I. Организационный этап (проверка готовности уч-ся к уроку, организация внимания).
1
Организационная.
Сообщают об отсутствующих.
II. Постановка цели урока.
Начало XX века. Франция. Париж. Проходя по площади Экзюпери, господин Команьон указал на дом Денизо: «Что-то больше не слышно о провидице, общавшейся со святыми. Меня водил туда Лакарель, правитель канцелярии префекта. Она сидела в кресле, закрыв глаза, а человек десять почитателей задавали вопросы… На все вопросы она отвечала в поэтическом стиле и без особого затруднения. Когда черед дошел до меня, я задал самый простой вопрос: «Каков логарифм 9?». Она мне ничего не ответила. Как же так? Провидица не знает логарифма 9? Да виданное ли это дело! Все были смущены. Я ушел, провожаемый общим неодобрением».
«Ох, опять логарифмы», - подумаете вы. А мне хочется сказать: «Ах, эти логарифмы». И сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения логарифмических уравнений, неравенств, систем уравнений, но задания будут повышенной сложности, а также рассмотрим приложения логарифмической функции в самых различных областях науки и техники.
Ход урока:
- Исторический экскурс.
- Повторение (задание с ключом);
- Решение упражнений повышенного уровня сложности;
- Приложения логарифмической функции;
- Самостоятельная работа;
- Домашнее задание.
5
Сообщает тему урока, дату проведения, цели и ход урока.
Записывают в тетради.
III. Актуализация знаний.
Повторение ранее изученного.
Более трехсот лет прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Значение логарифмов трудно переоценить. Они нужны инженеру и астроному, штурману и артиллеристу, всем, кому приходится вести громоздкие вычисления. Совершенно прав великий французский математик и астроном Лаплас, который сказал: «Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов».
Задание с ключом.
Этот прием, пришедший к нам из программирования состоит в следующем: я буду произносить некоторые утверждения и, если вы согласны со мной, то в тетради ставите «1», если нет – «0». В результате у вас должно получиться число.
1) Если lgx=lgy, то x=y.
2)
3) 1> .
4) Если , то .
5) Графики функций и совпадают.
6) Если 32=9, то
7) Область определения функции промежуток (0; ∞).
8)lg7<3lg2.
9) Если , то
при .
10) Выражение справедливо для любого х≥0.
Ключ: 1010000100.
7
Поясняет правила ответов на вопросы, вызывает по желанию двух человек к доске, выставляет оценки за работу.
2 человека работают у доски, остальные работают на местах, затем проводится взаимопроверка с выставлением оценок по критериям:
10 правильных ответов – «5»,
8-9 правильных ответов – «4»,
5-7 правильных ответов – «3»,
менее 5 правильных ответов – «2».
V. Выполнение упражнений.
Рассмотрим различные примеры применения знаний, полученных на предыдущих уроках при решении заданий повышенного уровня сложности.
№1. Решите уравнение.
Решение.
Ответ: 1; 2.
№2. Решите систему уравнений
Решение.
Пусть = u, = v. Система принимает вид.
Учитывая, что , получаем единственное решение системы: Тогда
Ответ:
Данная система предлагалась на вступительных экзаменах в 2004 году в МГУ на факультет вычислительной математики и кибернетики.
№3. При каких значениях числа являются длинами сторон некоторого равнобедренного треугольника?
Решение.
Числа являются длинами сторон некоторого равнобедренного треугольника в следующих случаях:
1)
2)
3)
Ответ: при х = -8.
Продолжим урок остроумной алгебраической головоломкой, которой развлекались участники одного съезда физиков в Одессе.
Задача: любое данное число, целое и положительное, изобразить с помощью трех двоек и математических символов. Пусть, например, данные числа – 3 и 5.
Решение.
, так как
Аналогично,
так как
Общее решение задачи записывается в виде
№4. Построить график функции
Решение.
Преобразуем правую часть равенства.
= =
= , причем
Решим неравенство
Построим график функции на (-1;2).
у
3
-10 2 х
V. Приложения логарифмической функции.
Поистине безграничны приложения логарифмической функции в самых различных областях науки и технике. Рассмотрим некоторые из них.
1) Звезды, шум и логарифмы.
2) Логарифмы и ощущения.
3) Завещание на сотни лет.
4) Логарифмическая спираль.
