«Как выглядит в различных системах счисления тридевятое царство и тридесятое государство и  где его искать на числовом луче?»

(Математика)

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………..3

1.Глава Системы счисления…………………………………………………………5

1.1.Виды систем счисления…………………………………………..……….5

2.Глава Дроби…………………………………………………………………….….6

2.1.Обыкновенные (простые) дроби и их виды….……….……………........6

2.2.Десятичные дроби и их виды……………………………..…………..….6

3. Глава Перевод целых чисел и  дробей ……………………………………….….7

3.1 Порядок перевода десятичных дробей в обыкновенные (простые) и наоборот ………………………………………………………………………...…….7

3.2. Перевод целых чисел и дробей в различные системы счисления……..8

4. Глава тридевятое царство и тридесятое государство на числовом луче……...13

5.Заключение……………………………………………………………………..….14

Список используемой литературы……………………………………………........15

ВВЕДЕНИЕ

Часть первоначальной информации об окружающем мире дети получают из увлекательных сказок и поучительных историй, которые им рассказывают мамы, папы и бабушки. Так, мы впервые знакомимся с дробями, слушая начало сказки «в тридевятом царстве в тридесятом государстве» еще не осознавая, что это такое – дроби.

Когда во втором классе я познакомился на уроках математики с различными системами счисления, а бабушка мне объяснила, что такое дроби, мне захотелось узнать об этом подробнее. В это же время я познакомился с книгой моего земляка директора 31 лицея города Челябинска Попова Александра Евгеньевича «Хулиганские дроби». После ее прочтения мне стало интересно, как же будут выглядеть числа и дроби в других системах счисления, кроме общеустановленной десятичной, и уж тем более, как  можно перевести дроби из одной системы счисления в другую. Захотелось узнать, как бы начиналась сказка, если бы «тридевятое царство и тридесятое государство» было бы, например в двоичной, восьмеричной или какой - либо другой системе счисления? Эти вопросы так увлекли меня, что написание исследовательской работы стало для меня актуальным. Я захотел найти ответы на вопросы: как можно перевести целые числа и дроби из одной системы счисления в другую? Где можно найти их на числовом луче? Я попробую выяснить это путем проведения расчетов и анализа полученных данных.

Тема исследовательской работы: «Как выглядит в различных системах счисления тридевятое царство и тридесятое государство и  где его искать на числовом луче?»    Цели исследования:

1. Собрать и систематизировать всю имеющуюся на сегодняшний день информацию о дробных числах  и системах счисления;
2. Изучить способы перевода дробей из обыкновенных в десятичные и наоборот;
3. Выяснить, где «живут» тридевятое царство и тридевятое государство на числовом луче;

4. Представить дроби  и  в виде десятичных дробей и позиционных дробей в двоичной и восьмеричной системах счисления.

Для реализации поставленных целей мне пришлось решить ряд задач.

Задачи исследования:

1.изучить теоретический материал по данной теме в справочной литературе и интернет -  источниках;

2.проверить на практике работу принципов перевода целых и дробных чисел из десятичной

системы счета в недесятичные;

3.найти место на числовом луче для дробей  и  

             Методы

1. изучение и анализ научно – познавательной литературы, имеющейся по этим вопросам;

2. апробация  алгоритма расчета на конкретных примерах;  

3. анализ и систематизация полученных данных;

4.  работа с интернет – источниками.

          Гипотеза: я предполагаю, что дроби  и   можно перевести в десятичные и в позиционные в других системах счисления и найти их место на числовом луче.

   Объект исследования:  целые и дробные числа,  системы счисления (десятичная и не – десятичные).

          Предмет исследования: дроби  и .

                                             ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

                                         Глава 1 Система счисления

Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Число — некоторая абстрактная сущность, мера для описания количества. Цифры — знаки, используемые для записи чисел.

Цифры бывают разные: самыми распространёнными являются арабские цифры, представляемые знаками от нуля  до девяти, менее распространены римские цифры, их часто можно встретить  на циферблате часов или в книгах, где описываются исторические события и есть обозначения веков  (например: XVI век).

Поскольку чисел гораздо больше, чем цифр, то для записи числа обычно используется набор (комбинация) цифр. Только для небольшого количества чисел — для самых малых по величине — бывает достаточно одной цифры.

