предполагалось, что это связано с умственными способностями птиц, чтобы обхитрить жертву. Однако, оказалось, что это не так.

Испытания показали, что птицы видят цели перед собой наиболее четко, когда они поворачивают свою голову приблизительно на 40 градусов в одну из сторон. Но вращение их головы во время полета может увеличивать аэродинамическое сопротивление птицы, замедляя ее скорость, что не допустимо с охотнической точки зрения.

Это было проверено на практике. Оказалось, что на скорости ветра 42 км/ч, сопротивление птиц, чья голова была повернута на 40 градусов, было больше чем на 50%, чем у тех птиц, кто смотрел прямо вперед.

Чтобы избежать потери скорости и одновременно лучше видеть свою жертву, птицы держат свою голову прямо и следуют путем логарифмической спирали. За счет такого движения, они могут четко видеть одним глазом свою добычу. Несмотря на то, что путь по спирали более длинен, преимущество в сохранении скорости полета это компенсирует.   

  Логарифмическая спираль знаме­нита не только тем, что ее образы достаточно ши­роко встречаются в природе, но и своими удивительными свойствами. Приведем некоторые из них.

Одно важное свойство лог. спирали связан­о с касательной. Угол b, составляе­мый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиус-вектором зависит лишь от параметра а и, сле­довательно, для каждой спирали является постоян­ным. Иными словами, логарифмическая спираль пересекает свои радиус-векторы под постоянным углом.

На основании этого логарифмическую спираль называют также равноугольной. Из всех кривых по­добным свойством обладает, кроме логарифмической спирали, окружность, которая пересекает свои ради­усы под прямым углом. Но и окружность можно рассматривать как частный вид спирали, ибо, пола­гая а=1, получаем из уравнения спирали р = а^j уравнение окружности р = 1 .

Это свойство логарифмической спирали находит, в частности, применение в технике. Дело в том, что в технике часто применяются вращаю­щиеся ножи (рис. 10). Сила, с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, т.е. угла между лезвием ножа и направлением ско­рости вращения. Для постоянного давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерче­ны по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала.                  При преобразовании подобия, также при других различных преобразованиях логарифмическая спираль остается неизменной. Поэтому ему придавали мистический смысл, называли дивной спиралью. Это свойство впервые изучал математик 17 века Якоб Бернулли и настолько был поражен, что пожелал иметь на своей могильной плите изображение лог. спирали с надписью: «измененная, воскресаю прежней.»

 Слайд 9

Логарифмы, звезды и музыка.

Логарифмическая спираль — это замечательная кривая, имеющая очень много интересных свойств, но примеры логарифмической функции в природе на этом не ограничиваются. Поэтому рассмотрим еще несколько интересных фактов.

Известно, что астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т.д. После­довательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному зако­ну: объективные яркости составляют геометричес­кую прогрессию со знаменателем 2,5. Получается, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. На­пример, звезда 3-й величины ярче звезды первой величины в 2,5^3-1, т.е. в 6,25 раз. Таким образом, оценивая видимую яркость звезд, астроном опери­рует с таблицей логарифмов по основанию 2,5.

Практически аналогичная картина получается при оценивании громкости шума. Единицей гром­кости служит «бел» (в честь изобретателя телефона А.Г.Белла), практически — его десятая доля, «деци­бел». Последовательные степени громкости 10 де­цибел, 20 децибел и т.д. составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая же «сила» этих шумов (точнее — энергия) составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость шума, выраженная в белах, равна деся­тичному логарифму его физической силы.

Частоту любого звука можно выразить формулой:

,                              где р-номер ноты, - количество колебаний в минуту.          Логарифмируя эту формулу получим:

При оценке видимой яркости светил и при из­мерении громкости шума, мы имеем дело с лога­рифмической зависимостью между величиной ощу­щения и порождающего его раздражения. Оказы­вается, что оба эти явления — следствие общего психофизического закона Вебера-Фехнера, соглас­но которому ощущение изменяется пропорциональ­но логарифму раздражения. Как видно, логариф­мы вторгаются и в область психологии.

