Алгебре, 9 класс

 «Способы решения систем уравнений»             

Цели:

1.   повторить способы решения систем уравнений;

2.  акцентировать внимание на возможность решения систем различными способами;

3.   научить, при решении систем  уравнений, записывать верно ответ

4.   продолжить обучать умению

·         планировать самостоятельную работу;

·         осваивать информацию и логически ее перерабатывать;

·         вырабатывать собственную позицию, обосновывать ее и защищать

     ( обосновывать свой способ решения, свой результат);

Оборудование:

1. компьютер,
2. мультимедийный проектор,
3. мультимедийная доска,
4. карточки с тестами,
5. бланки ответов ГИА,
6. карточки для дополнительной работы сильным ученикам

Ход урока

I.                   Организационный момент

     Учитель сообщает тему урока, цели. В тетради записать число, тему урока.

 Слайд 1.2

II . Актуализация знаний

Слайд 3,4

Установите  соответствие между формулой и графиком   

III . Повторение

1. Как вы понимаете выражение -  «система уравнений»?

2. Что значит: решить систему уравнений? – Решить систему – это значит найти пару значений переменных,  которая  обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

3. Какие способы решения систем вы знаете? – подстановки, сложения и графический.

Слайд 5

Нажимая на ссылки: способ подстановки, способ сложения, графический способ переходите на соответствующий слайд

способ подстановки :Слайд 6-7

С решением систем этим способом познакомит___________________________________

способ сложения: Слайд 8-9

Рассказывает ______________________________________________.

 графический способ Слайд10-11

Беседа с учениками:

1.  Что нужно сделать для решения систем графическим способом? – Построить графики функций и найти координаты точек пересечения графиков. Для этого из каждого уравнения нужно выразить переменную у.

2.   Выразим из обоих уравнений переменную у.

3.   Что можно сказать о первом уравнении? – это уравнение функции обратной пропорциональности. График – гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных в первой и третьей координатных четвертях.

4.    Как построить гиперболу? (строим на доске, проверяем с помощью слайда)

5.   Что можно сказать о втором уравнении? – это уравнение квадратичной функции. График – парабола, полученная из графика функции  путём  перемещения на три единицы вверх по оси ординат.

6.    Сколько точек пересечения получили? – 1.

7.    Как найти её координаты?

8.   От чего зависит количество решений системы уравнений?- От количества точек пересечения графиков функций.

·         Алгоритм решения систем графическим способом

IV . Тренажер для глаз (над доской 3 голубя разного цвета: посмотреть на каждого из них, затем закрыть глаза и мысленно перенести их на другую стенку)

V. Отработка навыков

Выполняем несколько заданий из материалов ГИА (по слайдам)

Задание №1.

Слайд 12

Задание №2.

Слайд 13

Задание №3.

Слайд 14

Задание №4

Слайд 15

VI . Решение систем второй степени

Слайд 16

Решить систему уравнений

x-5y=5,
x² -25y² =-75.

Разложим левую часть второго уравнения системы на множители, используя формулу разности квадратов

A² –b² =(a+b)(a-b):

 X² -25y² =(x-5y)(x+5y)  

После этого наша система уравнений примет вид:
x-5y=5,
(x-5y)(x+5y)=-75.

Используя первое уравнение системы x-5y=5 , заменим во втором уравнении x-5y на его значение 5
x-5y=5,
 5(x+5y)=-75.  

Разделим левую и правую части второго уравнения системы на 5:
x-5y=5,
          x+5y=-15. (3)

Таким образом, мы получили линейную систему уравнений. Вычтем почленно из 1-ого уравнения 2-рое: -10y=20.Выразим отсюда y: y=-2. 

Теперь подставим у=-2 в одно из уравнений системы (3),

 например во второе:

x+5*(-2)=-15, x=-5.
  Ответ: x = -5, y = -2.

На боковых досках два человека решают системы и вместе с ними на местах два ученика

В1) Решить систему уравнений

2x+3y=-8,

4x² +5xy+9y² =50. (1) 

 Возведем в квадрат обе части первого уравнения: (2x+3y)²=(-8)²
  Используем формулу квадрата суммы:

(a+b)²  =a +2ab+b
(2x+3y)² =4x +12xy+9y  

После этого наша система уравнений примет вид:

4x+12xy+9y=64,
 4x+5xy+9y=50. (2) 

Вычтем почленно из первого уравнения второе:

7xy=14,

 xy=2.

