Слово «классификация» неизбежно навевает тоску: чудятся то бесконечные уходящие вдаль полки библиотечных каталогов, то строгие ГОСТы и стандарты. Тем не менее, наша, сугубо практическая статья, посвященная использованию одного конкретного Интернет-проекта на уроках математики, оказывается тесно связана с некоторыми общими теоретическими вопросами классификации. Об этом мы и расскажем ниже, сопроводив общие рассуждения подробными примерами.

 

Введение

 

Мы хотим представить совместный проект Problems.Ru Московского Центра Непрерывного Математического образования и Московской государственной пятьдесят седьмой школы. Сайт проекта расположен по адресу http://www.problems. ru.

 

Что же такое Problems.Ru?

 

Во-первых, это огромная структурированная база задач по математике. Уже сейчас пользователь видит более десяти тысяч задач разного уровня, относящихся ко всем разделам математики «школьного» (и не только школьного) уровня. Задачи разбиты по темам, сложности и по источникам. Про темы и сложность мы расскажем более подробно ниже. Классификация же по источникам может оказаться полезным, если вы захотите посмотреть, например, задачи именно «Московской Математической Олимпиады» или какой-нибудь другой олимпиады или книги.

 

Во-вторых (а, может, и во-первых), это мощный методический инструмент, позволяющий подготавливать и проводить занятия математических кружков, школьные олимпиады по математике, подбирать особенно интересные или просто более сложные задачи для уроков или контрольных работ.

 

В-третьих, это толковый Словарь-справочник математических терминов, включающий в себя не только определения и формулировки теорем, но и дополнительные факты, относящиеся к данному понятию, равно как и ссылки на решения соответствующих задач. Вот, например, как выглядит термин «биссектриса» в нашем словаре: http://www.problems.ru/thes.php?letter=1#bissektrisa Словарик пополняется в соответствии с запросами наших читателей: если интересен какой-нибудь термин, то достаточно послать вопрос на сайт, и ответ появится в словарике через пару дней.

 

В-четвертых, это тематические статьи (написанные нашим авторским коллективом, или цитируемые из журнала «Квант»), в которых подробно объясняются темы и методы, входящие в состав тематического рубрикатора. Пока что таких статей (например, Теорема Пифагора) не так много, как нам хотелось бы, но мы надеемся, что скоро их станет значительно больше.

 

В-пятых, Problems.Ru – это многофункциональная информационно-поисковая система. Здесь можно найти задачу по контексту (например, по ключевому слову или фразе), или сделать подборку задач, находящихся на пересечении каких-то тем. Например, найти задачи на применение индукции в геометрии или на применение принципа Дирихле в теории чисел. Это может оказаться очень удобным для учителя при подготовке занятия кружка, или при поиске задачи, иллюстрирующей применение данного метода.

 

В-шестых, на Problems.Ru преподавателю предоставляется уникальная возможность не тратить свое время на «набивку» задач, оформление текста и так далее. На сайте предусмотрена «версия для печати», позволяющая пользователю ввести свои заголовки, дату, название занятия и т.п. и распечатать готовый к использованию вариант. Притом «версия для печати» существует в двух вариантах: с решениями и без.

 

И, наконец, наш Интернет-проект это редкая возможность поделиться своими знаниями и узнать ответ на некоторые свои вопросы. Сайт Problems.Ru устроен так, чтобы любой желающий мог предложить свое решение данной задачи, или сообщить об ошибке или опечатке.

 

Вопросы классификации

 