Из истории логарифмов

       Испокон веков люди пытались упростить вычис­ления: составляли таблицы (например, таблицы ква­дратов, кубов, квадратных и кубических корней и т.д.), вводили приближенные формулы, облегчаю­щие расчеты, пытались заменить сложные операции умножения и деления более простыми — сложением  и вычитанием. Например, пользовались такими формулами:     

  Логарифмы также были созданы как средство для упрощения вычислений. В их основе лежит очень простая идея, знакомство с которой приписывает­ся еще Архимеду.

Рассмотрим две прогрессии: арифметическую при а₁=1, d=1  и гео­метрическую при b₁=2,q=2

1   2   3    4   5     6     7      8     9     10

2   4   8   16  32   64  128   256   512  1024

Оказывается, эти строки позволяют упрощать вычисления. Действительно: если мы хотим пере­множить два числа нижнего ряда, например, 16 и 32, нам достаточно сложить соответствующие чис­ла верхнего ряда: над числом 16 стоит 4, над чис­лом 32 стоит 5; сложим 4 и 5 (будет 9) и спустимся вниз — под 9 стоит 512. Значит, 16 • 32 = 512. Попробуем теперь разделить число нижнего ряда на число нижнего ряда, например поделить 256 на 64. Выписанные строки позволяют заменять деле­ние вычитанием. Итак, над 256 стоит 8, над 64 стоит 6. Вычтем: 8 — 6, получим 2. Теперь спускаемся вниз за ответом: под числом 2 в ниж­нем ряду стоит 4. Значит, 256 : 64 = 4.

Но это еще не все. С помощью указанных двух строк  действие возведение в степень заменяется умножением, а извлечение корня — делением. При­ведем примеры. Пусть число нижнего ряда 32 мы задумали возвести в квадрат, т.е. в степень с пока­зателем 2. Над 32 в верхнем ряду стоит 5. Умно­жим теперь 5 на 2. Получается 10. От числа 10 в верхнем ряду спускаемся вниз за ответом: 1024, т.е. 32² = 1024. А теперь извлечем корень четвер­той степени из 256. Над числом 256 стоит 8. Разделим 8 на 4, получим 2. Спускаемся за ответом: под числом 2 стоит 4. Значит,

Таким образом, каждый раз, когда мы хотим выполнить действия с числами нижнего ряда, мы выполняем более простые операции с числами верх­него ряда. А что представляют собой числа верхне­го ряда? Да ведь это же показатели выписанных в нижнем ряду степеней с основанием 2. Действи­тельно, снизу у нас стоят степени 2', 2\ 2³, 2⁴ и т.д., а вверху только показатели этих степеней 1,2, 3, 4... Так вот показатели степеней и называются логарифмами. Идея Архимеда получила развитие не сразу. Пока математикам было достаточно уже имевшихся средств вычисле­ний, они проходили мимо этого удивительного свойства прогрессий. Но в эпоху Возрождения си­туация изменилась. Крупнейшие европейские дер­жавы стремились к владычеству на море. Для даль­них плаваний, для определения положения морских судов по звездам и по Солнцу необходимо было всё более развивать астрономию, а значит, и тригоно­метрию. И, в частности, понадобились более со­вершенные тригонометрические таблицы. В свя­зи с нарастающими запросами практики продолжали совершенствоваться астрономические инст­рументы, увеличивалась точность наблюдений, ис­следовались планетные движения. Обработка по­лученных данных требовала колоссальных расчетов, и, следовательно, стали необходимы новые средст­ва упрощения вычислений. Такими средствами в XV—XVI вв. явились в первую очередь логарифмы и десятичные дроби.