VI. Самостоятельная работа.
1) Найдите значение , если
2) Найдите множество значений , при которых выполняется неравенство
3) Решите систему уравнений
4) Постройте график функции, найдите ее область определения, промежутки возрастания и убывания.
Решение.
1)
Ответ: 1.
2)
Пусть = t, тогда = t2.
t2 – t – 6<0, -2< t < 3.
Тогда
а)
б)
Итак,
Ответ:
3)
Ответ: (6,5; 1,25)
4) у
1
03 х
Функция убывает на ; возрастает на
.
VII. Домашнее задание.
1) Решите систему уравнений
2) Число 7 изобразить с помощью трех 2 и математических символов.
3) № 6.292 из Сборника заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы
Найдите наименьшее значение функции
на отрезке [1;4]
4) Доказать
VIII. Подведение итогов урока.
Итак, сегодня на уроке мы убедились, что как сказал знаменитый французский философ и математик Жан Кондорсе, «гениальное изобретение логарифмов, упрощая арифметические операции, облегчает все применения вычисления к реальным предметам и, таким образом, расширяет сферу всех наук». Поэтому тема нашего урока выбрана не случайно.
На уроке вы хорошо поработали, 13 человек получили оценки. И каждый из вас получит еще оценку за самостоятельную работу.
6
7
12
6
8
15
15-17
3
3
Направляет на выбор рационального метода решения, следит за верностью рассуждений уч-ся.
Совместно с уч-ся выбирает метод решения системы. Следит за грамотным решением системы. Проверяет индивидуальные решения у уч-ся, работающих на боковых досках, выставляет оценки за работу.
Следит за верностью рассуждений уч-ся.
Показывает решение данной задачи на слайде.
Следит за правильностью рассуждений уч-ся. Показывает, что данный график можно построить с помощью эл. таблицы Excel.
Следит за грамотным изложением материала. Выставляет оценки за сообщения.
Комментирует задания самостоятельной работы.
Поясняет домашнее задание, обращая внимание уч-ся на то, что аналогичные задания были разобраны на уроке. Над заданием №3 нужно подумать, вспомнив алгоритм нахождения наименьшего значения функции на данном отрезке.
Задание №4 является необязательным.
Предлагают методы решения, один ученик объясняет решение примера №1.
Один ученик решает пример №2. 2 человека работают на боковых досках самостоятельно (приложение1), остальные записывают в тетрадь решение примера №2.
Участвуют в проверке индивидуальных заданий на боковых досках.
Один ученик решает пример №3, остальные участвуют в нахождении решения, записывают решение в тетрадь.
Записывают решение в тетрадь.
Один из учеников решает на доске, остальные записывают решение в тетрадь.
Используя дополнительную литературу, уч-ся подготовили сообщения (приложение 2).
№ 5.65 из Сборника заданий для проведения письменного экзамена
за курс средней школы
Решите неравенство
Решение:
Ответ: (1;2)
Задание на «5».
№ 6.11 из Сборника заданий для проведения письменного экзамена
за курс средней школы
Решите уравнение
Решение:
Ответ: 3.
Приложение 2.
Звезды, шум и логарифмы
Здесь, казалось бы, связаны несоединимые вещи. Шум и звезды объединяются потому, что громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом – по логарифмической шкале.
Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые и абсолютные звездные величины – звезды первой величины, второй, третьей и т. д. Последовательность видимых звездных величин, воспринимаемых глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая их яркость изменяется по иному закону: яркости звезд составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой логарифм ее физической яркости. Оценивая яркость звезд, астрономы оперируют таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.
Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости служит «бел», но практически используются единицы громкости, равные его десятой доле, - так называемые «децибелы». Последовательность степени громкости 1 бел, 2 бела и т. д. составляют арифметическую прогрессию. Физические же величины, характеризующие шумы (энергия, интенсивность звука и др.), составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость, выраженная в белах, равна десятичному логарифму соответствующей физической величины. Рассмотрим несколько примеров: тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь – в 6,5 бела, рычанье льва – в 8,7 бел, шум Ниагарского водопада – 9 бел. Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в 106,5-1=105,5=316000 раз, львиное рычанье сильнее громкой речи в 108,7-6,5=102,2=158 раз.
