Направленные на познание(образовательные): содействовать формированию умений построения графика линейной функции различными способами, исследования ее свойств, содействовать освоению закономерностей мировоззренческих идей (функциональная зависимость величин в мире), обеспечить органическую связь содержания урока с жизнью, интересами школьников, использовать межпредметные связи для формирования целостной научной картиной мира.
Направленные на общение(воспитательные): создание условий для формирования ответственного отношения к учебному труду, проявления личной заинтересованности при выслушивании высказывания каждого, умения работать в паре, микрогруппе.
Направленные на способности (развивающие):развитие умений выделять главное, сравнивать, обобщать, делать выводы, критически относиться к получаемой информации, аргументировать собственное высказывание.
Предметный компонент содержания:
Основные понятия: аргумент, функция, линейная функция(у=кх+l), свойства линейной функции
Формируемые умения.
Ученики приобретают умения:
Øстроить график линейной функции;
Øопределять возрастает или убывает функция;
Øнаходить с помощью графиков промежутки знакопостоянства;
Øопределять значения функции по значению аргумента при различных способах задания функции.
Øиспользовать приобретённые умения в практической деятельности и повседневной жизни для описания с помощью функций различных зависимостей, представленных графически, аналитически, таблично, в текстовом виде.
Технологический компонент содержания.
Øанализ, сворачивание и развертывание информации;
Øперевод информации из одного вида в другой (текстовой, аналитической, табличной, графической);
Øнаглядное изображение информации;
Øвыяснение того, что рассматриваемая система входит в более крупную систему, выход на перспективу изучения будущего знания на основе свертывания учебной информации;
Øустановление разнообразных связей между объектами и явлениями.
Субъективный компонент содержания.
Установление того:
Øчто все окружающие человека явления взаимосвязаны;
Øвеличины разной природы могут быть связаны между собой зависимостью одного и того же вида (в частности – линейной зависимостью);
Øматематические методы помогают в реальной жизни, в познании мира.
Место урока в теме: глава 5 «Функции» пункт «Линейная функция», урок №1 в теме «Линейная функция» и №9 в главе «Функции»
Используемые источники информации: учебник «Алгебра. 8 класс» под ред. Г.В.Дорофеева, карточки с заданиями.
Тип урока:урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Полная готовность класса и оборудования, быстрое включение учащихся в деловой ритм.
2
Подготовка к основному этапу занятия
Обеспечение мотивации и принятия учащимися цели учебно-познавательной деятельности, актуализация опорных знаний и умений
Готовность учащихся к активной учебно-познавательной деятельности на основе опорных знаний.
3
Освоение новых знаний и способов деятельности
Обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания знаний и способов действий, связей и отношений в объекте изучения
Активные действия учащихся с объектом изучения; максимальное использование самостоятельности в добывании знаний и овладении способами действий.
4
Первичная проверка понимания
Установление правильности и осознанности усвоения нового учебного материала, выявление пробелов и неверных представлений и их коррекция
Усвоение сущности усваиваемых знаний и способов действий на репродуктивном уровне. Ликвидация типичных ошибок и неверных представлений у учащихся.
5
Первичное закрепление знаний и способов деятельности
Обеспечение усвоения новых знаний и способов действий на уровне применения в измененной ситуации
Самостоятельное выполнение заданий, требующих применения знаний в знакомой и измененной ситуации.
6
Подведение итогов занятия
Дать анализ и оценку успешности достижения цели и наметить перспективу последующей работы
Адекватность самооценки учащегося оценки учителя. Получение учащимися информации о реальных результатах учения.
7
Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению
Обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего задания. Проверка соответствующих записей
Реализация необходимых и достаточных условий для успешного выполнения домашнего задания всеми учащимися в соответствии с актуальным уровнем их развития.
Ход урока.
I.Целеполагание, стимулирующее начало, мотивация деятельности.