Возможно, что уже вы заметили не­совершенство простейшей логарифмической таб­лицы, таящейся в строках. Во-первых, действия мы производим только с числами нижнего ряда, т.е. с числами 2, 4, 8, 16, 32 и т.д. Но даже если представить, что нам надо выполнить какие-то дей­ствия именно с этими числами, то легко заметить, что верхняя строка не всегда позволяет это сделать.

Например, как подсчитать Ö32? Над числом 32 стоит число 5. Значит, чтобы извлечь корень сте­пени 2 из 32, нам надо поделить 5 на 2. Но 5:2 = 2,5, а числа 2,5 в верхней строке нет и, значит, ответа, который стоял бы в нижней строке под числом 2,5, тоже нет. С другой стороны, не сможем мы разделить, например, 8 на 64. Ведь, если над числом 8 стоит 3, а над числом 64 — 6, то ответ надо искать под числом 3 - 6 = -3, а в отрицательную сторону верхний ряд вообще не продолжен. Таким образом, мы можем предугадать первые шаги по усовершенствованию рассматри­ваемых строк:

1) числа верхнего ряда целесообразно продолжить в отрицательную сторону, т.е. ввести понятие о степени с нулевым и отрицательным показателем;

2) нужно уплотнить числа нижнего ряда, чтобы можно было применить идею об упрощении вы­числений вообще к любым числам (для этого, например, можно взять в нижнем ряду вместо степе­ней с основанием 2 степени с основанием, близ­ким к 1);

3) необходимо также уплотнить числа верхнего ряда .

Теперь будет интересно узнать, что мы не ошиб­лись в наших предположениях. Обратимся к исто­рии математики.

Прежде всего, теоретическая подготовка учения о логарифмах тесно связана с развитием понятия степени. Степень с отрицательным показателем встречается уже в трактате «Арифметика» древне­греческого математика Диофанта (ок. III в.) из Александрии. Им, а возможно и его предшествен­никами, были введены особые обозначения для некоторых положительных и отрицательных степе­ней. С течением веков символика совершенствова­лась, и эта идея получила дальнейшее развитие. Так, много позже, французский врач и математик Ни­кола Шкже (ок. 1445—1500) в своем трактате «На­ука о числе» более полно рассмотрел нулевые и отрицательные показатели степени. Еще раньше, в XIV в., епископ города Лизье в Нормандии Нико­лай Орем (ок. 1323—1382), исходя из соображений о возможности вставлять в арифметическом ряду между натуральными числами дробные (то, о чем мы говорили в пункте 3 наших рассуждений), вы­сказал мысль о том, как надо выражать в рядах (*) соответствующие величины геометрического ряда. Таким образом он пришел к степеням с дробным показателем.

Особое внимание сопоставлению арифметичес­кого и геометрического рядов уделял Михаэль Штифель (1487—1567). Приведем небольшой отры­вок из книги [1]: «Приверженец учения Лютера молодой протестантский пастор Штифель заинте­ресовался математикой в поисках таинственного смысла чисел, встречающихся в богословских кни­гах. На основании сопоставления этих чисел он предсказал наступление в 1533 г. конца света. Сре­ди его прихожан началась паника. Многие стали раздавать и уничтожать свое имущество и деньги. Однако намеченная дата прошла, а конец света не наступил. Тогда, оставшись ни с чем, прихожане набросились на своего пастора и упекли его в тюрь­му. Чтобы освободить Штифеля, понадобились хлопоты самого Лютера. И, возможно с целью най­ти ошибки в своих расчетах, Штифель решил все­рьез заняться математикой. Таким образом мате­матика приобрела замечательного ученого». Подобно Шюке и Орему Штифель пришел к мысли о дробных показателях. Кроме того, сопос­тавляя ряд натуральных чисел, начинающихся еди­ницей, он отмечает, что соответствующий единице показатель есть нуль, т.е. что a° = 1. Числам пер­вого ряда Штифель дал употребительное и поныне название «показателей» (ехроnеntеп). Заметив ос­новные соотношения, которые существуют между арифметической и соответствующей ей геометри­ческой прогрессиями, Штифель в своей книге «Полная арифметика» записал: «Тут можно было бы написать целую новую книгу об удивительных свойствах чисел, но я должен здесь остановиться и пройти мимо с закрытыми глазами».

