|
Обобщение различных приёмов нахождения
множеств значений различных функций.
ЦОР, опубликован на сайте www.openclass.ru
ссылка на обзор материала: http://www.openclass.ru/node/248638
Пучкова Наталья Викторовна,
учитель математики МБОУ СОШ №6
Приём 1.
Нахождение множества значений функции по её графику.
Приём 2.
Нахождение множества значений функции с помощью производной.
Приём 3.
Последовательное нахождение множества значений функций, входящих в данную ком-
позицию функций ( приём пошагового нахождения множества значений функции).
Задание 1.
Найти множество значений функции y = 4 – sinx.
Решение.
Зная, что функция y = sinxпринимает все значения от -1 до 1 , то с помощью свойств
неравенств получаем, что -1 sinx 1
3 4 - sinx 5.
Значит, функция y = 4 – sinx может принимать все значения не меньше 3 и не больше 5.
Множество значений Е(y) = [3;5].
Ответ: [3;5].
Приём 4.
Выражение xчерез y. Заменяем нахождение множества значений данной функции нахож-
дением области определения функции, обратной к данной.
Задание 2.
Найти множество значений функции .
Решение.
Выразим xчерез y : х2у + 3у = х2 + 2
х2(у – 1) = 2 – 3у.
1 случай: если у – 1 = 0, то уравнение х2 + 3 = х2 + 2 корней не имеет. Получили, что фун-
кция у не принимает значения, равного 1.
2 случай: если у -10, то . Так как , то . Решая это неравенст-
во методом интервалов, получим <1.
Ответ : .
Приём 5.
Упрощение формулы, задающей дробно-рациональную функцию.
Задание 3.
Найти множество значений функции .
Решение.
Области определения функций и y = х – 4 различны ( отличаются одной
точкой х = 0 ). Найдём значение функции y = х – 4 в точке х = 0 : y(0) = - 4.
Е( х – 4) = ( ). Множества значений функций и y = х – 4 будут
совпадать, если из множества значений y = х – 4 исключить значение y = - 4.
Ответ : ().
Приём 6.
Нахождение множества значений квадратичныхфункций ( с помощью нахождения вер-
шины параболы и установления характера поведения её ветвей).
Задание 4.
Найти множество значений функции у = x2 – 4x + 3.
Решение.
График данной функции – парабола. Абсцисса её вершины хв = .
Ордината её вершины ув = у( 2 ) = - 1.
Ветви параболы направлены вверх, так как старший коэффициент больше нуля ( a=1>0).
Так как функция непрерывна, то она может принимать все значения у. Множество
значений данной функции : Е(y) = [ - 1; ).
Ответ : [ - 1; ).
Приём 7.
Введение вспомогательного угла для нахождения множества значений некоторых триго-
нометрических функций.
Данный приём применяется для нахождения множества значений некоторых тригоно-
метрических функций. Например, вида y = a·sinx + b·cosx или y = a·sin(px) + b·cos(px),
если а0 и b0.
Задание 5.
Найти множество значений функции y = 15sin 2x + 20cos 2x.
Решение.
Найдём значение . Преобразуем выражение :
15sin 2x + 20cos 2x =25,
где.
Множество значений функции y = sin(2x + ) : -11.
Тогда множество значений функции y = 25sin(2x + ): Е(у) = [ - 25;25].
Ответ: [ - 25;25].
Задание 6.
Найти множество значений функций: а) ; б) у = sin5x – cos5x ;
в) ; г) у = 4х2 + 8х + 10 ; д) ; е).
Решение а).
а) выразим х через у:
6х + 7 = 3у – 10ху
х(6 + 10у) = 3у – 7.
Если 6 + 10у = 0, то у = - 0,6. Подставляя это значение у в последнее уравнение, получим :
0·х = - 8,8. Данное уравнение корней не имеет, значит функция не принимает значения
у = - 0,6.
Если 6 + 10у 0, то . Область определения этого уравнения : R, кроме y = - 0,6.
Получим: Е(у) =.
Ответ: .
Решение б).
б) найдём значение и преобразуем выражение : .
Учитывая множество значений функции , получим : Е(у) =. Функция не-
прерывна, таким образом она будет принимать все значения из этого промежутка.
Ответ: .
Решение в).
в) Учитывая, что , по свойствам неравенств получим :
. Таким образом, Е(у) = .
Ответ : .
Решение г).
г) можно использовать способ, предложенный в приёме 6, а можно выделить полный квадрат:
4х2 + 8х + 10 = ( 2х + 1)2 + 9.
Значения у = ( 2х + 1)2 принадлежат промежутку [0;+), тогда областью значений
у = ( 2х + 1)2 + 9 будет промежуток [9;). В силу непрерывности функция у = 4х2 + 8х + 10
принимает значения из промежутка [9;).
Ответ: [9;).
Решение д).
д) Е(х2) = [0;), значит Е( х2 + 3) = [3;). Так как обратная пропорциональность – непрерыв-
ная и убывающая функция на этом промежутке, то большему значению аргумента соответству-
ет меньшее значение функции. При стремлении аргумента этой функции к , значение са-
мой функции стремится к 0:
Е.
Ответ : .
Решение е).