Система счисления – это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

1. Виды систем счисления

Существуют позиционные и непозиционные  и смешанные системы счисления.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, рассмотрим число 151,1 первая единица (слева) означает сто, вторая – единицу, а третья – 1 десятую долю единицы. Сама же запись числа 151,1 означает сокращенную запись выражения:

100 + 50 + 1 + 0,1 = 1•10² + 5•10¹ + 1•10⁰ + 1•10^-1 = 151,1.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Примером «чисто» непозиционной системы счисления является римская система.  Например, II – здесь обе единицы обозначают единицу или  XХXV, XVI, VIII – здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая цифрой V, не зависит от его позиции. Такая система счисления не удобна, потому что запись большого числа будет выглядеть очень громоздко.

Смешанную систему счисления можно рассмотреть на примере денежных знаков  

используемых на территории Российской Федерации. Так, например книга С.Б. Гашкова  «Системы счисления и их применение» стоит 139 рублей.

Чтобы приобрести эту книгу, как один из вариантов необходимо использовать одну купюру по сто рублей, три – по десять рублей, одну монету по пять рублей и две монеты по два рубля. Если записать, количество купюр или монет начиная со 100 рублей и заканчивая одной копейкой, заменяя нулями неиспользуемые номиналы, то получится число 1031200000

Если перемешать цифры в числе 1031200000 оно представит ложную цену книги. Следовательно, такая запись относится к позиционным системам. Если к каждой цифре приписать знак номинала, то такие составные знаки (цифра + номинал) уже можно перемешивать, то есть такая запись является непозиционной.

Глава 2 Дроби

Дроби людям известны еще из древности. Если задуматься – весь мир, в котором мы живём, это сплошные дроби и дробность. Все и всё разделено, смешано и спутано. В течение одного дня можно усмотреть массу примеров, когда мы встречаемся с дробями. Налила мама стакан сока из литровой бутылки, вот и первая дробь – 1/5, разделила яблоко на 3 части, а я съел две из них – вот дробь 2/3, послушал сказку и здесь с дробями встретился:   

Негде, в тридевятом царстве,      

В тридесятом государстве,

Жил-был славный царь Дадон.

 С молоду был грозен он

(А.С. Пушкин Сказка о золотом петушке.)

Дроби бывают: обыкновенные (простые) и десятичные.

2.1. Обыкновенные (простые) дроби и их виды

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде  или  a/b, где горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем. Обыкновенные дроби могут быть правильные (числитель меньше знаменателя), неправильные (числитель больше или равен знаменателю) и смешанные (записанная в виде целого числа и правильной дроби);

1. Десятичные дроби и их виды

Десятичная дробь  - имеет следующую форму записи: сначала целая часть, затем разделитель целой и дробной части точка или запятая и затем дробная часть. Количество цифр дробной части строго определяется размерностью дробной части: если это десятые доли, дробная часть  записывается  одной цифрой; если сотые – двумя, если тысячные — тремя;  десятитысячные — четырьмя и т. д. Десятичная дробь может быть конечной и бесконечной.

Рассмотрим десятичные дроби на примере тридесятого государства и тридевятого царства.

 -тридесятое государство может быть представлено в виде конечной дроби, то есть содержит конечное число цифр после запятой. Например,  3 : 10 = 0,3. Конечная дробь может быть записана со знаменателем 10, 100, 1000 и.т.д.  В нашем случае, .

-тридевятое царство можно представить в виде бесконечной дроби, то есть в записи этой дроби находится бесконечное множество цифр после запятой. Например, 3 : 9 = 0,33333333…

Такую дробь невозможно записать со знаменателем 10, 100, 1000  и.т.д.

Бесконечные дроби могут быть периодическими – то есть в записи этих дробей, начиная с некоторого знака после запятой, бесконечно повторяется какая-нибудь цифра или группа цифр, которую называют периодом дроби.  Периодом дроби 0,3333333… является цифра 3. Для бесконечных периодических десятичных дробей принята особая форма записи. Для краткости  период дроби записывается один раз и заключается в круглые скобки. Например, дробь 0,33333333… записывается как 0,(3).

