Применение графика производной к исследованию свойств функции
Размещено: Людмила Юрьевна Лиц - чт, 05/01/2012 - 10:54
ЕГЭ по математике, обязательное для каждого ученика, требует серьезной перестройки учительского труда. Надо не только повторить с учащимися весь материал, но и научить их применять полученные знания в новой, незнакомой ситуации. И это касается не только заданий части С.
Свою работу при повторении материала по той или иной теме строю так, чтобы она не сводилась к простому натаскиванию, к прорешиванию многочисленных однотипных заданий, а была построена так, чтобы при повторении необходимого базового материала, было достаточное количество задач творческого характера, задач, в которых ученик может применить свои знания.
В Стандарте большое внимание уделяется формированию у учащихся умений использовать приобретённые умения и знания по всем изучаемым темам в практической деятельности и повседневной жизни. В частности, это касается темы «Функции и графики». Не зря авторы контрольно – измерительных материалов уделяют большое внимание проверке умений читать по графику свойства функции, применять свойства функций при решении задач повышенного и высокого уровней сложности. Одним из таких заданий является задание В8, в котором из года в год предлагается по графику производной описать особенности поведения функции. Для того чтобы подготовить учащихся к решению данного задания, я провожу цикл уроков. Данный урок – первый из этого цикла.
Урок алгебры в 11 классе
«Применение графика производной к исследованию свойств функции»
Цели: 1) выработать специфические умения и навыки по работе с графиком производной функции для их применения при сдаче ЕГЭ;
2)формирование умений читать свойства функции по графику её производной; умений анализировать материал, выявлять аналогии;
3) способствовать формированию мышления, направленного на решение нестандартных задач;
4) способствовать выработке у учащихся сравнивать и обобщать изучаемые факты.
Тип урока – совершенствование и углубление знаний, умений и навыков.
Ход урока
I. Организационный момент, сообщение учащимся цели урока: научиться по графику производной исследовать свойства функции,
Учитель.Мы заканчиваем изучение темы « Применение производной к исследованию функций». Наша цель сегодня - научиться исследовать функцию по графику её производной. Этой темы нет в наших учебниках, но в ЕГЭ задания такого типа повторяются из года в год, причём формулировки вопросов постоянно изменяются.
II. Актуализация субъектного опыта учащихся.
1. По следующим данным, приведённым в таблице, охарактеризуйте поведение функции.
х
(-3;0)
0
(0;4)
4
(4;8)
8
(8;+∞)
f΄(x)
+
0
-
0
-
0
+
f(x)
-3
-5
6
Сделайте вывод.
III. Проверка домашней работы.
Задание.
Построить графики функций и их производных в одной системе координат:
1) у=x2+4x+3 и (y΄=2x+4) ;
2) у=3х5-5х3+1 и ( у΄=15х4-15х2).
Для графика функции заполнить таблицу по схеме.
Учитель. По построенному графику производной исследуем свойства функции. Заполняется третий столбец таблицы.
Графики заранее построены на доске, ученики сверяют правильность построения.
Схема исследования свойств функции:
1) D(y);
2) E(y);
3) является ли функция чётной (нечётной);
4) нули функции;
5) промежутки знакопостоянства;
6) промежутки монотонности;
7) точки экстремума, экстремумы функции;
8) наибольшее и наименьшее значения функции.
у =x2+4x+3,
у =2x+4
D(y)
R
R
E(y)
[-1;+∞)
-
нули функции
x=-3;-1
-
чётность (нечётность)
ни чётная ни нечётная
-
промежутки знакопостоянства
y>0 на(-∞;-3) u(-1;+∞);
y<0 на (-3;-1)
_
промежутки возрастания - убывания-
[-2;+∞)
(-∞; -2]
[-2;+∞)
(-∞; -2]
точки экстремума и значения функции в этих точках.
x=-2- точка минимума,
y(-2)= -1-наименьшее значение
наибольшее и наименьшее значения функции
у=-1- наименьшее значение, наибольшего нет
-
у=3х5-5х3+1
у=15х4-15х2
D(y)
R
R
E(y)
R
-
количество нулей функции
3
-
чётность (нечётность)
ни чётная ни нечётная
-
количество промежутков знакопостоянства
y>0-2
y<0-2
-
-
промежутки возрастания - убывания-
(-∞;-1], [1;+∞)
[-1;1]
(-∞;-1], [1;+∞)
[-1;1]
точки экстремума и значения функции в этих точках.
