Урок математики по теме "Решение задач на сплавы, смеси, растворы"

Цели урока:

1. Обобщить способы решения задач на смешивание и сплавление.
2. Учить анализировать условие задачи, выбирать оптимальный способ решения
3. Развивать устную и письменную речь
4. Воспитывать аккуратность, самостоятельность и интерес к предмету через межпреметные связи

Оформление На доске подготовлена таблица опорных задач

Оборудование На листе А4 для каждой парты составлен сборник задач по теме

План урока:

1. Оргмомент (сообщение темы и цели урока, актуальность темы)
2. Актуализация опорных знаний (повторение основных допущений, решение простейших задач на части и проценты)
3. Изучение спсобов решения задач
4. Решение задач
5. Самостоятельная работа
6. Итог урока

Ход урока

1.Оргмомент

2.Учитель:

В демоверсии КИМ 2010г по математике заметно увеличилось количество задач практической направленности. Предлагаемые типы текстовых задач : задачи на движение , работу, на обратную и прямую пропорциональность, задачи , связанные с десятичной формой записи числа, на части и проценты , задачи на сплавы , смеси и растворы. Текстовые задачи на смеси ,  сплавы , растворы входят в различные сборники по математике ГИА, ЕГЭ. На вступительных экзаменах , на олимпиадах такие задачи  даются учащимся часто и часто вызывают затруднения. Этот тип задач вы чаще решали на уроках химии, сегодня мы рассматриваем  данную тему на уроке алгебры .

Тема урока:» Решение задач на сплавы , смеси и растворы.»(слайд№1)

(слайд№2)Цель сегодняшнего урока: обобщить способы решения задач на смешивание и сплавление, учиться анализировать условия задачи, выбирать оптимальный способ решения. Убедимся в связи 2-х наук математики и химии и в  том что их объединяет многое

Эпиграфом к уроку  будут служить слова академика А.Н.Крылова :

Теория без практики мертва или бесплодна , практика без теории невозможна  или пагубна …

Данная тема актуальна , она не только интересна но и полезна , освоив способы решения данного типа  задач у вас будет больше шансов успешной сдачи выпускных экзаменов как по математике так и по химии.

Чтобы научиться решать  задачи  на смешивание и сплавление различными способами, и в дальнейшем какой бы вы способ не выбрали важно помнить :

1. Все получившиеся смеси и сплавы являются однородными
2. Смешивание различных растворов происходит мгновенно
3. Объем смеси равен сумме объемов смешиваемых растворов
4. Объемы растворов и массы сплавов не могут быть отрицательными
5. Сумма массовых долей всех компонентов составляющих смесь равна 1.
6. Процентным содержанием  вещества в смеси  называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Вместо термина « процентное содержание вещества» будем употреблять  термин используемый вами на уроках химии, его синоним «массовая доля».
7. Слайд №3

 2. Актуализация опорных знаний

Ну а теперь выделим основные (опорные) задачи, которые вам придется использовать при решении задач на сплавы и смеси.

Перед вами в краткой форме записаны несколько задач. Предлагаю вам сформулировать их и решить.

И так вспомнили алгоритм решения на части и проценты это потребуется для хорошего усвоения темы.

3.Объяснение способов решения задач на смеси , сплавы и растворы.

Можно выделить  несколько характерных задач этого типа. Мы отрабатываем сегодня 2 вида задач , отличающихся условием слайд№4

1.Имеются 2 сплава ( 2 смеси) с разным содержанием компонентов , затем эти сплавы

(  смеси ) целиком или их некоторое количество соединяются вместе , получается новый сплав (смесь).

2.Имеется сплав 1 сплав 2-х металлов (или  1 смесь 2-х веществ )с определенным содержанием компонентов выраженным в большинстве случаев в % . Затем один из компонентов  в некотором количестве добавляется в сплав (смесь)и получается новый сплав (новая смесь).

Из предложенных задач определить  , какие задачи 1 и 2 вида..(разд.материал на парте. Слайд№5

1Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с ее 10%-ным раствором и получили 600г 15%-ного раствора соляной кислоты .Сколько грамм каждого раствора было взято?

2.Имеется 2 сплава меди и свинца .Один сплав содержит 15% меди , а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава , чтобы получилось 200г сплава , содержащего 30% меди.?

3..Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько  тонн стали первого сорта нужно взять, чтобы в смеси со вторым сортом, получить при плавке 140 тонн стали с содержанием никеля 30%?

4.Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15кг содержащий 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30% меди?

5.В 4кг сплава меди и олова содержится 40% олова.  Сколько кг олова надо добавить к этому сплаву , чтобы его процентное содержание  в новом сплаве стало равным 70%?

Учитель: Анализируя условия задач определите Преимущественно задачи какого вида?