1. Глава Перевод целых чисел  дробей

3.1 Порядок перевода десятичных дробей в обыкновенные (простые) и наоборот

Для того чтобы осуществлять преобразование дробей необходимо четко запомнить одно правило, которое гласит, что если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. Например,  

Для перевода десятичной дроби в обыкновенную (простую) достаточно уметь читать десятичные дроби. Так как правило, перевода гласит: «Как слышится, так и пишется». Например, переведем десятичную дробь 0,55 в обыкновенную. Произносим ноль целых пятьдесят пять сотых, и  записываем . В данном случае можно дробь сократить, делим числитель и знаменатель на 5 и получаем . Рассмотрим вариант, когда у дроби имеется целая часть, например любимое мною число π – 3,14. Для этого воспользуемся следующими правилами:

во-первых, записать данную десятичную дробь в числитель, предварительно отбросив десятичную запятую и все нули слева, если они есть;

во-вторых, в знаменатель записать единицу и к ней дописать столько нулей, сколько цифр находится после запятой в исходной десятичной дроби;

в-третьих, при необходимости выполнить сокращение полученной дроби.

Записываем = 3 .

А как же перевести бесконечную периодическую дробь в обыкновенную, рассмотрим на примере. 0,(3)=0,3 + 0,03 + 0,003 +… и так до бесконечности (убывающая геометрическая прогрессия) с первым членом 0,3 и знаменателем 0,1. Используем формулу суммы и получаем

Из проделанных мною расчетов можно сделать вывод, что любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную.

Для перевода обыкновенной дроби со знаменателем 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее в десятичную дробь воспользуемся правилом «Как слышишь, так и пишешь» (приложение 1 видеоролик). Например,  переводим 0,3. Если же дробь имеет иной знаменатель, например, здесь существует два варианта, первый 1 : 4 = 0,25, или вспоминаем основное свойство дроби и умножаем числитель и знаменатель дроби на число, которое приведет наш знаменатель к 10,  100, или 1000 и.т.д.  . Если же нужно перевести дробь, у которой числитель не делится на знаменатель без остатка или знаменатель нельзя привести к 10, 100, или 1000 и.т.д. как у нашего тридевятого государства, необходимо произвести деление числителя на знаменатель, при этом  начиная с некоторого шага, остатки начитают периодически повторяться, при этом повторяются и цифры в частном. Это означает, что исходная обыкновенная дробь переводится в бесконечную периодическую десятичную дробь. Например,  = 0,33333333.. =0,(3)

1. Перевод целых чисел и дробей в различные системы счисления

При переводе целого числа из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления, нужно это число последовательно делить на основание той системы счисления в которую осуществляется перевод, таким образом, чтобы в остатках от деления были только символы новой системы счисления. Полученное число в новой системе счисления записывается как последовательность остатков от деления, в обратном порядке, начиная с последнего. Рассмотрим на примерах:

Переведем число 19 в двоичную и  шестнадцатеричную системы счисления

1910 - ?2             1910 - ?16                     Таким образом, 1910 = 100112 ;   1910 = 1316

Для более компактной записи чисел получаемых при делении в каждой системе счисления используется алфавит цифр. Рассмотрим его на основании некоторых систем счисления приведенных в таблице.

Например, при переводе числа 123 в шестнадцатеричную систему счисления, получаем

12310 = 7В16

Проверим правильность перевода  и осуществим обратный перевод

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.

Например, требуется перевести двоичное число 10011 в десятичное. В этом числе 5 цифр и 5 разрядов (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2: 10011₂ = 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16+0+0+2+1 = 19.

Таким образом, 10011₂ = 19₁₀.

Выполнить перевод числа 1316 в десятичную систему счисления. Имеем:

1316 =  1*16¹ + 3*16⁰ = 16 + 3 = 19.  Таким образом, 13₁₆ = 19₁₀.

Для перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную и в шестнадцатеричную воспользуемся таблицей записи чисел в родственных системах счисления так, чтобы числа в двоичной системе представляли собой триады и тетрады. Для этого слева добавим незначащие нули.

Пользуясь таблицей триад и тетрад произведем переводы:

Алгоритм перевода двоичного числа в восьмеричное:

- Разбиваем двоичное число справа налево на группы из трёх бит (триады).

- Если в самой левой группе меньше трёх бит, то дописываем слева незначащие нули.

- Каждой триаде сопоставляем восьмеричную цифру.

 Переводим  число 11011111₂  в восьмеричную систему счисления.