Причем же здесь какая-то классификация? Дело в том, что не составляет большого труда представить в электронном виде не только десять тысяч, но и двадцать или тридцать тысяч задач. Нужно лишь некоторое время и определенные технические и материальные ресурсы. Совсем упрощая вопрос, можно сказать, что достаточно отсканировать хорошие задачники, а потом распознать текст и выложить на сайт в каком-нибудь стандартном формате. Но что потом делать с этими задачами? Даже при наличии синтаксически грамотного поиска, работать с этими задачами будет совершенно невозможно. Время, необходимое для составления, скажем, варианта школьной олимпиады с помощью такой базы, будет во много раз больше времени, необходимого для того, чтобы придумать самому или найти в книге необходимые задачи. Кроме уж совсем экзотических целей (например, пользователь дословно помнит первое предложение задачи, и хочет найти эту задачу целиком) такая база будет совершенно неприменима на практике. Очевидный вывод: на множестве задач базы должна быть определенная структура. Причем не просто структура, а структура, которая была бы удобна преподавателю в его работе. Структура, которая превратила бы просто множество задач в методический инструмент, предназначенный как для проведения внеклассной работы со школьниками по математике, так и для помощи преподавателю при проведении уроков. Вот такой структурой, стержнем и сердцевиной нашей системы задач является тематический рубрикатор. Кроме темы, у каждой задачи есть еще дополнительные параметры: сложность, класс, источник и проч. Сложность позволяет подобрать задачи, рассчитанные на данный уровень аудитории, правильно выбранный класс позволяет исключить ситуации, когда, например, в подбору задач для 8-го класса попадет задача про логарифмы и т.д. Общий смысл этих параметров ясен, некоторые детали изложены в статье «О проекте» на нашем сайте. Для каждой задачи есть так же «окно информации» о данной задаче, где указано ее «происхождение», прецеденты использования и т.д. Например, для задачи с номером 63860 окон информации выглядит так: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=63860. Что же касается тематического рубрикатора, то на нем хотелось бы остановиться подробнее.

 

Каждый, кто проводил занятия математического кружка, знает, что затрагиваемые на занятиях вопросы бывают двух сортов: относящиеся к математическим объектам в целом (например, тема «квадратный трехчлен») и относящие к некоторым конкретным идеям (например, тема «индукция» или соображения четности). Это не особенность именно кружка, а особенность обучения математике в целом, просто на факультативных занятиях это видно особенно четко, и отражено во многих пособиях и методических рекомендациях по внеклассной работе. Разрабатывая тематический рубрикатор для нашей базы, мы пришли к выводу, что неизбежно надо ввести две «ортогональные» классификации задач. Один параметр (мы его условно назвали «темой») отвечает за разделы математики, затронутые в данной задаче, или необходимые для ее решения. Приведем для примера небольшой фрагмент дерева тем:

 

 

и так далее. Второй же, не менее важный параметр (мы его назвали «метод»), отвечает за ключевую идею решения. Приведем также фрагмент дерева методов, чтобы прояснить суть нашей классификации:

 

 

Обычно, задаче приписывается минимум одна тема и один метод. Мы не будем дальше вдаваться в тонкости классификации (есть еще много частностей), отметив лишь, что именно такая структура позволяет адекватно использовать нашу систему в педагогической деятельности. Перейдем к конкретным приложениям общей теории.

 

Проведение занятия кружка с помощью Problems.Ru

 

Рассмотрим пример, как провести занятие кружка по теме «Принцип Дирихле» с помощью Problems . Ru . Зайдя на сайт http://www.problems.ru и далее в раздел «методы» каталога по источникам, находим «Принцип Дирихле». Что мы видим на экране?

 

1. Ссылка « статья по теме » содержит статью Д. Калинина о том, что такое принцип Дирихле, и как с его помощью решать задачи.

 

2. В «материалах по теме» содержатся:

 

а) задачи, входящие в главы «Принцип Дирихле», из книги «Ленинградские математические кружки» и из задачника по геометрии В.В. Прасолова.

 

б) готовые занятия на тему «Принцип Дирихле» из кружка московской пятьдесят седьмой школы и из кружка Московского центра непрерывного математического образования.

 

Можно воспользоваться готовыми занятиями целиком, или взять их за основу, заменив некоторые из задач на другие задачи системы. Для этого достаточно у понравившихся задач выбрать опцию «добавить».

 

3. Подтемы. В нашем тематическом рубрикаторе в «Принципе Дирихле» выделяется три самостоятельные подтемы: Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.), Принцип Дирихле (углы и длины) и Принцип Дирихле (площадь). Это позволяет, например, провести несколько занятий по одной теме (либо подряд, либо возвращаясь к этой идее на следующий год), делая ударение на разных аспектах использования Принципа Дирихле. Иметь несколько вариаций одной темы удобно и если Вы компонуете задание, и хотите в нем отразить все разнообразие методов.