?Что общего во всех изображениях? (Движение. Движение самолета, руки боксера, поезда, тока по проводам…)
?Каким словом (понятием) можно заменить термин «Движение». (Изменение. Изменяется положение тела, прибыль, доходы, пульс…)
ДВИЖЕНИЕ,в философии - способ существования материи, в самом общем виде - изменение вообще, всякое взаимодействие объектов. Движение выступает как единство изменчивости и устойчивости, прерывности и непрерывности, абсолютного и относительного.(Большой Энциклопедический словарь (БЭС))
Мы постоянно встречаемся с движением тел в повседневной жизни, в технике и науке. Приведите примеры движения. (Движения совершают различные механизмы, станки, транспортные средства и т. д. В мировом пространстве движутся Земля и другие планеты, кометы, метеорные тела. Мы сами движемся от детства к юности, взрослости. По мере взросления растет наш интеллект, наши знания и мире.)
То есть изменение какой-то одной величины приводит к изменению другой величины. Таким образом мы видим, что все в мире взаимосвязано. Примером такой взаимосвязи в математике является функция. Функция – зависимость между переменными. При которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.
?В чем различие рисунков?
Движение может осуществляться по различным траекториям.
Самый простой вид траектории движения – прямая, а функция, задающая эту траекторию – линейная.
Тема нашего урока «Линейная функция».
Как вы думаете, а зачем нам нужно изучать линейную функцию?
Что вы хотите узнать про нее? (Свойства, способы построения графика линейной функции, особенности расположения графика, как с помощью линейной функции можно описать реальные жизненные процессы)
Свойст-ва
Монотон-ность (возраста-ние, убывание)
Четность, нечетность
Периодич-ность
Область определе-ния, множество значений
Промежут-ки знако-постоян-ства
Нули функции
Функция
Модель взаимоотношений
Зависимость между величинами
Виды зависимостей
Экономика
Физика
Биология
Химия
Статистика
География
Линейная
Квадратичная
Показательная
Тригонометрическая
Логарифмическая
Степенная
Алгебра
Геометрия
Языки
Жизненные ситуации
Способы задания
Аналити-ческий
Графический
Таблич-ный
Тексто-вое описание
Перечисление пар объектов
Вот сегодня на уроке мы и познакомимся с линейной функцией, её особенностями, научимся строить график линейной функции; определять возрастает она или убывает, моделировать реальную ситуацию, строить график функциональной зависимости.
II.Освоение новых знаний и способов деятельности.
Проблемная ситуация. Летом двое ребят устроились на работу. Первый ежедневно получает по 30 рублей, а второй в первый день 10 рублей, а, начиная со второго дня, по 30 рублей. Будет ли день, в который их зарплата будет одинаковой? На какой работе выгоднее работать?
Выскажите ваши гипотезы.
Какими способами можно представить информацию, предложенную в задаче? (информацию можно представить в идее таблицы, формулы, графика)
Попробуйте представить ее в виде таблицы, формулы, графика.
1.Выдвижение предположений, гипотез и их обоснование.
2. Доказательство гипотез.
3. Проверка правильности решения проблемы.
4. Формулирование выводов.
Первая работа.
Дни
Зарплата
х
у
1
30
2
60
3
90
4
120
5
150
6
180
…
х
30х
у=30х
у=30х
у=30х-20
х
у
1 2
10
30
0
20
Вторая работа.
Дни
Зарплата
х
у
1
10
2
40
3
70
5
100
6
130
…
х
30х-20
у=30х-20
Вопросы учащимся.
?Сопоставьте график и аналитическую запись.
?Что общего в записи функциональной зависимости и в графическом изображении?
?Чем отличаются графики и их аналитическая запись?
?Что изменяется, а что остается постоянным?
?Сделайте общие выводы по предложенной задаче.
А) Введение понятия линейная функция.
Функция видау=кх+l, где к и lзаданные числа называется линейкой функцией.
