При изучении основных понятий курса математики в среднем  звене школы   необходимо своевременно устанавливать, преобразуется ли сообщаемая детям  информация  в знания, основанные на долговременном запоминании, а не на оперативном, как это часто бывает. Это важно потому, что  в среднем звене школы закладывается основной понятийный аппарат, на базе которого впоследствии будут строиться более сложные математические теории.

     Исходя из этого перед учителем математики стоят две задачи:

• Первая  – контролировать умения и навыки, которые обеспечивают применение изученных математических методов.
•  Вторая – делать экспертную оценку  сформированности  понятийного аппарата изучаемых тем.

    Первой  задаче  соответствуют  традиционно  применяемые на уроках самостоятельные, контрольные работы, математические  диктанты, дидактический материал, предлагаемый для этого, обширен и  разнообразен. Для  второй задачи нет  чётко  определённых и  отработанных  методов. Отчасти  она решается на уроке устным опросом при повторении пройденных тем. Но, очевидно, этот метод не  позволяет охватить  всех  учащихся  класса и  является лишь эпизодическим.

    В данной работе описан  метод ключевых понятий, который, как представляется, хорошо отвечает поставленной выше задаче  оценки сформированности понятийного аппарата. Он основывается на исследовании  остаточных знаний учащихся по проверяемой теме, разделу, курсу.

    Остаточными знаниями мы называем  тот  объём понятий,  который  «отложился», остался в памяти учащихся  после  изучения  темы  спустя  некоторое время, в течение которого эти понятия с детьми не повторялись.

    Важно подчеркнуть, что объём и  структура  остаточных  знаний  напрямую связаны с интеллектуальным уровнем развития ученика.  Ученик с низким интеллектом менее восприимчив  к теоретическим понятиям, т.е.от него нельзя ожидать качественных и  полных определений, которые  вполне естественны для учащихся более высокого интеллекта. Поэтому применению метода   ключевых понятий должны предшествовать психологические исследования  интеллектуального развития каждого ученика. В литературе  по  психологии  принято выделять семь уровней интеллекта : высокий, очень хороший, хороший, умеренный, средний, удовлетворительный, низкий.  Методической  основой такой классификации может стать  стандартный  тест  ШТУР (школьный  тест умственного развития).

    Суть самого метода ключевых понятий довольно проста. Учащимся предлагается письменно наиболее полно раскрыть от 5 до 10  основных  понятий, составляющих суть  диагностируемой  темы. При  этом  предлагаемые  понятия должны отвечать требованиям ключевого значения и  достаточной  общности.

В зависимости от объёма проверяемого  материала и  сложности  понятий на письменную работу может быть затрачено от  20 до 40 минут. Собрав  работы, учитель указывает на каждой из них индивидуальный  интеллектуальный балл её исполнителя, а затем оценивает по 5- бальной системе качество выполнения задания. На основе проведённой проверки  вычисляются  следующие показатели:

     ИУ- индивидуальный уровень знаний , показывающий , сколько процентов задания выполнил учащийся :

           ИУ = набранное число баллов / максимальное число баллов * 100%

СУ – средний уровень знаний, демонстрирующий, какая часть задания выполнена в среднем в данной группе (классе):

        СУ = сумма ИУ всех учащихся / число всех учащихся * 100 %

   На основе полученных данных вычисляется главный  показатель  –индивидуальное   расхождение   (ИР). Это тот  процент  выполненного  задания ,которыйсоответствует уровню интеллекта каждого учащегося. Показатель ИР определяет, с одной стороны, индивидуальную «недогруженность» каждого ученикаи, с другой стороны, наибольший  возможный  процент  выполнения  задания(т.е.усвоенных понятий) на нынешнем этапе  умственного  развития ученика.

Если ученик имеет высокий уровень интеллекта и при этом сумел  разъяснить всего 30% ключевых понятий, то, значит,  качество  его  знаний  нуждается  в срочном восполнении. Но если школьник имеет удовлетворительный  уровень интеллекта, но сумел разъяснить 80% заданных понятий, то  он  заслуживает  отличной оценки, а не три балла, которые он обычно получает  на  контрольной работе. Именно индивидуальное расхождение должно определить оценку ребёнка при проверке качества знаний.

     Коэффициент (СР) – среднее расхождение –  показывает  среднее по классу (группе) соответствие уровня знаний уровню интеллекта. Из формулы  видно, что чем меньше СР, тем выше качество знаний всех учащихся:

  СР = сумма ИР всех учащихся / число всех учащихся * 100 %

      В  приведённой ниже таблице показана  схема  оценки знаний учащихся  в соответствии  с  установленным  уровнем  их  интеллектуального  развития  и объёмом выполненной работы .Обращаю внимание на то, что чем ниже интеллектуальный уровень ученика, тем меньший объём работы от него требуется для получения нулевого балла индивидуального расхождения. Так, ученикам с высоким интеллектом требуется сделать от 90 до 100%всей работы. Но если интеллект оценен как умеренный, то уже 70% выполненной работы  (то же от 70 до 100%) обеспечивают нулевой балл И. А для ребят с низким  уровнем  интеллекта достаточно 50 -70% выполнения для  получения  нулевого  балла ИР, а значит, и отличной оценки. Результаты экспертизы качества знаний в классе могут быть представлены  на координатной плоскости в координатах СР-СУ (рис.1), где точка на плоскости,  имеющая  координаты  СР и СУ,  определяет уровень качества знаний на данном временном этапе.  Необычное  направление координатной оси (справа налево) продиктовано  стремлением к  наглядности : повышение качества знаний соответствует уменьшению среднего  расхождения.

     Экспертизу качества знаний целесообразно проводить  в несколько этапов, например, при завершении крупной  темы или  раздела, или в конце каждой учебной  четверти.  Каждому   этапу  исследования  должна  соответствовать точка на координатной плоскости СР-С. Ломанная линия,  соединяющая  эти  точки, позволит проанализировать динамику роста качества знаний учащихся.

Так, на рис.1 цифрами    I, II,  II, IVобозначены точки, характеризующие результаты проверок, проведённых, соответственно, в первой, второй, третьей и  четвёртой  четверти.  При  этом,  очевидно,  повышение  качества  знаний  соответствует уменьшению среднего расхождения СР и увеличению  среднего  общего уровня знаний СУ.

    Аналогично может быть построен график соответствия   ИР-ИУ  для  оценки индивидуального  уровня  знаний  отдельного  ученика. Закономерности  при этом остаются теми же самыми (рис.2): чем  выше  «интеллектуальный  уровень» ученика, тем ниже балл «индивидуального расхождения» (ИР).

 Следует подчеркнуть, что для методики ключевых  понятий  необходимо использовать не  стандартные  определения, данные в учебнике  для обязательного заучивания наизусть, а именно ключевые понятия,  требующие  самостоятельной мыслительной деятельности учащихся. Проверка стандартных, заученных наизусть определений  не даёт  адекватного  представления  о  качестве остаточных знаний учащихся, а является, скорее,  проверкой  оперативной памяти детей.