 

4. «Фильтр» позволяет настроить систему задач на Ваших учеников: задавая правильные класс и сложность, Вы настроите систему именно на Вашу аудиторию.

 

5. Наконец, в графе «показывать с решениями» надо обязательно поставить «галку» и попросить показывать «по 20» или «по 50» задач. Так будет гораздо удобнее отбирать задачи.

 

Как только Вы выбрали хотя бы одну задачу, слева на экране открывается окно, в котором Вы видите Ваше будущее задание. В процессе работы можно менять местами задачи в этом задании (например, если добавляется более сложная задача). Возьмем за образец занятие кружка МЦНМО по теме «Принцип Дирихле», удалим оттуда три задачи, и добавим одну новую. В окне слева появятся тексты выбранных задач (пусть это будут 79650, 79651, 79652, 79653, 79654 из кружка МЦНМО и 79639 – добавленная нами). В «версии для печати» введем название нашего кружка, число, название занятия, класс и еще какие-нибудь параметры (если потребуется). После этого система выдаст готовое к печати задание, притом в двух вариантах: с решениями и без. Вот как это будет выглядеть в разобранном нами примере («учительский вариант» текста – с решениями):  

 

 

Кружок 12345-й школы

Принцип Дирихле

31-е декабря

 

 

Задача 1

 Доказать, что из любых 2001 целых чисел найдутся два, разность которых делится на 2000.

 Решение:

 Рассмотрим остатки от деления чисел на 2000 - это числа от 0 до 1999, то есть всего 2000 вариантов, а чисел дано 2001. Ттогда, по крайней мере, два числа имеют одинаковые остатки (принцип Дирихле): пусть это a=2000n+r и b=2000m+r, и их разность a-b=2000(n-m) делится на 2000.

 

Задача 2

 Доказать, что найдется число вида а)1989...19890...0 (несколько раз повторено число 1989, а затем стоит несколько нулей), делящееся на 1988; б)1988...1988, делящееся на 1989.

 Решение:

 а) Рассмотрим числа 1989, 19891989, ..., 19891989...1989 (в последнем числе 1989 повторено 1989 раз). Рассмотрим остатки от деления этого числа на 1988, так как остатков меньше, чем написанных чисел, то обязательно найдутся два числа с равными остатками (принцип Дирихле) и, следовательно, их разность будет делится на 1988. Если первое число содержит в своей записи n чисел 1989, а второе m чисел 1989, то их разность будет записана с помощью (n-m) чисел 1989 и 4m нулей (проверьте!).

 

б) Строим последовательность чисел, как и в случае а), но вместо 1989 берем 1988.В итоге получим число вида 19881988....198800..00=19881988...1988х100...00, которое делится на 1989, но это означает, что первый множитель делится на 1989.

 

Задача 3

 В ковре размером 4 х 4 метра моль проела 15 дырок. Всегда ли можно вырезать коврик размером 1х1, не содержащий внутри дырок? (Дырки считаются точечными).

 Решение:

 Разобьем ковер на 16 квадратов размером 1х1. Так как дырок 15, то обязательно, по крайней мере, один квадрат 1х1 не будет иметь дырок внутри.

 

Задача 4

 В ряд выписано 100 натуральных чисел. Доказать, что найдутся несколько подряд, сумма которых делится на 100.

 Решение:

 Рассмотрим числа 1, 1 + 2, ..., 1 + 2 +...+ 100.
1 случай: одно из указанных чисел делится на 100 - оно и есть искомое.
2 случай: ни одно из чисел не делится на 100. Тогда при делении на 100 мы получим 99 остатков от 1 до 99, а так как мы имеем 100 чисел (принцип Дирихле), то обязательно найдутся два числа с одинаковыми остатками. Разность чисел с одинаковыми остатками дадут нужную сумму.

 

Задача 5

 Можно ли в таблице 6*6 расставить числа 0,1,-1 так, чтобы все суммы по вертикалям, горизонталям и двум главным диагоналям были различны.

