Урок геометрии в 8 классе по теме

 «Пропорциональность отрезков хорд, касательных и секущих»

    Цели урока:

ü  выявить закономерности между отрезками хорд, касательных и секущих; определить меру угла (не являющимся ни центральным, ни вписанным) между касательной и хордой, проведенной в точку касания;

ü  обеспечить восприятие нового материала по средствам  геометрической иллюстрации и записи формул;

ü  подвести учащихся к самостоятельному открытию доказательства теорем через наводящие вопросы по раннее пройденному материалу; формирование навыков доказательства;

ü  обучение алгоритмизации поставленной задачи и использование накопленного знания для ее решения;

ü  воспитание грамотности оформления геометрического доказательства;

ü  формирование суждений и умозаключений путем методов анализа, синтеза, индукции;

ü  формирование у учащихся таких черт, как аккуратность, четкость и логичность в формировании и оформлении мыслей;

ü  развитие абстрактного мышления, активизация мыслительных процессов, развитие зрительной и слуховой памяти, речевых навыков у учащихся.

    Тип урока: изучение нового материала.

План урока.

1.      Подготовка к изучению нового теоретического материала по средствам опроса учащихся по основным теоретическим положениям об окружности и элементах, связанных с ней (касательных, секущих, хордах, углах).

2.      Изложение теоретического материала.

2.1.   Пропорциональности отрезков диаметра и хорды; пропорциональность отрезков хорд.

2.2.   Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания.

2.3.   Пропорциональность отрезков секущей и касательной, пропорциональность отрезков секущих.

3.      Подведение итогов урока: опрос учащихся по формулировкам теорем, идеи доказательства теорем, запись домашнего задания с комментариями учителя.

1.      Подготовка к изучению нового материала.

           Напоминание   основных   положений   тем   «Взаимное расположение окружности и прямой», «Касательная  к   окружности»,    «Свойства  отрезков  касательных»,    «Центральный угол»,  «Вписанный  угол.  Измерение  вписанного угла через  центральный  угол».  Следует  осветить следующие  вопросы:

1.1.   Подобные треугольники; признаки подобия треугольников.

1.2.   Взаимное расположение прямой и окружности: определение секущей, хорды как отрезка секущей, лежащего внутри круга; касательной.

1.3.   Определение центрального угла; определение вписанного угла; градусная мера центрального угла; измерение вписанного угла через центральный; следствия из теоремы о вписанном угле.

2.      Изучение и конспектирование нового теоретического материала.

2.1. Пропорциональность отрезков хорд.

            В  эту  теоретическую  часть  входит  теорема  о  пропорциональности  отрезков  хорды  и   диаметра,  имеющих  одну  общую точку,  следствие  для  случая  для  двух  хорд,  обобщение на случай любого количества хорд, проходящих через одну общую точку.

Теорема 1: Если через точку (М), взятую внутри круга, проведена какая-нибудь хорда (АВ) и диаметр (CD), то произведение отрезков хорды ( ) равно произведению отрезков диаметра ( )(Рис. 1.).

Дано:  Окр(О; ОА),  − диаметр, АВ − хорда, .

Доказать: = .

Доказательство: Чтобы доказать равенство, достаточно     сравнить отношения  и . Пропорциональные отрезки- это сходственные стороны в подобных треугольниках. Рассмотрим треугольники  и . Эти треугольники будут подобны по первому  признаку подобия треугольников:    как вертикальные;  как вписанные,  опирающиеся  на одну и ту же дугу  AND. Из  подобия                                                          треугольников    следует    пропорциональность   сходственных                                                         сторон,  т. е.

                                                    , или , или = .

    Следствие 2:  Если две хорды окружности пересекаются, то  произведение  отрезков  одной   хорды равно произведению отрезков другой хорды (Рис.2.).

 Дано:  Окр(О; ОА), АВ, EF − хорды, .

 Доказать:  = .

 Доказательство:  Проведем диаметр CD через точку М. Тогда, по теореме 1, для хорды  АВ:   = ;

                       для хорды  EF:   = .

Т. к. равные правые части равенств, то равны и левые части, т. е.

= .

    Следствие 3 (обобщение следствия 1):   Если через точку (М), взятую внутри круга, проведено сколько угодного хорд (AB, EF, KL,…), то произведение отрезков каждой хорды есть число, постоянное для всех хорд (т. к. для каждой хорды это произведение  равно произведению  отрезков диаметра, проходящего через взятую точку).