  Воспользуемся первым уравнением системы (1): 2x+3y=-8.

Выразим из этого уравнения x через y:

 2x=-3y-8
x=-1.5y-4  

Теперь подставим в уравнение xy=2 вместо x полученное выражение:

y(-1.5y-4)=2
-1.5y²  -4y-2=0  

 Найдем корни полученного квадратного уравнения: y1=-2 и y2=-2/3.
  Подставляя полученные значения в уравнение x=-1.5y-4, найдем соответствующие значения x:

x1=-1.5*(-2)-4
x1=-1

x2=-1.5*(-2/3)-4
x2=-3 

Ответ: x1 = -1, y1 = -2; x2 = -3, y2 = -2/3.

В2) Решить систему уравнений

2x -xy=-8,
 y -2xy=32. (1) 

В первом уравнении вынесем за скобку x, а во втором y:
x(2x-y)=-8,
y(y-2x)=32.

  Домножим второе уравнение на -1:
x(2x-y)=-8,
 y(2x-y)=-32.  

Домножим первое уравнение на y, а второе на x:
xy(2x-y)=-8y,
xy(2x-y)=-32x.  

 Мы получили два уравнения, с одинаковой левой частью, следовательно, их правые части равны:
-8y=-32x   Выразим отсюда y: y=4x 

Подставим в уравнение x(2x-y)=-8 вместо y, полученное выражение:
    x(2x-4x)=-8
    x(-2x)=-8
-2x =-8
x=4 x1=2  x2=-2  

Подставляя полученные значения в уравнение y=4x,

найдем соответствующие значения y:

 y1=4*2
y1=8 y2=4*(-2)
y2=-8 

Ответ: x1 = 2, y1 = 8; x2 = -2, y2 = -8. 

В3) Решить систему уравнений 

x+4y=-2,
 x³ +64y³ =-56.

Используя формулу суммы кубов a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²), разложим на множители     x³+64y³:
x³ +64y³ =(x+4y)(x² -4xy+16y² ). 

После этого система  примет вид:

 x+4y=-2,

(x+4y)(x² -4xy+16y² )=-56.

Подставляя во второе уравнение системы вместо x+4y его значение -2, мы получим:

x+4y=-2,
-2(x -4xy+16y )=-56.

x+4y=-2,
 x -4xy+16y =28.  

 Возведем в квадрат обе части первого уравнения x+4y=-2.  

 По формуле квадрата суммы

(a+b)² =a² +2ab+b² :
(x+4y)² =x² +8xy+16y²

Таким образом, мы получим систему уравнений:
x +8xy+16y =4,
x -4xy+16y =28. (3)

  Вычтем почленно из первого уравнения системы (3) второе:
8xy-(-4xy)=4-28
12xy=-24
xy=-2

  Воспользуемся первым уравнением системы (1) и выразим одно неизвестное через другое, допустим x через y:

 x+4y=-2
x=-4y-2  

 Подставим теперь в уравнение xy=-2 вместо x полученное выражение:

y(-4y-2)=-2
-4y² -2y+2=0
2y² +y-1=0

  Найдем корни полученного квадратного уравнения:
y1=-1 y2=0.5 

Подставляя полученные значения в уравнение x=-4y-2, найдем соответствующие значения x:

x1=-4*(-1)-2
x1=2

x2=-4*0.5-2
x2=-4 

Ответ: x1 = 2, y1 = -1; x2 = -4, y2 = 0.5

VII . Выполнение самостоятельной работы (Повторить вид и оформление бланков)

 Слайд 17,18

VIII . Проверка самостоятельной работы (Бланки собрать, а проверить по тетрадям в которых решали)

Слайд 19

IX . Домашнее задание

Слайд 20

Средний уровень:

1.Повторить п.п.12-24 (учебник Ю.Н.Макарычев,9 класс);

2.Решить из сборника заданий (автор Л.В.Кузнецова)

    № 949, № 957

Повышенный уровень:

3.Решить из сборника заданий (автор Лысенко)

    Вариант №15 (часть 2)

X . Рефлексия    Слайд 21