Сайд№6(с решением задачи№1)

Учитель: Алгебраический метод   решения задач уравнением  удобно сопровождать составлением модели – схемы :

Сайд №7 удобная модель – схема( учитель подробно объясняет заполнение схем и составление уравнений или систем уравнений)

Свинец      медь                                свинец        медь                                свинец               медь

1сп.    Х г                                                          (200- х  )г                                            200г

2сп.Хг                                                                       Уг                                                200г

1сп.: 0,15*х+ 0,65*(200-х)=0,3*200

2сп:

         0,15*х + 0,65*у=0,30*200

        х+у=200

1способ -уравнение м

2 способ – система 2-х уравнений

Задача 2. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

    Изобразим каждый из сплавов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Кроме того, на модели отобразим характер операции – сплавление, поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками. Поставив знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками, мы тем самым показываем, что третий сплав получен в результате сплавления первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:

Теперь заполняем получившиеся прямоугольники в соответствии с условием задачи:

1. Над каждым прямоугольником («маленьким») указываем соответствующие компоненты сплава. При этом обычно бывает достаточно использовать первые буквы их названия (если они различны). Удобно сохранять порядок соответствующих букв.
2. Внутри прямоугольников вписываем процентное содержание (или часть) соответствующего компонента. Понятно, что если сплав состоит из двух компонентов, то достаточно указать процентное содержание одного из них. В этом случае процентное содержание второго компонента равно разности 100% и процентного содержания первого.
3. Под прямоугольником записываем массу (или объем) соответствующего сплава (или компонента).

Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели- схемы:

			+

Решение.

 1-й способ. Пусть хг – масса первого сплава. Тогда, (200-х)г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:

   Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):

    Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200-х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго-60г.

Ответ:140г. 60г.

2-й способ. Пусть х г и у г – масса соответственно первого и второго сплавов, то есть пусть исходная схема имеет вид:

 Легко устанавливается каждое из уравнений системы двух линейных уравнений с двумя переменными:

Решение системы приводит к результату: Значит, первого сплава надо взять 140 г, а второго-60 г.

Ответ: 140г,60г.

Итак вывод : задачи 1 вида легко и быстро с помощью модель – схем решаются  алгебраическим методом – или уравнением , либо системой 2 –х уравнений.

Слайд.№8 – исторический , с полным  алгоритмом решения.

Старинный способ решения  задач данного типа  известен издавна., он описывался в рукописях «Арифметика» Л.Ф.Магницкого

Группа-консультанты по химии : Консультанты по химии консультируют по правилу «креста» и демонстрируют решение 3-ей задачи данным правилом.

Друг под другом пишутся содержание никеля, имеющихся сплавов, слева от них примерно по середине- содержание никеля в сплаве, который должен получиться при сплавлении.

Соединив числа черточками получим такую схему

                                       5

                        30

                                         40

Рассмотрим пары 30 и 5 , 30 и 40. В каждой паре из большого числа вычтем меньшее и результат запишем в конце  соотвествующей черточки, получим схему:

                                            5                              10

                               30

                                              40                          25

Из полученной схемы делаем заключение , что 5-% -оного сплава надо взять 10 частей , аи 40% -ного надо взять 25 частей, т.е для получения 30% сплава необходимо взять 40г – 5% ого и 100г 40% ого сплава.

Слайд №9( подробно объясняют решение правилом креста уч-ся 2 гр)

Третью задачу решаем знакомым с уроков  химии « правилом креста».

              5(р1)            25(м1)          5            140:7=20г                м1/м2=р2-р/р1-р формула смешения

30(р)                                                             20*5=100г

40(р2)             10(м2)          2             20*2=40г

.

Решение оформляем у доски.  Преимущества данного способа очевидно.

1.Он позволяет легче запомнить последовательность действий при решении задач на смешивание и сплавление.

      2.можно добиться автоматизма при выполнении самих действий.

      3.экономить время что ни маловажно в условиях экзамена

    4.применяется при решении многих практических задач.

Учитель: 1.Какая связь между алгебраическим способом решения и формулой смешивания , соответственно  правилом креста ? (задание оформляет 1группа )

2.Для док-ва вам необходимо решить задачу в общем видеи вывести формулу смешения

Историческая задача и ее решение предложенное в рукописях Магницкого (оформляет 2 группа)

Задание 3 группе. (слайд№10)

4.Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15кг содержащий 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30% меди?(решить уравнение  относительно меди , подсчитав его слева и справа)

5.В 4кг сплава меди и олова содержится 40% олова.  Сколько кг олова надо добавить к

этому сплаву , чтобы его процентное содержание  в новом сплаве стало равным 70%?

( решить задачу относительно  олова , подсчитав его слева и справа)

4.

олово                  медь                                  олово                                             олово         медь

        15г                                                     х г                                                         (15+х) г

0,4*15=0,3( 15+х)

5. олово              медь                                  олово                                             олово         медь

                        4кг                                             х кг                                                   (4+х)кг

0,4*4+ х =0,7*(4+х)

Задача 5. В 4кг сплава меди и олова содержится 40% олова. Сколько килограммов олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание в новом сплаве стало равным 70%?

Решение: Пусть х кг – искомое количество олова. Тогда масса полученного сплава равна (4+х) кг. Составим схему и внесем эти выражения на схему:

 Составим уравнение, подсчитав массу олова слева и справа от знака равенства на схеме. Получаем уравнение: (1), корнем которого служит

Отметим, что уравнение можно составить и на основе подсчета массы меди слева и справа от знака равенства. Для этого понадобится знать процентное содержание меди в данном и полученном сплавах. Внесем эти данные в схему:

 В этом случае получаем следующее уравнение:

 (2).