Логарифмы и ощущения
Ощущения, воспринимаемые органами чувств человека, могут вызываться раздражениями, отличающимися друг от друга во много миллионов и даже миллиардов раз. Удары молотка о скользкую плиту в сто раз громче, чем тихий шелест листьев, а яркость вольтовой дуги в триллионы раз превосходит яркость какой-нибудь слабой звезды, едва видимой в ночном небе. Но никакие физиологические процессы не позволяют дать такого диапазона ощущений. Опыты показали, что организм как бы «логарифмирует» полученные им раздражения, т. е. величина ощущения приблизительно пропорциональна десятичному логарифму величины раздражения. Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии.
Завещание на сотни лет
Известно завещание знаменитого американского государственного деятеля Бенджамина Франклина. Вот отрывок из него.
«Препоручаю тысячу фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут давать их с процентами, по5 на сто в год, в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через сто лет возвысится до 131000 фунтов стерлингов. Я желаю, чтобы тогда 100000 фунтов были употреблены на постройку общественных зданий, остальные же 31000 фунтов были отданы в проценты на 100 лет. По истечению второго столетия сумма возрастет до 4060000 фунтов стерлингов, из коих 1060000 фунтов оставляю в распоряжение бостонских жителей, а 3000000 – правлению Массачусетской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов».
Оставляя всего 1000 фунтов, Франклин распределяет миллионы. Математический расчет показывает, что соображения завещателя вполне реальны. 1000 фунтов, увеличиваясь в 1,05 раза, через 100 лет должны превратиться в
Это выражение можно вычислить с помощью логарифмов
Далее 31000 фунтов в течение следующего столетия превращается в сумму
откуда, вычисляя с помощью логарифмов, находим
Логарифмическая спираль
Безобидная воронка, образованная вытекающей из ванны водой; свирепый смерч, опустошающий все на своем пути; величественный круговорот гигантского космического вихря туманностей и галактик – все они имеют форму спиралей.
Рассмотрим еще одну удивительную спираль, которую нарисуют три светлячка. Пусть находящиеся друг от друга на равном удалении, т. е. в вершинах правильного треугольника, жучки А, В и С решили познакомиться друг с другом. А направился прямиком к В, В – к С, С – к А. Путешествуя с постоянной скоростью, в любой момент времени светлячки будут располагаться в вершинах правильного треугольника, подобного исходному. Каждый светлячок при этом очертит дугу логарифмической спирали.
Логарифмическая спираль описывается уравнением
Впервые о логарифмической спирали говорится в одном из писем французского математика Рене Декарта в 1638г. Увидеть ее можно, например, в витках раковины. Семена в корзине подсолнуха также располагаются по кривым, близким к дугам логарифмической спирали.
Одно из замечательных свойств логарифмической спирали состоит в том, что произвольный луч, выходящий из ее полюса, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом. Это свойство применяется в режущих машинах. Вращающиеся ножи соломорезки имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали. Угол резания такого механизма постоянен вдоль всей кромки подвижного ножа.
Оказывается, трубу, подводящую струю воды к лопастям турбинного колеса на гидроэлектростанции, также следует заворачивать по логарифмической спирали. Тогда потери энергии движущейся воды будут минимальными.
Логарифмическая спираль – кривая «с твердым характером». Она не изменяет своей природы при многих преобразованиях, к которым чувствительны другие кривые. Сжать или растянуть эту спираль относительно ее полюса – то же самое, что повернуть ее на определенный угол. Свойства логарифмической спирали так глубоко поразили швейцарского математика Якоба Бернулли, что он завещал высечь ее на своем надгробье, сопроводив изображение латинской фразой «Eademmutataresurgo» - «Измененная, возрождаюсь прежней».
Приложение 3.
1) Решите систему уравнений
Решение.
Пусть , тогда система примет вид
Учитывая, что ,получаем
Тогда
2) Число 7 изобразить с помощью трех 2 и математических символов.
Решение.
3) № 6.292 из Сборника заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы
Найдите наименьшее значение функции
на отрезке [1;4]
Решение.
Найдем область определения функции. Таким образом,
Функция дифференцируема во всех точках области определения. Найдем критические точки функции:
Критическая точка
Используем алгоритм нахождения наименьшего значения функции на заданном отрезке.
На: Логарифмическая функция и ее приложения
Грамотно и интересно продуманный урок, позволяющий заинтересовать учащихся.