Мы указали несколько математиков, внесших вклад в развитие понятия степени. Ранее отмеча­лось, что без высказанных в их работах идей созда­ние логарифмов было бы невозможным. Но кто же стал автором первых таблиц, позволяющих свести более сложные действия к более простым (умно­жения к сложению и т.д.)? Ведь именно создание такой таблицы можно было бы считать открытием логарифмов.

Прежде чем ответить на этот вопрос, попробуем выдвинуть гипотезу, какой должна быть эта табли­ца. Уплот­нения рядов можно достичь, взяв в качестве осно­вания степени число, близкое к 1.

Например, возьмем в качестве основания степе­ни число 1,01:

-3      -2    -1    О    1     2         3     4      5 .

0,97 0,98 0,99  1  1,01 1,02 1,03 1,04 1,05... (числа в нижнем ряду округлены)

Итак, мы выписали две строки: нижняя - степе­ни с основанием 1,01, верхняя — соответствую­щие показатели степеней. Теперь можно уплотнить ряды, поставить между каждыми соседними числа­ми верхнего ряда их среднее арифметическое, а между соответствующими числами нижнего ряда —их среднее геометрическое. Добившись того, что­бы числа в нижнем и верхнем рядах шли достаточ­но плотно, мы понимаем: чтобы перемножить два числа, например, 16 и 32, надо продолжить числовые ряды, а для этого приходится исписать не одну  страницу. Становится понятно, какая это ко­лоссальная работа — составлять таблицу логариф­мов.  

Какими же были первые таблицы логарифмов? Вернемся к истории математики.

В истории науки иногда наступают моменты, когда необходимость некоторого открытия осозна­ется многими, а его основная идея как бы витает в воздухе. В таких случаях к открытию приходят не один, а сразу несколько ученых. Так случилось и в истории логарифмов. Однако создатели первых логарифмических таблиц подходили к изобретению нового удобного средства для упрощения вычисле­ний по-разному. Те соображения, которые мы вы­двинули чуть раньше, пытаясь предугадать, каким путем пойдет создатель логарифмов, пожалуй, боль­ше всего подходят к Бюрги.

Швейцарец Иост Бюрги (1552—1632) был меха­ником и часовым мастером. С 1579 г. в Касселе, а с 1603 г. в Праге он состоял придворным часовщи­ком, а также мастером астрономических инструмен­тов. В Праге Бюрги сблизился со знаменитым ас­трономом и математиком Иоганном Кеплером, который приехал туда в 1600г., намереваясь сотруд­ничать с жившим в ту пору в этом городе знамени­тым астрономом Тихо Браге. Но уже через год Тихо Браге умер и оставил Кеплеру ценнейшие матери­алы астрономических наблюдений. Отметим, по­путно, что во многом именно обработка этих на­блюдений позволила Кеплеру установить три зако­на движения планет. В 1602 г. Кеплер назначается математиком при императоре Рудольфе П. Таким образом, в Праге соединились усилия астронома, математика и механика.

Бюрги стал другом и соратником Кеплера. Воз­можно, он взялся за разработку облегчающих вы­числения таблиц именно для того, чтобы помочь Кеплеру в обработке многолетних астрономичес­ких наблюдений. Точно неизвестно, когда Бюрги приступил к разработке таблиц, но около 1610 г. они были готовы.

Знаменатель геометрической прогрессии Бюрги выбрал близким к единице, а именно  

Членам геометрической прогрессии он сопоставил числа   0, 10, 20, 30, ..., 10n, ...   арифметической прогрессии

Таблицы Бюрги были еще очень несовершенны, правила работы с ними достаточно трудоемки, а многие результаты приходилось находить с помо­щью дополнительных приближенных приемов вы­числений. Но справедливости ради следует заме­тить, что подобные недостатки присущи большин­ству научных работ, впервые представляющих не­которое открытие.