 Решение:

 Наименьшая сумма, которая может получаться при сложении чисел по вертикали, горизонтали или диагонали равна (-6), если стоят все (-1); наибольшая сумма равна 6, то есть различных вариантов сумм может быть 13 (не забудьте нулевую сумму). Вертикалей у нас 6, горизонталей 6 и две диагонали, то есть всего сумм 14, следовательно, по крайней мере, одна сумма повторится (принцип Дирихле).

 

Задача 6

 В узлах клетчатой плоскости отмечено 5 точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.

 Решение:

 Введем систему координат на плоскости, так чтобы оси шли по линиям клеток, а начало координат было в любом узле. Тогда координаты любого узла имеют вид (a,b), где a и b -целые числа. Заметим, что середина отрезка с концами в точках (a,b) и (c,d) имеет вид ((a+c):2;(b+d):2). Четные числа обозначим буквой Ч, а нечетные числа - Н, тогда для обозначения узла у нас есть четыре возможности (Ч,Ч), (Ч,Н, (Н,Ч), (Н,Н). Так как точек 5, то есть, по крайней мере, два узла имеют одинаковый вид (принцип Дирихле) - они то и будут искомыми.

 

Перед нами – готовое занятие кружка. Попробуйте и убедитесь сами, как удобно можно составлять занятия для кружка с помощью Problems.Ru.

 

Problems.Ru и уроки математики

 

На уроках в школе довольно часто встречается ситуация, когда один или несколько школьников оказываются на уровень выше остального класса, и задачи, которые приходится долго и подробно объяснять остальным, для таких учеников очевидны, а объяснения скучны. Им надо двигаться дальше, решать более интересные и менее стандартные задачи, задачи, содержащие элементы научного исследования. Соответственно учителю надо заранее приготовить для них такие задачи, четко скореллированные с изучаемыми в настоящее время с классом темами. Здесь может оказать большую помощь сайт Problems.Ru. Снова приведем несколько примеров.

 

Изучая прогрессии, можно дать в качестве дополнительной задачу 35281 :

 

Найти сумму а) 1+11+111+...+111...1, где последнее число содержит n единиц;

 

б) аналогичная задача, когда вместо единиц стоят пятерки .

 

Дополнительной задачей к теме «многочлены» может быть, например, задача 35231 :  

 

Вычислите коэффициент при x 100 в многочлене (1+x+x 2 +...+x 100 ) 3 после приведения всех подобных членов.  

 

Следующая задача 86519 относится к теме «Квадратный трехчлен. Теорема Виета»:  

 

Корни уравнения x 2 + ax + 1 = b - целые, отличные от нуля, числа. Докажите, что число a 2 + b 2 является составным.

 

При изучении тригонометрических уравнений в качестве дополнительного вопроса можно предложить задачу 77973 :  

 

Найти геометрическое место точек, координаты которых (x, y) удовлетворяют соотношению sin(x+y) = 0.

 

Если на уроке изучалась тема «подобие треугольников», то в качестве дополнительной задачи можно порекомендовать задачу 53301 :

 

В треугольник вписана окружность радиуса r. Касательные к этой окружности, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три маленьких треугольника. Пусть r 1 , r 2 , r 3 - радиусы вписанных в эти треугольники окружностей. Докажите, что

r 1 + r 2 + r 3 = r.

И так далее. (Подробные решения всех приведенных выше задач, иногда даже с подсказками для школьника, можно прочесть на сайте, если проследовать по ссылкам с номерами задач). Тем самым, на наш взгляд, достигается реальная индивидуализация и личностный подход при обучении математики. Добавим, что такая подготовка к уроку с помощью Problems.Ru потребует от учителя гораздо меньше времени, чем подбор задач по разным книгам, журналам и т.п

 

Заключение

 

Можно было бы рассказать еще о применении Problems . Ru при проведении олимпиад и об использовании нашего сайта для самостоятельной работы школьников, но это уже выходит за рамки обозначенной темы. В целом, мы постарались изложить в нашей статье все основные принципы работы Интернет-проекта Problems.Ru.

 

Мы надеемся на живой отклик читателей «Вопросов Интернет-образования», и с радостью прочитаем и учтем все присланные нам замечания и предложения. Пишите нам по адресу