- Разбиваем двоичное число справа налево на группы из трёх бит (триады)  11  011  111.

- В самой левой группе меньше трёх бит,  дописываем слева один незначащий ноль 011  011  111

- Каждую триаду заменяем восьмеричной цифрой: 3 3 7

   11011111₂ = 337₈

Алгоритм перевода двоичного числа в шестнадцатеричное:

- Разбиваем двоичное число справа налево на группы из четырёх бит (тетрады).

- Если в самой левой группе меньше четырёх бит, то дописываем слева незначащие нули.

- Каждой тетраде сопоставляем шестнадцатеричную цифру.

 Переводим  число 10001000100₂  в шестнадцатеричную систему счисления.

- Разбиваем двоичное число справа налево на группы из четырёх бит (тетрады)  100  0100  0100.

- В самой левой группе меньше четырёх бит,  дописываем слева один незначащий ноль 0100  0100  0100

- Каждую тетраду заменяем шестнадцатеричной цифрой: 4 4 4

10001000100₂ = 444₁₆

Для того, что бы перевести дробь из десятичной системы счисления в любую другую, надо:

1) последовательно умножать данную дробь на основание системы счисления, в которую переводим, до тех пор, пока дробная часть не будет равна нулю, или не будет достигнута требуемая точность вычислений. При этом необходимо выделять целые части получаемых произведений;

2) полученные целые части произведений, являются цифрами числа в новой системе счисления (при необходимости их надо привести в соответствие с алфавитом этой системы счисления);

3) составить дробную часть, в новой системе счисления начиная с целой  части первого произведения.

Но надо помнить, что умножается на основание системы счисления только дробная часть, а не целая часть дроби. Например, проведем перевод с точностью до пяти знаков и узнаем, как будет выглядеть тридесятое государство (=0,3) в двоичной и восьмеричной системах счисления:

Аналогично переведем и тридевятое царство,  поскольку = 0,33333…., перевод будет приблизительным, и мы возьмем для перевода 0,33.

Рассмотрим вариант перевода смешанной дроби, у такой дроби, есть целая и дробная часть. Надо обязательно помнить, что целая часть дроби переводится по правилам перевода целого числа, то есть целая часть будет делиться на основание системы счисления, а дробная умножаться на это же основание. Например, переведем 79,625₁₀ =?₈

Переводим целую часть 79∟8                        Получилось - 117

                                          72    9∟8

                                            7    8    1

                                                  1

Переводим дробную часть 0,625 * 8 = 5,000 , что составляет 0,5.

 Дальнейшего перевода проводить не нужно, так как дробь перевелась полностью. Теперь необходимо  117 + 0,5 = 117,5. Таким образом, 79,625₁₀ = 117,5_8.

Рассмотрим, порядок перевода дробей из любой системы счисления в десятичную. Для этого необходимо воспользоваться развернутой формой записи числа.

Возьмем число в десятичной системе счисления, например 254,62  и представим его в следующем виде:

254,62 = 2*10² + 5*10¹ + 4*10⁰ + 6*10^-1 + 2*10^-2

Мы записали число в развернутой форме, в которой:
          2,5,4,6,2 - цифры числа
          10 - основание системы счисления
           показатели степени:  2,1,0,-1,-2  соответствуют номеру позиции цифры в числе.

Развернутую форму для числа представленного в любой системе счисления можно записать в общем виде следующим образом:

A_q = a_n-1*q^n-1 + a_n-2*q^n-2 +  ... + a₀*q⁰  + a_-1*q^-1 + a_-2*q^-2+ ...  +a_-m*q^-m 

Где,   q - основание системы счисления
           n -  число разрядов целой части числа
           m - число разрядов дробной части числа
           a_i - цифра числа
           A_q - само число,
 Переведем 11010,101₂ = ?₁₀

Переводим число 1011101.001 из двоичной системы счисления в десятичную:

 Решение: 1·2⁶+0·2⁵+1·2⁴+1·2³+1·2²+0·2¹+1·2⁰+0·2^-1+0·2^-2+1·2^-3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Перевод дробной части числа из двоичной системы счисления в восьмеричную 

При переводе из  2-ой в 8-ую  систему счисления надо дробную часть  разбить на триады (по три разряда) и записать каждую триаду эквивалентным двоичным кодом, недостающее число разрядов надо дополнить справа нулями. 