х=-1-точка максимума,
х=1- точка минимума,
у(-1)=3,у(1)=-1
х=-1-точка максимума,
х=1- точка минимума
наибольшее и наименьшее значения функции
Нет
-
Вывод: по графику производной функции мы можем указать только область определения функции, промежутки монотонности, критические точки.
IV. Фронтальная работа. Учитель: 1.Выясните, что представляют из себя графики производных следующих функций:
1) у=kx+b y΄=kx
2) у=ax2+bx+c , a≠0 y΄=2ax+b
3) у= ax3 , a≠0 y΄=3ax2
4)у=ax3 +bx2+cx+d, a≠0 y΄=3ax2+2bx+c
5) у=k/x, x≠0 y΄=-k/x2
6)у= Ѵx y΄=1/2Ѵx
В процессе решения ученики находят области определения функций и выясняют, что D(y) и D(y΄) не всегда совпадают (пример 6).
2. На рисунках изображены графики функций (нижний ряд) и графики их производных. Для каждой функции найдите график её производной. (А-2,Б-5,В-3,Г-1,Д-4)
V. Практическая работа. . Функция y=f(x) определена на промежутке (а;b). На рисунке изображён график её производной. Построить на заданном промежутке (a;b) график функции.
Ученики выполняют задание на листках, а затем на доске.
Учитель. Сколько графиков можно построить?
Вывод. По заданному графику производной можно построить только эскиз графика функции.
VI.Групповая работа. Для каждой группы указан график производной некоторой функции. Составить рассказ о функции.
-
Учитель. Следующие два задания вы можете выполнять индивидуально, в парах или группе.
8.Функция y=f(x) определена на промежутке (-8;5). На рисунке изображён график её производной. Найдите точку х0, в которой функция y=f(x) принимает наибольшее значение на отрезке [-6;3].
9. Функция y=f(x) определена на промежутке (-4;7). На рисунке изображён график её производной. Найдите точку х0, в которой функция y=f(x) принимает наименьшее значение на отрезке [-3;4].
Ответы, предложенные учениками, обсуждаются, в случае неверных ответов,
выясняется, почему была допущена ошибка, что вызвало затруднения.
Учитель. Подумайте, какие вопросы, ещё можно задать по графику производной. (найти наибольшую (наименьшую) длину промежутка возрастания (убывания) функции; указать на указанном промежутке сумму абсцисс точек экстремумов функции; найти число точек максимума; найти точку х0, в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение).
VII.Учитель. Что ещё можно найти по графику производной? (Угловой коэффициент касательной, тангенс угла наклона к положительному направлению оси 0Х).
1)Найдите число касательных к графику функции y=f(x), угловой коэффициент которых равен 2.
2) Найти угловой коэффициент касательной в точке х0=-3.
3) Укажите точку, в которой касательная к графику функции y=f(x)имеет наименьший угловой коэффициент.
4) Найти число касательных к графику функции y=f(x), которые параллельны оси 0Х.
5) К графику функции провели все касательные, параллельные прямой y=5-2x
(или совпадают с ней). Найдите наименьшую из абсцисс точек, в которых проведены эти касательные.
6) В скольких точках касательные к графику функции наклонены под углом 1350 к положительному направлению оси абсцисс.
VIII. Подведение итогов.
Учитель.1) По графику производной что вы можете сказать о свойствах функции?
IX. Задание на дом.
1) По учебнику Мордковича А.Г. «Алгебра и начала анализа 10-11классы», №898, 899, 900.
