"Сумма углов треугольника"

Девиз: «В геометрию тропинку одолеем без запинки».

Цели:

• Обучающие: повторить свойства треугольника, сформулировать и доказать теорему о сумме углов треугольника, следствия из неё. Ввести понятия остроугольного, прямоугольного, тупоугольного треугольников, т. е. классифицировать треугольник по углам, повторить классификацию треугольников по сторонам. Рассмотреть задачи на применение доказанных утверждений.
• Развивающие: умение анализировать, обобщать, показывать, использовать элементы исследования, классифицировать, развивать математическую речь.
• Воспитывающие: инициативность, творческую активность.

Ход урока

1. Повторение

(В руках треугольник) И опять треугольник! Треугольник в геометрии играет особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся или почти вся геометрия строится на треугольнике. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о геометрии треугольника как о самостоятельном разделе геометрии.

Рис.1

? Что такое треугольник? (треугольник - это фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и отрезками, попарно соединяющими эти точки.)

? Посмотрите на треугольник, что можете сказать? Чему равен ∟В?

Так вот сегодня на уроке мы попробуем с вами сформулировать и доказать замечательное свойство треугольника, которое нам поможет ответить на данный вопрос. Открыли тетради, записали число, тема урока: Сумма углов треугольника.

Но перед тем как рассмотреть свойства треугольника, проведем их классификацию.

? Какие треугольники различают по сторонам? (равнобедренный, равносторонний, разносторонний)

Треугольники классифицируют и по углам. Сначала вспомним об углах.

Домой было задано задание составить рассказ по теме «Угол», был дан план.

(с рассказом выступает ученик)

1. Угол – это фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Лучи называют сторонами угла, а точки – вершиной угла.
2. Если, величина угла 90º, то угол называют прямой.
   Если, величина угла 180º, то угол называют развёрнутый.
   Если, угол больше 90º, но меньше180º, то угол называют тупым.
3. Таким образом, углы бывают тупые, острые, прямые, развернутые.
4. Внутренний угол треугольника это угол, образованный его сторонами. Вершина треугольника является вершиной этого угла.
5. Значит, в треугольнике углы могут быть различными (тупые, острые, прямыми)

(В тетради!) Начертите угол (Ι ряд – острый угол, ΙΙ ряд – тупой угол, ΙΙΙ ряд – прямой угол)

Дополните рисунок до треугольника. Что для этого надо сделать? (взять по точке на сторонах угла и соединить их)

Полученные треугольники можно назвать по углам.

Тупоугольные, прямоугольные, остроугольные.

Стр. 67 п. 31 второй абзац определения (Л.С. Атанасян Геометрия учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений)

Названия треугольников внесем в таблицу в правую часть.

Заполнить таблицу (кому трудно с доски)

Таблица Треугольников

Обратим внимание, что у остроугольного треугольника все углы острые.

Сколько тупых (прямых) углов может быть в треугольнике?

? Как это обосновать?

Это обосновать нам поможет замечательное свойство треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - это одна из самых важных теорем геометрии.

(5 класс № 1637, 1638. Впервые встречалась в этих задачах)

? Чему равна сумма углов треугольника? ? Как это можно узнать?

Практически – измерением. Теоретически – рассуждениями.

Домой, было, задание измерить углы треугольника, І – ? ІІ – ? ІІІ – ? Какие треугольники?

Задание. Найдите сумму углов ваших треугольников. Чему она равна? Что заметили? (все суммы близки к 180º.) Посмотрите ребята! Треугольники у всех были взяты произвольные, углы в треугольниках различные, а результаты у всех получились одинаковыми.

Чем объясняется небольшое различие? Тем ли что нет никакой закономерности, или тем, что закономерность есть, но нашими инструментами мы не можем установить её с достаточной точностью?

? Как же сформулируем утверждение, которое будем доказывать?

Сумма углов треугольника равна 180º.