2.2.    Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания.

    Данный пункт позволяет определить меру угла между касательной и хордой, проведенной в точку касания (не являющегося ни центральным, ни вписанным в окружность углом). Так же, позволяет доказать теорему о пропорциональности отрезков касательной и секущей.

Теорема 4: Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, измеряется половиной дуги, стягивающей эту хорду (Рис. 3.).

Дано: Окр(О, ОА), АС – касательная, А – точка касания,

          АВ – хорда.

Доказать: .

Доказательство:  Обозначим искомый   через .  Т. к. АС – касательная, то . Рассмотрим  -   равнобедренный (АО, ВО – радиусы), тогда

                  . Найдем   ,

                                                      с другой стороны , следовательно, ,   или   .

2.3.    Пропорциональность отрезков касательной и секущих.

     Данная часть позволяет определить пропорциональные отрезки для касательной и секущей, проведенной из одной точки, для двух и более секущих, проведенных из одной точки к данной окружности.

Теорема 5: Если из точки (М), взятой вне круга, проведены к нему какая-нибудь секущая (МА) и касательная (МС), то произведение секущей (МА) на ее внешнюю часть (МВ) равно квадрату касательной (МС) (Рис. 4.).

Дано: Окр(О, ОА), МС – касательная, МА – секущая,

           МВ – внешняя часть секущей МА.

Доказать: .

Доказательство: Чтобы доказать равенство достаточно сравнить отношения  и , т. е. рассмотреть  и . Покажем что они подобные. В самом деле,  - общий,    как   вписанный,  а      по     теореме 4 (как угол между касательной и хордой, проведенной в                                                       точку касания), т.е. . 

              Итак,   подобен   (по 1ому признаку подобия треугольников), а, следовательно,  = ,     или     .

Следствие 6: Если из точки, взятой вне круга, проведено к нему сколько угодно секущих, то произведение каждой секущей на ее внешнюю часть есть число постоянное для всех этих секущих (т. к. для каждой секущей это произведение равно квадрату касательной, проведенной через взятую точку).

3.      Подведение итогов.

     Первичное  закрепление  теоретического   материала  через   проговаривание  формулировок теорем  и  следствий,  идей  их  доказательства.

     В  качестве домашнего задания   было предложено:

теоретическая задача: Диаметр АВ данной окружности продолжен за точку В. Через какую-нибудь точку С этого продолжения проведена прямая . Если произвольную точку М этого перпендикуляра соединим с точкой А, то (обозначив через  вторую точку пересечения с окружностью этой прямой) произведение  есть величина постоянная для всякой точки М.

o   задачи № 666 и № 671 (учебник Л. С. Атанасяна) на применение формул для пропорциональных отрезков хорд, касательных и секущих;

o   задача № 660 на повторение темы «Вписанный угол»;

o   учить начитанный теоретический материал (т. к. следующее занятие предполагается начать с проверочной  работы по данной теории).

Результативность. В ходе урока учащимися были выявлены закономерности между отрезками хорд, касательных и секущих; определена мера угла между касательной и хордой, проведенной в точку касания;  было обеспечено восприятие учащимися нового материала по средствам  геометрической иллюстрации и записи формул; осуществлялось воспитание у учащихся  грамотности оформления геометрического доказательства.

Рекомендации.

1.      Для доказательства теорем следует обратиться к пройденному материалу по теме «Окружность. Взаимное расположение прямой и окружности. Центральный и вписанный углы». Вспомнить понятие пропорциональности отрезков как сторон подобных треугольников.

2.      Следует выделить отдельно пропорциональность отрезков двух хорд. Доказательство можно провести как письменно, так и устно в зависимости от конкретно взятого класса и темпа урока.

3.      Запись теоретического материала (формулировки – под запись) на доске лучше осуществлять самому учителю в целях экономии времени, качества оформления, а учащихся максимально привлекать к открытию доказательства теорем.

4.      При высоком темпе работы можно рассмотреть теоретическую задачу, предложенную в домашнем задании, выдвинуть идею доказательства, а оформление оставить на дом.

5.      Для контроля изученного материала на следующем уроке следует провести фронтальный опрос теории в виде письменной работы, в которую можно включить простую задачу на основные формулы пропорциональности в круге.

Литература.

1.      Основной учебник: Геометрия 7-9. Авторы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др.

2.      А. П. Киселев. Элементарная геометрия. Книга для учителей.