    Уравнение (1) равносильно уравнению (2). В этом легко убедиться, решив последнее уравнение. Его корень равен 4. Обычно решают то уравнение, которое проще. В нашем случае разница не так заметна. Вместе с тем, второе уравнение содержит переменную только в одной (правой) части, и его обе части сразу можно разделить на 0,3. Поэтому предпочтение можно отдать второму уравнению.

Ответ:4кг.

Вывод: нет существенной разницы относительно какого компонента решать задачу)

Учитель: каждая группа  предоставляет вниманию свою работу

1группа предлагают внимание док-во правила креста и формулу смешения через алгебраический способ решения (слайд№11)

2 группа предлагает решение задачи из учебника Магницкого (слайд№12)

 3 группа показывает решение задач 2 вида алгебраическим методом(слайд№13)

4.Закрепление способов решения

Вывод:1 гр. Какой бы вы способ решения не выбрали  необходимо помнить :

1.закон сохранения масс и объемов .2. Пользуйтесь алгоритмом :

АО каком процессе идет речь ?

Б.какими величинами характеризуется этот процесс?

В.заполнить схему данными задачи , уяснить связи величин в таблице

Г.какое условие необходимо использовать  для составления уравнения?

Д.Записать уравнение и определить легко ли его решать , иногда стоит обозначить

за Х другой компонент и использовать другую связь между величинами.

Алгоритм продемонстрирует 1 группа на примере задач (слайд№14)

.

Задача 6. К некоторому количеству сплава меди с цинком, в котором эти металлы находятся в отношении 2:3, добавили 4 кг чистой меди. В результате получили новый сплав, в котором медь и цинк относятся как 2:1. Сколько килограмм нового сплава получилось?

   Решение.

Прежде чем составлять схему, уточним, что в первом сплаве медь составляет , а в полученном сплаве - . Обозначим массу полученного сплава х  кг, и, внеся указанные части в соответствующие фрагменты схемы, получаем:

Нетрудно составить уравнение, подсчитав количество меди слева от знака неравенства, и приравняв его к количеству меди, справа от него. Получаем уравнение: Решив его, получаем искомое значение: х=9.

Замечание. Можно было составить уравнение на основе подсчета массы цинка в обеих частях неравенства. Для этого внесем в схему необходимые данные:

         1)если в первом сплаве медь составляет часть , то цинк – ;

 2) если в полученном сплаве медь составляет часть , то цинк – .

Уравнение в этом случае имеет вид:  Это уравнение равносильно предыдущему.

Ответ х=9кг.

Аналогичные рассуждения позволяют школьникам справиться и с более сложными задачами рассматриваемого вида.

Задача 7. Имеются три смеси, составленные из трех элементовA, B и С. В первую смесь входят только элементы А и В в весовом отношении 1:2, во вторую смесь входят только элементы В и С в весовом отношении 1:3, в третью смесь входят только элементы А и С в весовом отношении 2:1. В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, В и С содержались в весовом отношении 11:3:8?

Решение.

Предшествующая работа позволяет школьникам без проблем составить одну из схем, где за  х единиц веса, у единиц веса и z единиц веса обозначены соответственно вес первой, второй и третьей смеси.

Вторая схема может иметь вид:

Подсчет и уравнивание веса любых двух из трех компонентов рассматриваемых смесей приводит к системе двух уравнений с тремя переменными. Если рассмотрим компоненты А и В, то система имеет вид:

Решение этой системы может вызвать затруднения у школьников: количество уравнений (их два) меньше числа переменных (их три). Навести на решение поможет правило: составить выражение, значение которого надо найти по вопросу задачи. Это выражение имеет вид: x:y:z. Значит, для ответа на вопрос задачи совсем не обязательно находить значение каждой из переменных. Достаточно найти два отношения x:y и y:z или  x:y и z:y. Для нахождения двух последних отношений разделим левую и правую части каждого уравнения на у (у≠0).Получаем систему:

Теперь система имеет два уравнения и две переменных:  Целесообразно для удобства записей ввести новые переменные:  Теперь система принимает вид:

В результате решения системы получаем:  это означает, что  следовательно, искомое отношение имеет вид: x:y:z=3:4:15.

Ответ:3:4:15.

Группа №2 демонстрирует удобный способ решения – решение задач по формуле смешивания.

(слайд№15)

5.САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ  РАБОТА

Самостоятельная работа сопровождается  решением задач №1- №11  с предоставлением проверки группе №1 если решение алгебраическим методом , группе №2 если решение проведено по правилу креста или формуле смешения.

Итог урока

Рефлексия( слайд) .

Д/зПодобрать Решение з вида задач : Имеется 1 или 2сплава (смеси) затем их сплавляют( или смешивают ) с одним из компонентов или друг с другом в 2-ух вариантах исполнения .

2.Найти дополнительную информацию о графическом способе решения.И решить любую из решенных задач в классе данным способом.