Бюрги очень медлил с опубликованием своих таблиц. Они вышли в свет лишь в 1620 г. под на­званием «Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с основательным настав­лением, как их нужно понимать и с пользой при­менять во всяческих вычислениях». Но значитель­ного распространения эти таблицы не получили, отчасти потому, что упомянутое в названии «на­ставление» долго оставалось неизвестным. Оно было обнаружено лишь в 1856 г. Но основная при­чина состояла, видимо, в том, что к моменту опуб­ликования таблиц Бюрги ученому миру уже семь лет были известны другие таблицы, которые соста­вил шотландский барон Джон Непер (1550—1617).

Непер увлекался астрологией, алхими­ей, толкованием пророчеств Апокалипсиса св. Ио­анна (которое основывал на числовой мистике), инженерным делом и, конечно, математикой. По­груженный в атмосферу неблагоприятной полити­ческой ситуации средневековой Шотландии, вынуж­денно отвлекаясь на распри с соседями, защиту сво­их владений и фамильной чести, барон Джон Непер тем не менее с удивительной самоотдачей занимал­ся наукой. Во время своих занятий, «чтобы ничто не мешало ходу мыслей... он часто просил остановить расположенную неподалеку льняную мельницу, стук колес которой не позволял ему сосредоточиться». Научное наследство Непера содержит целый ряд математических работ, но наибольшую известность Непер приобрел как изобретатель лога­рифмов, которые, по словам Лапласа, «сокращая вы­числения нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивают жизнь астрономов».

При создании таблиц логарифмов Непер исхо­дил из идеи, которую мы сегодня оцениваем как наиболее прогрессивную и оригинальную. Он близ­ко подошел к понятию логарифмической зависи­мости. Подход Непера позволил определять лога­рифм любого положительного числа, но сделано это было не скоро. Члены геометрической прогрессии Непер назвал числами, а члены арифметической профессии — их логариф­мами (от греческих слов «логос» — отношение, и «арифмос» — число). Таким образом, книга первых таблиц логарифмов вышла с вполне современным названием «Описание удивительной таблицы лога­рифмов» (1614).

Таблицы Непера не были лишены недостатков. Например, размышляя над усовершенствованием своих таблиц,   Непер уже позже пришел к мысли считать логарифм единицы равным нулю и взять за основание логарифма число 10. Но состояние здо­ровья не позволило ему заняться составлением дру­гих таблиц. Чуть позже (в 1617г.) такие таблицы десятичных логарифмов опубликовал оксфордский профессор Генри Бриге.

Интересно, что наряду с вышеуказанными суще­ствовали еще одни таблицы, которыми можно было пользоваться как средством для упрощения вычис­лений. Однако их автор не заметил этого, подразу­мевая совсем иное назначение своих таблиц. Речь идет о таблицах процентов нидерландского учено­го и инженера Симона Стевина (1548—1620).

Вспомним, как выводится формула сложных процентов. Пусть сначала на нашем счету лежит некоторая сумма, которую мы положили в банк под р% годовых. Сумма лежит в банке целый год, а в конце года на нее начисляются проценты — допол­нительные деньги, которые банк платит за то, что целый год пользовался суммой S₀. Таким образом, сумма S₀ принесет за год доход в размере р% от нее, т.е. . Если мы деньги не снимем, то весь следующий год на нашем счету будет лежать уже

выросшая сумма:

S₁ = начальная сумма + доход = =S₀+= S₀(1+)

В конце второго года на эту сумму тоже будут начислены проценты. Доход на второй год составит p%  от суммы   S₁, т.е. . После начисления процентов сумма на вкладе будет равной:

S₂ = S₁+= S₀(1+)(1+) = =S₀(1+)²

Аналогично рассуждая, мы придем к выводу, что в конце n-го года сумма на вкладе станет равной:  S_n=.S₀(1+)ⁿ

Это и есть формула сложных про­центов. Если же теперь выписать в две строки дан­ные о том, какой год лежит сумма и как она выра­стает к концу этого периода, то получатся арифме­тическая и геометрическая прогрессии, наподобие тех, что обозначены (*):

0                 1               2       ...           п...