х – независимая переменная, аргумент.
у – зависимая переменная, функция.
?Что служит графиком линейной функции? (прямая)
?Сколько необходимо построить точек для построения графика линейной функции? (Две точки. Из геометрии знаем, что через две точки проходит прямая и притом только одна (аксиома планиметрии))
Б) Работа по освоению предметного компонента содержания.
Задание 1.Рассмотрите предложенные графики и сформулируйте условия возрастания и убывания линейной функции.
у=2х
у=-2х-2
у=-2х
у=2х-2
Приходим к выводу. При к>0 функция у=кх+lвозрастает, при к < 0 функцияу=кх+lубывает.
Задание 2.Какие значения может принимать х, у ? (Область определения хÎ(-¥; +¥), множество значений уÎ(-¥; +¥) )
Задание 3.Проанализируйте график роста мальчика от рождения до 12 лет на стр. 201 рис5.1, рис.5.36 стр.229. Сравните скорость роста с 6 до 8 лет, с 8 до 10 лет. Какой вывод можно сделать?
Вывод: важное свойство линейной функции – описывать процессы, протекающие с постоянной скоростью, то есть равномерно.
При равномерном движении тело проходит равные отрезки пути за любые равные отрезки времени. Например: на длинном ровном перегоне поезд движется равномерно, удары колес о стыки рельсов слышны через одинаковые промежутки времени; километровые столбы (или телеграфные столбы) проходят мимо окна также через одинаковые промежутки времени.
Задание 4.Как зависит расположение графика линейной функции в зависимости от знаков к и l?Используя таблицу, схематично изобразите соответствующие графики функций. Приведите соответствующие примеры.
(формирование умений по значениям углового коэффициента и свободного члена изображать (ставить в соответствие) график линейной функции, переводить аналитическую запись в графическую и наоборот).
Задание 5.(формирует умение анализировать графики функций, переводить графическую информацию в аналитическую)
-Сравните угловые коэффициенты прямых.
-Выясните, как зависит угол наклона графика к оси ox от коэффициента k. (чем больше модуль углового коэффициента тем больше угол наклона графика к оси ox)
-Выясните взаимное расположение графиков линейных функций. (параллельные, пересекаются, совпадают)
Задание 6. Как построить график функцииy=kx+l? Предложите несколько способов построения графика линейной функции.
Способы построения графика линейной функции
по двум произвольным точкам
по точкам пересечения с осями
по точке и углу наклона к оси X
Можно использовать цифровой образовательный ресурс - «Открытая математика» полный интерактивный курс «Функции и графики» для учащихся школ, лицеев, гимназий, колледжей, студентов технических вузов. ФИЗИКОН www.physicon.ruмодель2.3. «Способы построения прямой».
В интерактивной модели демонстрируются различные способы построения прямой: по двум произвольным точкам, по точкам пересечения с осями, по точке и углу наклона к оси X. При помощи группы переключателей в нижней части модели выбирается способ построения и, используя инструкции на экране, строится график прямой.
В первом и втором случаях нужно щелкнуть мышью на координатной плоскости в двух точках. В третьем способе построения установить курсор над точкой, через которую проходит прямая, нажать кнопку мыши и, не отпуская ее, перетащить мышь, устанавливая нужное значение угла наклона.
Построение по точке и углу наклона к оси Х
Построение по точке и углу наклона
Построение по 2 точкам
Построениепо точке и углу наклона к оси X
Построение по точкам пересечения с осями
Задание 7. Проанализируйте, являются ли данные функции линейными: у = -2, у =4, у = 0 (k= 0 ). Как они расположены в прямоугольной системе координат? Постройте графики.
Карточка подсказка
•Угол наклона к осиOXострый (тупой).
•График пересекает осьOYв точке (0;…)
•Графикy= кxсмещается по осиOYна … единиц вверх (вниз).
•График (не) проходит через начало координат.