е) Е(х2) = [0;+), следовательно Е( х2 + 3) = [3;). Так как функция непрерывна и
возрастает на этом промежутке, то Е() = [).
Ответ : [).
Задание 7.
Найдите наименьшее значение функции .
Решение.
Разность принимает наименьшее значение при наибольшем значении вычитаемого.
Дробь принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя.
Таким образом, данная функция принимает наименьшее значение принаименьшем зна-
чении выражения , находящегося в знаменателе дроби.
Е() = [0;+)
Е(1+) = [1;+)
Итак, наименьшее значение знаменателя 1, тогда функция принимает наименьшее зна-
чение равное - 1.
Ответ: - 1.
Задание 8.
Найти множество значений функции у = cosxна следующих промежутках :
а) [30º ; 45º], б) [ -45º ; 45º ], в) [ - 180º ; 45º ].
Решение:
а) так как в 1 четверти функция у = cosx непрерывна и убывает, значит, большему аргу-
менту соответствует меньшее значение функции, т.е. , если 30º45º , то функция
принимает все значения из промежутка .
Ответ : Е(у) = .
б) на промежутке [ -45º ; 45º ] функция у = cosx не является монотонной. Рассмотрим
два промежутка: [ -45º ; 0º ] и [ 0º ; 45º ]. На первом из этих промежутков функция
у = cosx непрерывна и возрастает, а на втором – непрерывна и убывает. Получаем, что
множество значений на первом промежутке , на втором .
Ответ: Е(у) = .
в) аналогичными рассуждениями можно воспользоваться и в этом случае. Хотя , сделаем
рациональнее : спроектируем дугу MPN на ось абсцисс.
В силу непрерывности функции получим, что множество значений функции у = cosx
при х [ - 180º ; 45º ] есть промежуток [ - 1;1 ].
Ответ : [ - 1;1 ].
Задания для самостоятельного решения.
Группа А.
Для каждого из заданий этой группы даны 4 варианта ответа. Выберите номер правильного ответа.
1. Найти множество значений функции .
1)[-2;2] 2)[-1;1] 3)() 4)(-2;2)
2. Найти множество значений функции .
1) 2) 3) 4)
3. Найти множество значений функции .
1) [-2;2] 2) 3) 4) [-1;1]
4. Найти множество значений функции .
1) [-1;1] 2) 3) 4) ()
5. Найти множество значений функции у = sinx на отрезке [30º ; 60º].
1) 2) 3) 4) [-1;1]
6. Найти множество значений функции у = sinx на отрезке [30º ; 150º].
1) 2) 3) 4) [-1;1]
7. Найти множество значений функции у = sinx на отрезке [30º ; 180º].
1) 2)[0;1] 3) [-1;1] 4)
8. Найти множество значений функции у = sinx на отрезке [30º ; 360º].
1) 2) 3) [-1;1] 4)
9. Множеством значений функции является промежуток :
1) [1;+) 2) [0;+) 3) [16;+) 4) [8;+)
10. Укажите в какой области функция принимает значения .
1) 2)[-3;2) 3) 4)
11. При каких значениях х функция у = - х2 – 4х + 5 принимает положительные значения ?
1) 2)[0;9] 3)( - 5;1) 4)(0;1)
12. Укажите функцию, убывающую на всей области определения.
1) 2) 3) 4) y = x – 1.
13. Укажите область определения функции .
1) 2)(0;1) 3) 4)
Группа В.
Ответом в заданиях этой группы может быть целое число или число, записанное в виде десятич-
ной дроби.
14. Найти наибольшее целое значение функции у = 3х2 – х + 5 на отрезке [ 1; 2 ].
15. Найти наибольшее целое значение функции у = - 4х2 + 5х – 8 на отрезке [ 2; 3 ].
16. Найти наибольшее целое значение функции у = - х2 + 6х – 1 на отрезке [ 0; 4 ].
17. Укажите наименьшее целое число , входящее в область определения функции
.
18. Укажите, сколько целых чисел содержит область определения функции .
19. Найти длину промежутка, являющегося областью определения функции .
20. Найти наибольшее значение функции .
21. Найти наибольшее значение функции .
22. Найти наибольшее значение функции .
23. Найти наименьшее значение функции .
24. Найти наибольшее значение функции .
25. Сколько целых чисел содержит множество значений функции у = sin2x + sinx ?
26. Найти наименьшее значение функции .
27. Сколько целых чисел содержит множество значений функции ?
28. Найти наибольшее значение функции на промежутке .
29. Найти наибольшее значение функции на промежутке .
30. Какого значения функция не достигает ни при каком значении х ?
31. Найти наибольшее целое значение функции .
32. Найти наименьшее целое значение функции .
33. Найти наибольшее значение функции .
34. Найти наименьшее значение функции .
Группа С.
Решите следующие задания с полным обоснованием решения.
35. Найти множество значений функции .
36. Найти множество значений функции .
37. Найти множество значений функции .
38. Найти множество значений функции .
39. При каких значениях функция у = х2 + ( – 2)х + 0,25 не принимает отрицательных зна-
чений ?
40. При каких значениях функция у = ·cosx + sinx - ·sinx будет чётной ?
41. При каких значениях функция у =·cosx + sinx - ·sinx будет нечётной ?
|
