Размещено: Татьяна Ивановна Шагалова - чт, 03/11/2011 - 21:19
Цель проекта:
Научиться считать перестановки и полученные знания применять при решении задач.
Задачи :
найти и изучить по разным источникам информацию о перестановках;
провести исследования;
обобщить полученные результаты;
применить полученные результаты при решении задач;
сделать вывод.
Содержание проекта:
Введение. Стр 4
Основная часть. Стр 5
Бесплатный обед
Постановка проблемы.
Исследование ситуаций.
3) Обобщение результатов
4) Разрешение проблемной ситуации.
Часть. Стр 10
Практическое решение задач.
Заключение Стр 12
Список литературы Стр 13
Введение
В науке и на практике часто встречаются задачи, решая которые
приходится составлять различные комбинации из конечного числа
элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи
получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в
котором рассматриваются подобные задачи, называют
комбинаторикой, что в переводе с латинского языка означает
,, соединять, сочетать”. Простейшие комбинации, которые можно
составить из элементов конечного множества, являются
перестановки. Научиться считать перестановки и применять эти
знания при решении задач – цель моего проекта.
1 Основная часть. Бесплатный обед.
Рассмотрим следующую забавную историю:
Десять молодых людей решили отпраздновать день рождения одного из них праздничным обедом в кафе. Когда все собрались, и первое блюдо было подано, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие - по возрасту, третьи- по успеваемости, четвёртые - по росту и т. д. Спор затянулся, блюдо успело остыть, а за стол никто не садился. Примерил всех официант, обратившийся к ним с такой речью:
- Друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол как кому придётся, ивыслушайте меня.
Все сели. Официант продолжил:
- Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-новому и т. д., пока не перепробуете всех возможных размещений. Когда же придёт черед вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня, тогда - обещаю торжественно - я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами.
Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом кафе и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы скорее начать пользоваться бесплатными обедами.
Возникает вопрос: ..Сколько перемещений нужно будет сделать друзьям и как скоро наступит тот день, когда друзья усядутся за стол в том же порядке, как они сидели в первый день?
2) Сначала научимся определять число перестановок. Для простоты начнем вычисление с небольшого числа предметов - с трех. Назовем их А, В и С. (Рис.1.)
А В С
Рис. 1.
Нужно узнать, сколькими способами можно переставлять их один на место другого. Будем рассуждать так.
Отложим пока в сторону предмет С, тогда остальные два можно разместить только двумя способами:
сначала предмет А, затем предмет В;
сначала предмет В, затем предмет А. ( Рис. 2.)
А В В А
Рис. 2 Два предмета можно разместить только двумя
способами.
Теперь будем добавлять предмет С к каждой из этих пар. Мы можем сделать это тремя способами: можем поместить
С справа от пары,
С слева от пары,
3) С между предметом А и предметом В . ( Рис.3 )
1) 2)
С С
3)
С
Рис. 3. Способы размещений одного предмета с двумя остальными.
Других положений для предмета С, кроме этих трёх, очевидно, быть не
может. А так как у нас две пары, АВ и ВА то всех способов разместить
предметы будет 2 x3 = 6 .
Эти способы показаны на рис. 4.
А В С
В А С
С А В
А С В
В С А
С В А
Рис. 4. Три предмета можно разместить шестью способами.
Теперь сделаем расчет для четырёх предметов.
Пусть у нас 4 предмета : А, В, С, и D.
А В С D
Опять отложим в сторону один предмет, например D, а с остальными тремя сделаем все возможные перестановки. Мы знаем уже, что число этих перестановок 6.
Сколькими же способами можно присоединить четвертый предмет Dк каждой из 6 троек? Очевидно, четырьмя: можно
Рис.4 Способы размещения одного предмета с тремя остальными.
Всего получим, следовательно,
6 X4 = 24 перестановок;
а так как
6 = 2 x3, а 2 =1 x2,
то число всех перестановок можно представить в виде произведения:
1x2x3x4 = 24.
Рассуждая таким же образом и в случае 5 предметов, узнаём, что для них число перестановок равно
1x2x3x4x5 = 120.
Для 6 предметов:
1x2x3x4x5x6 = 720 и т. д.
3) Вообще, число способов расставить nразличных предметов на nмест с учётом порядка называется числом перестановок из nэлементов, обозначается Pn и вычисляется по формуле
Pn= 1x2x3x…xn= n!, где n>0 или n=0
Факториалом натурального числа nназывается произведение всех натуральных чисел от 1 до n.
Принято: 0!=1
4)Вернёмся к случаю с 10 друзьями, которые дожидались дня, чтобы бесплатно пообедать. Число возможных здесь перестановок определиться, если вычислить произведение
1x2x3x4x5x6x7x8x9x10=10!
Однако, им не пришлось дождаться этого дня. И вовсе не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно равняется ни мало, ни много - 3 628 800.
Такое число дней составляет, как нетрудно сосчитать, почти 10 000 лет! Действительно,
628 800 : 365 = 99419 (лет)
2 Часть.
Практическое решение задач.
Расчет был бы сложнее, если бы среди 10 друзей было 5 девушек, и они желали бы сидеть за столом непременно так, чтобы чередоваться с юношами. Хотя число возможных перемещений здесь гораздо меньше, вычислить его несколько труднее.
Пусть сядет за стол - безразлично как - один из юношей.
Рис.5.Размещение юношей и девушек за столом.
Остальные четверо могут разместиться, оставляя между собой пустые стулья для девушек,
1x2x3x4=4!=24
различными способами.
Так как всех стульев 10, то первый юноша может сесть 10способами; значит число всех возможных перемещений для молодых людей
10x24=240.
Сколькими же способами могут сесть на пустые стулья между юношами 5 девушек? Очевидно,
1x2x3x4x5=5!=120 способами.
Сочетая каждое из 240 положений юношей с каждым из 120 положений девушек, получаем число всех возможных перемещений:
240x120=28 800.
Число это во много раз меньше предыдущего и потребовало бы всего около 79 лет.( 28800:365=78,90 )
Доживи молодые посетители кафе до столетнего возраста, они могли бы дождаться бесплатного обеда, если не от самогоофицианта, то от его наследников.
Умея подсчитывать перестановки, решим задачу из школьной жизни.
В классе 25 учеников. Сколькими способами можно рассадить их по партам?
Путь решения этой задачи не сложен: нужно перемножить 25 таких чисел:
1x2x3x4x5x6………..x23x24x25=25!
Результат получается огромный, из 26 цифр.
ВОТ ОНО: 15 511 210 043 330 985 984 000 000.
Это число, величину которого наше воображение не в силах себе представить.
Число мельчайших капель во всех океанах и морях земного шара скромно по сравнению с этим исполинским числом.
Заключение
Я научилась считать число перестановок и могу научить это делать
других. Мой проект можно применять на математических кружках при
знакомстве с темой ,, Перестановки” в 5 - 8 классах, на уроках
математики в 9-х классах при изучении темы ,, Перестановки”.
Желаю успехов!!!.
Список литературы:
М. Ю Макарычев, Н. Г. Миндюк ,,Алгебра 9 класс”
издательство ,, Просвещение”, 2008 год.
Я. И. Перельман ,, Живая математика”
Издательство ,, Наука”, 1967 год.
М. Б. Дектярь, М.В. Эргле ,,Элементы комбинаторики в школьном курсе математики” Саратов: ГОУ ДПО ,,СарИПКиПРО” 2007год
Словарь юного математика, 1987 год
Л. И.Ниворожкина ,, Основы статистики с элементами теории