•Для построения графика достаточно … точек.
•Графики (не) параллельны, т.к.k1(не) равенk2.
Обобщение исследований. Выводы, полученные в ходе исследования обобщаются и формулируются учащимися.
ΙΙΙ.Первичная проверка понимания
Задание.Какая из функций является линейной:
1.
у=5,7
2.
у=2х-3
3.
у=х2
4.
5.
6.
Задание.Установите соответствие между графиком линейной функции и ее формулой(идентификация способов задания функции)
ΙV. Субъективный компонент содержания образования. Расширение смысловых пространств, выход за рамки учебного предмета. Применение знаний в незнакомой (нестандартной) ситуации.
Понятие функции уходит корнями в ту давнюю эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере.
Мы живём в современном мире, но видим, что все так же окружающие явления взаимосвязаны. В начале урока мы уже привели несколько примеров линейной зависимости. Попробуйте привести свои примеры и представить линейную зависимость между явлениями, предметами, отношениями в виде формулы, графика.
Предполагаемые ответы:
Физика:
s=vt, х=х0 +νхtформулы, описывающие равномерное прямолинейное движение (чем больше время движения при постоянной скорости, тем больше пройденный путь)
P=mg- вес тела (чем больше масса, тем больше вес тела)
C= 2πr- длина окружности (чем больше радиус, тем больше длина окружности),
p=ρgh– давление в жидкости (чем больше высота столба жидкости, тем больше давление),
U=IR– закон Ома для участка цепи (чем больше сила тока, тем больше напряжение),
R=R0(1+αT)- зависимость сопротивления металлов от температуры (чем больше температура металла, тем больше его сопротивление) и др.
Экономика:
1.Чем больше прибыль, тем больше капитал (накопление денег )
2.Чем больше спрос, тем больше предложение.
3.Чем больше цена, тем больше стоимость…
Биология:
1.Чем больше масса млекопитающего, тем больше период вынашивания детёныша.
2.Чем больше возраст, тем выше рост. (от рождения до юности)
Лингвистика:
1.Чем больше лексических единиц языка ты знаешь, тем полнее выразишь свою мысль.
2.Чем больше языков ты знаешь, тем легче дается изучение каждого нового языка.
Линейная зависимость в пословицах и жизненных изречениях:
1.Чем дальше в лес, тем больше дров.
2.Чем больше добрых поступков мы совершаем, тем больше в ответ получаем добра от окружающих людей.
3.Он мыслит прямолинейно. А всегда ли прямолинейные суждения верны?
Карьерный рост, линия жизни, биоритмы, статистические данные, прогресс, регресс и другие отношения мы можем представить в виде линейной или кусочно-линейной функции.
Вывод. Величины разной природы могут быть связаны между собой зависимостью одного и того же вида.
Математика дает универсальные инструменты для изучения связей, зависимостей между различными величинами. Её изучение делает шире и богаче наши возможности математического описания окружающего мира.
V. Рефлексия.
·Что ты понял сегодня на уроке?
·Чего ты сегодня не понял на уроке?
·При выполнении каких заданий ты ошибся и почему?
·Укажи причины успехов и неудач своей деятельности.
·Что вам дало изучение понятия линейная функция?
·Каков смысл сегодняшнего урока?
VI.Домашнее задание
1) Задания по учебнику Пункт 5.5. № 791, № 800, № 801
2) Найти пословицы, поговорки, описывающие линейную функцию. Привести примеры процессов, протекающих в природе, происходящих в различных областях производства по линейной зависимости, представить эти зависимости аналитически и графически.
Используемые материалы.
Алгебра 8 кл. Учебник под редакцией Г.В.Дорофеева. – М.: Просвещение, 2008.
«Открытая математика» полный интерактивный курс «Функции и графики» для учащихся школ, лицеев, гимназий, колледжей, студентов технических вузов. ФИЗИКОН www.physicon.ru