Заметим, что если процент невысок (а он и не может быть большим, иначе сумма будет расти слиш­ком быстро), то в нижнем ряду будут идти степени с основанием, близким к единице. Это еще раз под­тверждает, что мы говорим об одном и том же. 

S₀   S₀(1+)   S₀(1+)²   S₀(1+)ⁿ

ЧИСЛО e.

      Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e^–kt, где k – число, характеризующее скорость распада данного вещества. Обратная величина 1/k называется средним временем жизни атома данного вещества, так как в среднем атом прежде, чем распасться, существует в течение времени 1/k. Величина 0,693/k называется периодом полураспада радиоактивного вещества, т.е. временем, за которое распадается половина исходного количества вещества; число 0,693 приближенно равно log_e 2, т.е. логарифму числа 2 по основанию e.

          Аналогично, если бактерии в питательной среде размножаются со скоростью, пропорциональной их числу в настоящий момент, то по истечении времени t начальное количество бактерий N превращается в Ne^kt.

    Затухание электрического тока I в простом контуре с последовательным соединением, сопротивлением R и индуктивностью L происходит по закону I = I₀e^–kt, где k = R/L, I₀ – сила тока в момент времени t = 0.

     Аналогичные формулы описывают релаксацию напряжений в вязкой жидкости и затухание магнитного поля. Число 1/k часто называют временем релаксации.

       В статистике величина e^–kt встречается как вероятность того, что за время t не произошло событий, наступающих случайно со средней частотой k событий в единицу времени.

      Если S – сумма денег, вложенных под r процентов с непрерывным начислением вместо начисления через дискретные промежутки времени, то к моменту времени t первоначальная сумма возрастет до Se^tr/100.

      Причина «вездесущности» числа e заключается в том, что формулы математического анализа, содержащие экспоненциальные функции или логарифмы, записываются проще, если логарифмы брать по основанию e, а не 10 или какому-либо другому основанию. Например, производная от log₁₀ x равна (1/x)log₁₀ e, тогда как производная от log_e x равна просто 1/x. Аналогично, производная от 2^x равна 2^xlog_e 2, тогда как производная от e^х равна просто e^x. Это означает, что число e можно определить как основание b, при котором график функции y = log_b x имеет в точке x = 1 касательную с угловым коэффициентом, равным 1, или при котором кривая y = b^x имеет в x = 0 касательную с угловым коэффициентом, равным 1.

       Логарифмы по основанию e называются «натуральными» и обозначаются ln x. Иногда их также называют «неперовыми», Дж.Непер (1550–1617).

     Различные комбинации степеней e встречаются в математике так часто, что имеют специальные названия. Таковы, например, гиперболические функции

 Слайд 10

График функции y = ch x называется цепной линией; такую форму имеет подвешенная за концы тяжелая нерастяжимая нить или цепь. Формулы Эйлера

где i² = –1, связывают число e с тригонометрией.  При вычислении значения e могут быть использованы и некоторые другие формулы (чаще всего пользуются первой из них):

 Слайд 11

  Значение e с 15 десятичными знаками равно 2,718281828459045. В 1953 было вычислено значение e с 3333 десятичными знаками. Символ e для обозначения этого числа был введен в 1731 Л

.Эйлером (1707–1783). Десятичное разложение числа e непериодично (e – иррациональное число). Кроме того, e, как и , – трансцендентное число (оно не является корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами). Это доказал в 1873 Ш.Эрмит. Впервые было показано, что столь естественным образом возникающее в математике число является трансцендентным.