Например:  
111100101,0111₂ =111 100 101,011 100₂ = 745,34₈.

Перевод дробной части числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную 

При переводе  из 2-ой в 16-ую  систему счисления надо дробную часть  разбить на тетрады (по 4 разряда) и записать каждую тетраду эквивалентным двоичным кодом, недостающее число разрядов надо дополнить справа нулями. 

Например: 11101001000,1101001₂ = 0111 0100 1000,1101 0010₂ =748,D2₁₆.

Глава 4 Тридевятое царство и тридесятое государство на числовом луче

Между точками числового луча и десятичными дробями существует взаимно однозначное соответствие. Разберемся, как строятся точки на числовом луче, соответствующие данной десятичной дроби и найдем где на числовых лучах «живут» тридевятое царство и тридесятое государство.

Конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби мы можем заменить равными им обыкновенными дробями, после чего построить соответствующие обыкновенные дроби на числовом луче. Например, тридесятому государству соответствует обыкновенная дробь , поэтому «место жительства» тридесятого государства удалено от начала отсчета в положительном направлении на 3 отрезка, равным десятой доле единичного отрезка. Аналогично отразим тридевятое царство,

Тридевятому царству соответствует дробь    поэтому точка «живет» тридевятое царство от начала отсчета в положительном направлении на 3 отрезка, равных девятой доле единичного отрезка. Поскольку у нашей дроби знаменатель равен 9 , выбираем единичный отрезок с 9 делениями. Одно деление будет равно одной девятой доли единичного отрезка, равного 9 делениям. Отразим это на числовых лучах:

^{0                                                    1}

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных  исследований, наблюдений и расчетов я выяснил, что выдвигаемая мною гипотеза: «Дроби  и   можно перевести в десятичные, в позиционные в других системах счисления и найти их место на числовом луче» оказалась истинной.

В ходе работы мною сформулированы следующие выводы:

 Существуют математические способы перевода дробей из обыкновенных в десятичные и наоборот.

Можно представить обыкновенные дроби (на примере дробей  и  ) в виде десятичных  и позиционных дробей в других системах счисления, в том числе двоичной и восьмеричной.

Позиционные дроби «живут» на числовом луче.

А отрывок из сказки Александра Сергеевича Пушкина выглядел бы так:

Негде, в   0,01010₂ или  0,25075    (тридевятом царстве),

В  0,01001₂ или 0,23146₈                (тридесятом государстве),

Жил-был славный царь Дадон.

 С молоду был грозен он

          В дальнейшем я бы хотел выяснить, можно ли с дробными числами в недесятичных системах счисления производить те же арифметические действия, что и с десятичными дробями. 

Список используемой литературы:

Попов А.Е.  Хазина Ю. «Хулиганские дроби»

Андронов И.К. Арифметика. Развитие понятия числа и действий над числами. М.: Гос. уч.-пед. изд-во, 1962.

Гельфман Э.Г., Демидова Л.Н., Лобаненко Н.Б. и др. Математика: Учебник для учащихся 5 кл.: В 2 ч. Ч. 1. М.: Просвещение,2004. 320 с.

Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника матемтики: Пособие для учащихся 5–6 кл. М.: Просвещение, 1989.287 с.

Депман И.Я. История арифметики. Изд. 4-е. М.: КомКнига,2007. 416 с.

Потапова М., Чулков П. Я иду на урок математики: 5 кл. М.,1999.

Шевченко И.Н. Арифметика: Учебник для 5–6 кл. М.: Просвещение, 1966.

Энциклопедия для детей. Т. 11: Математика / Глав. ред. М.Д. Аксёнова. М.: Аванта+, 1999. 688 с.

Энциклопедия элементарной математики / Под ред. П.С. Александрова, А.И. Маркушевича, А.Я. Хинчина. М., 1951.

Шидова Н.В.  Из истории возникновения дробей

Романова А.Д  Путешествие в сказочную страну дробей

С.Б. Гашкова Системы счисления и их применение

 Интернет -  ресурсы: www.lyceum95.ru,   rodstv-cc.doc,   www.cieverstudents.ru ,  

www.mathematics-repetition.com, matworld.ru, chool.dtv.su, www.cs.karelia.ru  www.deverstudents.ru, egesdam.ru,  banksfer.ru,   www.informatika.edu .