Доклад о теореме. О сумме углов треугольника

Свойство суммы углов треугольника было эмпирически, т. е. опытным путём установлено, вероятно, еще в Древнем Египте, однако дошедшие до нас сведения о разных его доказательствах относятся к более позднему времени. Доказательство, изложенное в современных учебниках, содержится в комментарии Прокла к «Началам» Евклида. Прокл утверждает, что согласно Евдему Родосскому это доказательство было открыто ещё пифагорейцами (v в. до н. э.). Прокл пишет: «Пифагор впервые разработал принципы геометрии». Пифагорейцы содействовали формированию геометрии как науки, основанной на аксиомах и доказательствах.

В первой книге «Начал» Евклид излагает другое доказательство теоремы о сумме углов треугольника, которое легко понять при помощи чертежа. Великий древнегреческий философ Аристотель (VΙ в. до н. э.) в своей «Метафизике» упоминает об этом предложении, как известном ему.

Следует отметить, что как доказательство Прокла, так и доказательство Евклида основываются на том, что при пересечении двух параллельных прямых третьей внутренние накрест лежащие, а также и соответственные углы равны. Это предложение в свою очередь доказывается при помощи аксиомы параллельности Евклида. Итак, теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180º, верна, если верна аксиома параллельности Евклида, которая принята в системе аксиом Евклида без доказательства.

Теорема о сумме углов треугольника приписывается многим, в том числе Евклиду и Пифагору. Теорема о сумме углов треугольника. Теорема Пифагора-Евклида многострадальная «твёрдо установленная», которая была подвергнута ревизии в неевклидовой геометрии.

Рис.2

Рис.3

Дано: ΔАВС – произвольный

Доказать: ∟А + ∟В + ∟С = 180º

Доказательство:

1. проведем, а АС
2. ∟5 = ∟1 (накрест лежащие)
   ∟4 = ∟3 (накрест лежащие)
3. ∟5 + ∟2 + ∟4 = 180º
   ∟1 +∟2 + ∟3 = 180º ч. т. д.

Повторяем план доказательства:

1. Провести прямую через одну из вершин противолежащей стороне.
2. Составить пары равных углов.
3. Представить развёрнутый угол в виде суммы.
4. Заменить слагаемое равным им углам треугольника.

Повторите доказанное соседу.

Что утверждает теорема? (сумма углов треугольника 180º)

Ёще одно доказательство этой теоремы рассмотрим, когда дадим понятия внешнего угла треугольника.

? Чему равен ∟В (Рис.1)? (60º)

? Чему равен угол равностороннего треугольника? (60º)

? Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника? (90º)

? Чему равен острый угол прямоугольного, равнобедренного треугольника? (45º)

? Почему в треугольнике не может быть двух прямых (тупых) углов?

? Почему в треугольнике не может быть один тупой, а другой прямой?

Эти утверждения – ответы на вопросы вытекают (следуют) из теоремы, т.е. являются следствием из теоремы.

Повторяем следствия иллюстрируя чертежами (показать в Таблице Треугольников)

Закрепление 

I. Раздаточный материал (развитие мышления в процессе решения задач)

Рис.4

Для тех, кто выполнил данное задание дополнительно по учебнику №227

II.

1. Сумма углов треугольника равна 180º. Равна ли 180º сумма внутренних углов четырёхугольника? (проблема)
2. Определить вид треугольника, если один его угол 40º, а другой 100º?
3. В ΔАВС, ∟А в 2 раза > ∟В, а ∟С = 30º. Определите ∟А, ∟В?
4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 20º (30º, 45º). Найдите второй острый угол.
5. Определите острый угол прямоугольного треугольника, если один из них в 2 раза больше другого?
6. На рисунке даны чертежи к задачам и проставлены градусные величины углов. Проверьте правильно ли указаны числовые данные на каждом рисунке?
7. Является ли треугольник прямоугольным?
8. Угадайте слово по трём определениям.
   1. Геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом.
   2. Место, куда можно поставить нерадивого ученика.
   3. Если справа приписать ь, то получится полезное ископаемое.

Домашнее задание п. 30, 31 2 способ доказательства теоремы, классификация Δ по таблице.

№223 а, б №226 (у) №228 а (по желанию) Проблема? Сколько решений имеет задача?